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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:02 Mo 06.11.2006 | | Autor: | uxo |
| Aufgabe | | [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{(n+i)^2-2ni}{n^2+1-i} [/mm] |
Hallo liebe Mitglieder!
Ich soll obenstehende Folge auf Konvergenz und Monotonie untersuchen, und den Häufungspunkt angeben.
Dazu bin ich wie folgt vorgegangen:
Grenzwertberechnung:
[mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{n^2+2ni-2ni+i^2}{n^2+1-i}
[/mm]
[mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{n^2+i^2}{n^2+1-i}
[/mm]
[mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{n^2-1}{n^2+1-i}
[/mm]
Durch Erweitern mit [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] erhalte ich:
[mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{1-\bruch{1}{n^2}}{1+\bruch{1}{n^2}-\bruch{i}{n^2}}
[/mm]
Damit erhalte ich als Grenzwert:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = 1
Die Monotonie zeige ich, indem ich annehme, daß [mm] a_n \le a_{n+1} [/mm] :
[mm] \bruch{n^2-1}{n^2+1-i} \le \bruch{n^2+2n}{n^2+2n+2-i}
[/mm]
[mm] (n^2-1)( n^2+2n+2-i) \le (n^2+2n)( n^2+1-i)
[/mm]
[mm] n^4-n^2+2n^3-2n+2n^2-2-n^2i+i \le n^4+2n^3+n^2+2n n^2i 2ni [/mm]
[mm] -2n-2+i \le 2n-2ni [/mm]
[mm] -4n+2ni+i \le 2 [/mm]
[mm] -4n+i(2n+1) \le 2 [/mm]
Dann trenne ich in Real- und Imaginärteil:
Re.:
[mm] -4n \le 2 [/mm]
[mm] n \ge -\bruch{1}{2} [/mm]
bzw.:
Im.:
[mm] 2n+1 \le 2 [/mm]
[mm] 2n \le 1 [/mm]
[mm] n \le \bruch{1}{2} [/mm]
Macht dieses Trennen in Real- und Imaginärteil überhaupt Sinn, bzw. darf ich das denn?
Jetzt müßte ich überhaupt erst noch zeigen, daß die Folge überhaupt konvergiert, und das macht mir am meisten Probleme:
Ich probiere es mit der [mm] \epsilon [/mm] - Methode, und setze an:
| [mm] a_n [/mm] a | < [mm] \epsilon
[/mm]
| [mm] \bruch{n^2-1}{n^2+1-i} [/mm] 1| < [mm] \epsilon
[/mm]
| [mm] \bruch{n^2-1-n^2-1+i}{n^2+1-i} [/mm] | < [mm] \epsilon
[/mm]
| [mm] \bruch{-2+i}{n^2+1-i} [/mm] | < [mm] \epsilon
[/mm]
Dann treffe ich eine Fallunterscheidung, und fahre fort für [mm] n > 0 [/mm] :
[mm] 2+i < \epsilon n^2 + \epsilon - \epsilon i [/mm]
[mm] n > \wurzel{\bruch{2+i-\epsilon-\epsilon }{\epsilon}} [/mm]
Wäre für jede Bemerkung über die Richtigkeit meiner Rechnungen bzw. für jede Hilfe zur korrekten Beweisführung der Konvergenz sehr dankbar!
Liebe Grüße,
Thomas
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:08 Mo 06.11.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo uxo,
Dir ist eine 2 verlorengegangen:
> Die Monotonie zeige ich, indem ich annehme, daß [mm]a_n \le a_{n+1}[/mm]
> :
>
> [mm]\bruch{n^2-1}{n^2+1-i} \le \bruch{n^2+\red{2}n}{n^2+\red{2}n+2-i}[/mm]
Schöne Grüße
ardik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:34 Mo 06.11.2006 | | Autor: | uxo |
Hallo ardik!
Vielen Dank für den Hinweis.
Habe die obigen Angaben dementsprechend korrigiert.
Liebe Grüße,
Thomas.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Do 09.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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