Konvergenz einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuchen Sie für welche [mm] q\in\IR [/mm] die Folgen
a) [mm] (a_n)_n_\in_\IN [/mm] = [mm] (q^n)_n_\in_\IN;
[/mm]
b) [mm] (b_n)_n_\in_\IN [/mm] = [mm] (\bruch{q^n}{n})_n_\in_\IN;
[/mm]
c) [mm] (c_n)_n_\in_\IN [/mm] = [mm] (\bruch{q^n}{7^n*2^n})_n_\in_\IN;
[/mm]
d) [mm] (d_n)_n_\in_\IN [/mm] = [mm] (\bruch{q^n}{n!})_n_\in_\IN
[/mm]
konvergieren. |
Hallo,
ich habe leider keine Idee, wie ich die Konvergenz bzw. Divergenz der Folgen beweisen soll.
Bei Aufgabe a) konvergiert die Folge für alle [mm] -1
Bei Aufgabe b) denke ich, dass die Folge für alle [mm] -1\le [/mm] q [mm] \le [/mm] 1 konvergiert.
Bei der c) denke ich [mm] -7\le [/mm] q [mm] \le [/mm] 7
d) müsste [mm] -1\le [/mm] q [mm] \le [/mm] 1
Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir helfen könntet die Divergenz bzw. Konvergenz zu zeigen.
Lieben Gruß
Katti
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:15 Mi 20.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen Sie für welche [mm]q\in\IR[/mm] die Folgen
>
> a) [mm](a_n)_n_\in_\IN[/mm] = [mm](q^n)_n_\in_\IN;[/mm]
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> b) [mm](b_n)_n_\in_\IN[/mm] = [mm](\bruch{q^n}{n})_n_\in_\IN;[/mm]
>
> c) [mm](c_n)_n_\in_\IN[/mm] = [mm](\bruch{q^n}{7^n*2^n})_n_\in_\IN;[/mm]
>
> d) [mm](d_n)_n_\in_\IN[/mm] = [mm](\bruch{q^n}{n!})_n_\in_\IN[/mm]
>
> konvergieren.
> Hallo,
>
> ich habe leider keine Idee, wie ich die Konvergenz bzw.
> Divergenz der Folgen beweisen soll.
> Bei Aufgabe a) konvergiert die Folge für alle [mm]-1
Das ist richtig. Für q=1 konv. die Folge gegen 1. Für q=-1 haben wir [mm] a_n=(-1)^n, [/mm] damit ist [mm] (a_n) [/mm] divergent. Für q=0 ist die Sache auch klar.
1. sei 0<|q|<1. Dann ist 1/|q|>1, somit ist [mm] \bruch{1}{|q|}=1+x [/mm] mit einem x>0.
Mit der Bernoullischen Ungl. folgt: [mm] \bruch{1}{|q^n|} \ge [/mm] 1+nx >nx.
Siehst Du nun, dass [mm] (q^n) [/mm] eine Nullfolge ist ?
2. Sei |q|>1. Dann ist |q|=1+y mit einem y>0. Zeige nun Du mit der Bernoullischen Ungl. , dass [mm] (q^n) [/mm] unbeschränkt und damit divergent ist.
> Bei Aufgabe b) denke ich, dass die Folge für alle [mm]-1\le[/mm] q
> [mm]\le[/mm] 1 konvergiert.
Das ist richtig.
1. sei |q| [mm] \le [/mm] 1. Dann ist [mm] |b_n| \le \bruch{1}{n}. [/mm] Was folgt ?
2. sei |q|>1. Dann ist |q|=1+y mit einem y>0. Mit der Bernoullischen Ungl. kommt man hier nicht weiter, aber mit dem Binomischen Satz.
Zeige: für n [mm] \ge [/mm] 2 ist [mm] |q|^n \ge \vektor{n \\ 2}y^2.
[/mm]
Zeige dann: für n [mm] \ge [/mm] 2 ist [mm] |b_n| \ge \bruch{n-1}{2}y^2.
[/mm]
Was folgt ?
> Bei der c) denke ich [mm]-7\le[/mm] q [mm]\le[/mm] 7
Das ist falsch ! Die Potenz [mm] 2^n [/mm] im Nenner ist Dir offenbar völlig schnuppe !
Es ist [mm] c_n =(\bruch{q}{14})^n, [/mm] also [mm] c_n=p^n [/mm] mit [mm] p=\bruch{q}{14}.
