Konvergenz einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:46 So 09.11.2008 | | Autor: | Hanz |
| Aufgabe | | Wogegen konvergiert die Folge [mm] a_{n}= \bruch{n²+2}{1+2+...+n}? [/mm] Weisen Sie dies mit Hilfe der [mm] \varepsilon-n_{0}-Definition [/mm] für Folgenkonvergenz nach. |
So, also ich schreib mal auf, was ich alles habe:
Vermutung: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = 2.
Beweis: [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists n_{0} \forall n\ge n_{0} |a_{n}- [/mm] c| < [mm] \varepsilon
[/mm]
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0.
[mm] |a_{n} [/mm] - 2|
= [mm] |\bruch{n²+2}{1+2+...+n}- [/mm] 2|
= [mm] |\bruch{(n²+2)-2(1+2+...+n)}{1+2+...+n}|
[/mm]
= [mm] |\bruch{n²+2-2(\bruch{n(n+1)}{2})}{1+2+...+n}|
[/mm]
= [mm] |\bruch{n²+2 - n(n+1)}{1+2+...+n}|
[/mm]
= [mm] |\bruch{n²+2 - n²-n}{1+2+...+n}|
[/mm]
= [mm] |\bruch{2-n}{1+2+...+n}|
[/mm]
So ab jetzt komme ich nicht mehr weiter, ich muss es ja glaube ich am besten so umformen, dass ich nur noch ein n da stehen habe, damit ich es < [mm] \varepsilon [/mm] setzen kann, um hinterher ein [mm] n_{0} [/mm] bestimmen zu können, aber wie gesagt, ich weiss nicht mehr weiter...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:48 So 09.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Hanz!
Setze gleich zu Beginn im Nenner ein:
$$1+2+3+...+n \ = \ [mm] \bruch{n*(n+1)}{2}$$
[/mm]
Damit sollte sich der Term innerhalb der Betragsstriche wesentlich leichter zusammenfassen lassen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:19 So 09.11.2008 | | Autor: | Hanz |
Also quasi...
$ [mm] |\bruch{n²+2-2(\bruch{n(n+1)}{2})}{1+2+...+n}| [/mm] $
= [mm] |\bruch{n²+2-2(\bruch{n(n+1)}{2})}{\bruch{n(n+1)}{2}}|
[/mm]
= |n²+2-2|
= |n²|
so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:40 So 09.11.2008 | | Autor: | MarkusF |
Bruchrechnung gilt immer noch!
[mm]|\bruch{n²+2-2(\bruch{n(n+1)}{2})}{\bruch{n(n+1)}{2}}|[/mm]
ist immer noch:
= [mm] |\bruch{n²+2}{\bruch{n(n+1)}{2}} [/mm] - 2|
Viele Grüße,
Markus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:45 So 09.11.2008 | | Autor: | Hanz |
Hmmm, aber wie vereinfache ich den Bruch in den Betragsstrichen dann? :<
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:57 So 09.11.2008 | | Autor: | Wind |
[mm] \left|\bruch{n²+2}{\bruch{n(n+1)}{2}} - 2\right| [/mm] = [mm] \left| \bruch{2n²+4}{n²+n}-2\right|=\left| \bruch{4-2n}{n²+n}\right|
[/mm]
Und dann nach oben hin abschätzen.
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Na, Du willst für die Grenzwertbestimmung irgendeinen Teil "ohne n" haben. Ich lasse die Betragsstriche mal weg, weil es mir gerade nur um die Bruchrechnung geht. Also:
[mm] \bruch{n^2+2}{\bruch{n(n+1)}{2}}-2=\bruch{2(n^2+2)}{n^2+n}-2=
[/mm]
[mm] =\bruch{2(n^2+n-n+2)}{n^2+n}-2=\bruch{2(n^2+n)}{n^2+n}-\bruch{n-2}{n^2+n}-2=
[/mm]
[mm] =2-\bruch{n-2}{n^2+n}-2=-\bruch{n-2}{n^2+n}
[/mm]
Jetzt müsstest Du nur noch zeigen, dass dieser Bruch gegen 0 geht... 
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