Konvergenz einer Funktionenfol < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:20 Do 07.04.2005 | | Autor: | Ernesto |
Einen erfrischenden guten Morgen wünsche ich erstmal.
Nun zum ernst des Tages:
Wie kann ich beweisen, das die Funktionenfolge definiert mit:
fn : R [mm] \to [/mm] R , x [mm] \mapsto [/mm] x / 1 + [mm] nx^2 [/mm]
gleichmässig gegen die Nullfunktion konvergiert???
ich bedanke mich schon im vorraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:02 Do 07.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Betrachte mal die Funktion [mm] $f_n$.
[/mm]
Es gilt: [mm] $f_n(0)=0$ [/mm] und [mm] $\lim\limits_{x \to +\infty} f_n(x)=0=\lim\limits_{x \to -\infty} f_n(x)$.
[/mm]
Zudem gilt: [mm] $f_n(x)>0$ [/mm] für alle $x [mm] \in (0,+\infty)$ [/mm] und [mm] $f_n(x)<0$ [/mm] für alle $x [mm] \in (-\infty,0)$.
[/mm]
Es besteht also gute Hoffnung, [mm] $|f_n(x)|$ [/mm] für festens $n [mm] \in \IN$ [/mm] durch
[mm] $\max\{\max\{f_n(x)\, : \, x \in (0,+\infty)\}, -\min\{f_n(x)\, : \, x \in (-\infty,0)\}\}$
[/mm]
abzuschätzen (und dann anschließend den Grenzübergang für $n [mm] \to \infty$ [/mm] zu vollziehen).
Was musst du also tun?
Den Hoch-und Tiefpunkt von [mm] $f_n$ [/mm] finden und damit dann den Betrag von [mm] $f_n$ [/mm] abschätzen...
Viele Grüße
Julius
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