[/mm]
Die Konvergenz/Divergenz von [mm] (c_n) [/mm] kannst Du nun auf a) zurückführen.
> d) müsste [mm]-1\le[/mm] q [mm]\le[/mm] 1
Das ist auch falsch. [mm] (d_n) [/mm] ist für jedes q eine Nullfolge. Das kann man so machen: für q=0 ist das klar. Sei also q [mm] \ne [/mm] 0.
Zeige:
1. Die Folge [mm] (|\bruch{d_{n+1}}{d_n}|) [/mm] ist eine Nullfolge und somit ex. ein N [mm] \in \IN [/mm] mit
[mm] |\bruch{d_{n+1}}{d_n}| \le \bruch{1}{2} [/mm] für n>N.
2. Setzt man [mm] c:=|d_N|, [/mm] so ist
[mm] |d_{N+k}| \le \bruch{1}{2^k}c [/mm] für alle k [mm] \in \IN.
[/mm]
FRED
>
> Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir helfen könntet
> die Divergenz bzw. Konvergenz zu zeigen.
>
> Lieben Gruß
>
> Katti
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Hallo fred,
vielen vielen Dank für deine so ausführliche Antwort!
Leider ist mir die Sache aber immer noch nicht gaz klar.
Erst mal zu a):
> Mit der Bernoullischen Ungl. folgt: [mm]\bruch{1}{|q^n|} \ge[/mm]
> 1+nx >nx.
> Siehst Du nun, dass [mm](q^n)[/mm] eine Nullfolge ist ?
>
Ja ich denke, das sollte klar sein, da der Grenzwert von [mm] \bruch{1}{q}gegen [/mm] 0 geht und durch das [mm] q^n [/mm] geht es ja dadurch nur "schneller" gegen 0.
>
> 2. Sei |q|>1. Dann ist |q|=1+y mit einem y>0. Zeige nun Du
> mit der Bernoullischen Ungl. , dass [mm](q^n)[/mm] unbeschränkt und
> damit divergent ist.
>
Das ist mir jetz leider nicht so klar. Wir haben die Bernoulische Ungleichung so definiert:
[mm] \forall x\in\IR, x\ge [/mm] -1 gilt [mm] (1+x)^n\ge [/mm] 1+n*x [mm] \forall n\in\IN
[/mm]
Nun müsste ja mit Bernoulli folgen, dass [mm] |q^n|\le [/mm] 1+x*n ist. Aber das ist doch nicht so oder? Oder versteht ich das flasch?
>
>
zu Aufgabe b)
>
> 1. sei |q| [mm]\le[/mm] 1. Dann ist [mm]|b_n| \le \bruch{1}{n}.[/mm] Was
> folgt ?
dann ist ähnlich wie in Aufgabenteil a) [mm] |\bruch{1}{q/n}| [/mm] = 1+x mit einem x>0. Dann folgt mir Bernoullischen-Ungl. [mm] \bruch{1}{q^n/n} \ge [/mm] 1+nx
Ich weiß leider nicht, wie man einen Doppelbruch hier schreibt, ich hoffe, dass das im Folgenden nicht zu umständlich ist. Ich habe das dann wie oben immer mit einem "/" geschrieben.
>
> 2. sei |q|>1. Dann ist |q|=1+y mit einem y>0. Mit der
> Bernoullischen Ungl. kommt man hier nicht weiter, aber mit
> dem Binomischen Satz.
>
> Zeige: für n [mm]\ge[/mm] 2 ist [mm]|q|^n \ge \vektor{n \\ 2}y^2.[/mm]
Also um ehrlich zu sein kann ich mit dem binomischen Lehrsatz nicht wirklich umgehen. Wir haben diesem so definiert:
[mm] (a+b)^n [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}a^{n-k}b^k
[/mm]
und müsste das dann bei mir nicht so aussehen?:
[mm] (q+0)^n [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\2}q^{n-2}*y^2
[/mm]
[mm] \gdw q^n [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{n!}{2!(n-2)!}*y^2
[/mm]
Aber wie geht es dann weiter?
> Zeige dann: für n [mm]\ge[/mm] 2 ist [mm]|b_n| \ge \bruch{n-1}{2}y^2.[/mm]
>
> Was folgt ?
