Konvergenz einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe folgende Folge gegeben und soll bestimmen, ob sie konvergent/bestimmt konvergent/divergent ist.
[mm]2^-n*[2^n+(-2)^n][/mm].
Es soll 2 hoch (-n) heißen, wird nur irgendwie im Formeleditor nicht so dargestellt.
Ich habe den folgenden Ansatz:
[mm]lim2^-n*(lim2^n+lim(-2)^n[/mm]
[mm]lim2^-n[/mm] ist ja 0, deswegen müsste es eine Nullfolge sein, da man ja alles mit Null multipliziert. Laut Lösungsbuch soll aber lim(an)=2 für n=2m und lim(an)=0 für n=2m+1 rauskommen. Das die Folge nach unten und oben beschränkt ist, macht für mich durch [mm](-2)^n[/mm] noch Sinn, aber wie kommt man auf lim(an)=2.
Danke für Hilfe!
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> Ich habe folgende Folge gegeben und soll bestimmen, ob sie
> konvergent/bestimmt konvergent/divergent ist.
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> [mm]2^-n*[2^n+(-2)^n][/mm].
> Es soll 2 hoch (-n) heißen, wird nur irgendwie im
> Formeleditor nicht so dargestellt.
Du musst den kompletten Exponenten in geschweifte Klammern schreiben.
> Ich habe den folgenden Ansatz:
> [mm]lim2^-n*(lim2^n+lim(-2)^n[/mm]
Nein, wir schreiben das zunächst mal um:
Zunächst sei [mm]a_n=2^{-n}\cdot [2^n+(-2)^n][/mm] Dann ist:
[mm]a_n=2^{-n}\cdot [2^n+(-2)^n]=2^{-n}\cdot [2^n+(-1)^n\cdot(2)^n][/mm]
(Du kannst auch auf die Formel klicken, um zu sehen wie man das schreibt.)
Nun klammerst du [mm]2^n[/mm] aus. Was kannst du erkennen?
Danach betrachtest du die Teilfolgen [mm]a_{2m}[/mm] und [mm]a_{2m+1}[/mm] (Also die Folge für gerade und ungerade n.) mit [mm]m\in \IN[/mm] und schlägst in deinem Skript den Teil nach, in dem Häufungspunkte behandelt werden.
Valerie
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Danke :)
Also jetzt habe ich
[mm]2^{-n}*2^n(1+(-\bruch{1}{2})*1[/mm]
Vor der Klammer könnte ich [mm]2^{-n}*2^n[/mm] zusammenfassen, dann stünde da 1, aber dann käme ja [mm]-\bruch{1}{2} [/mm] heraus?
Was ein Häufungspunkt ist, weiß ich, aber wie man genau damit rechnet bzw. macht man da etwas anders als bei normalen Grenzwerten?
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Hallo,
lies Valeries Tipp nochmal genau.
Du sollst unterscheiden zwischen geraden und ungeraden n.
Ich prophezeihe, dass Du zwei Häufungspunkte findest.
1) welche?
2) was sagt Dir das?
Grüße
reverend
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Bei einem geraden Exponenten nährt sich [mm](-2)^n \infty [/mm] an, bei einem ungeraden [mm]-\infty[/mm]. Aber wenn ich vorne [mm]2^{-n}*2^n[/mm] stehen habe, ergibt das doch 1, egal ob ungerade oder gerade?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:16 Sa 09.11.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo schokoschnecke!
Das ist jetzt etwas schwer nachzuvollziehen bzw. nicht richtig formuliert.
Durch Umformungen erhält man:
[mm] $2^{-n}*\left[2^n+(-2)^n \ \right] [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] 1+(-1)^n$
[/mm]
Welche Werte kann dieser Term nun annehmen für gerade und ungerade $n_$ ?
Gruß
Loddar
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Okay,
aber wie komme ich auf [mm]1+(-1)^n[/mm]?
[mm]2^{-n}*(2^n+(-2)^n)[/mm]
[mm]2^{-n}*2^n*(1+(-1))[/mm]
[mm]2^0 = 1[/mm]
[mm](1+(-1))[/mm]
Wie bekomme ich da das ^n hin?
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Hallo schokoschnecke,
> Okay,
> aber wie komme ich auf [mm]1+(-1)^n[/mm]?
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> [mm]2^{-n}*(2^n+(-2)^n)[/mm]
>
Es ist doch [mm]\left(-2\right)^{n}=\left(-1\right)^{n}*2^{n}[/mm]
> [mm]2^{-n}*2^n*(1+(-1))[/mm]
>
> [mm]2^0 = 1[/mm]
>
> [mm](1+(-1))[/mm]
>
>
> Wie bekomme ich da das ^n hin?
Gruss
MathePower
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Aber wenn ich das ausklammere, erhalte ich
[mm]1*(1-1*(-\bruch{1}{2}))[/mm] weil ich das [mm](-1)^n[/mm] ja auch ausklammern muss...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:33 Sa 09.11.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Schokoschnecke!
Jetzt wurde Dir doch schon mehrfach gezeigt, wie hier vorzugehen ist und auch die  Potenzgesetze anzuwenden sind.
[mm] $2^{-n}*\left[2^n+(-2)^n \ \right] [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2^n+[(-1)*2]^n}{2^n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2^n+(-1)^n*2^n}{2^n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2^n*\left[1+(-1)^n*1\right]}{2^n} [/mm] \ = \ [mm] 1+(-1)^n$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Danke für die Hilfe! Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen ja bekanntlich nicht mehr :/
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