>
zu Aufgabenteil c)
>
> Die Konvergenz/Divergenz von [mm](c_n)[/mm] kannst Du nun auf a)
> zurückführen.
das müsste ich dann hinbekommen, wenn die a) richtig ist :)
>
zu Aufgabenteil d)
> > d) müsste [mm]-1\le[/mm] q [mm]\le[/mm] 1
> Das kann man so machen: für q=0 ist das klar. Sei also q
> [mm]\ne[/mm] 0.
>
> Zeige:
>
> 1. Die Folge [mm](|\bruch{d_{n+1}}{d_n}|)[/mm] ist eine Nullfolge
> und somit ex. ein N [mm]\in \IN[/mm] mit
>
> [mm]|\bruch{d_{n+1}}{d_n}| \le \bruch{1}{2}[/mm] für n>N.
z.z.: [mm] \bruch{q^n^+^1/(n+1)!}{q^n/n!} [/mm] ist Nullfolge
[mm] \bruch{q^n^+^1/(n+1)!}{q^n/n!} [/mm] = [mm] \bruch{q^n^+^1*n!}{(n+1)!*q^n} [/mm] = [mm] \bruch{qn!}{(n+1)!}
[/mm]
[mm] 0\le\bruch{qn!}{(n+1)!}\le [/mm] 1/n
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{qn!}{(n+1)!} [/mm] = 0
> 2. Setzt man [mm]c:=|d_N|,[/mm] so ist
>
> [mm]|d_{N+k}| \le \bruch{1}{2^k}c[/mm] für alle k [mm]\in \IN.[/mm]
>
Ich weiß, dass ich noch einiges nicht verstehe, aber ich bin dir wirklich sehr dankbar, wenn du mir noch ein Mal hilfst, weil ich es wirklich verstehen möchte!
Lieben Gruß und vielen vielen Dank
Katti
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:29 Do 21.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo fred,
>
> vielen vielen Dank für deine so ausführliche Antwort!
> Leider ist mir die Sache aber immer noch nicht gaz klar.
>
> Erst mal zu a):
>
> > Mit der Bernoullischen Ungl. folgt: [mm]\bruch{1}{|q^n|} \ge[/mm]
> > 1+nx >nx.
> > Siehst Du nun, dass [mm](q^n)[/mm] eine Nullfolge ist ?
> >
> Ja ich denke, das sollte klar sein, da der Grenzwert von
> [mm]\bruch{1}{q}gegen[/mm] 0 geht und durch das [mm]q^n[/mm] geht es ja
> dadurch nur "schneller" gegen 0.
Mit Verlaub, aber das ist Unsinn. [mm]\bruch{1}{q}[/mm] geht doch nicht gegen 0, [mm]\bruch{1}{q}[/mm] ist konstant (unabhängig von n) !
Wenn [mm] \bruch{1}{|q^n|} [/mm] > nx ist, dann ist doch
[mm] |q^n|< \bruch{1}{nx}.
[/mm]
Mit dem "Einschnürungssatz" folgt dann: [mm] (q^n) [/mm] geht gegen 0.
> >
> > 2. Sei |q|>1. Dann ist |q|=1+y mit einem y>0. Zeige nun Du
> > mit der Bernoullischen Ungl. , dass [mm](q^n)[/mm] unbeschränkt und
> > damit divergent ist.
> >
> Das ist mir jetz leider nicht so klar. Wir haben die
> Bernoulische Ungleichung so definiert:
> [mm]\forall x\in\IR, x\ge[/mm] -1 gilt [mm](1+x)^n\ge[/mm] 1+n*x [mm]\forall n\in\IN[/mm]
Eine Ungleichung wird nicht "definiert", sondern ist ein Resultat.
Aus |q|=1+y (mit y>0) folgt , mit der besagten Ungleichung:
[mm] |q^n|=|q|^n=(1+y)^n \ge [/mm] 1+ny >ny.
Damit ist [mm] (q^n) [/mm] unbeschränkt, also divergent.
>
> Nun müsste ja mit Bernoulli folgen, dass [mm]|q^n|\le[/mm] 1+x*n
> ist. Aber das ist doch nicht so oder? Oder versteht ich das
> flasch?
Ja, wie es richtig geht, steht oben.
> >
> >
> zu Aufgabe b)
> >
> > 1. sei |q| [mm]\le[/mm] 1. Dann ist [mm]|b_n| \le \bruch{1}{n}.[/mm] Was
> > folgt ?
> dann ist ähnlich wie in Aufgabenteil a) [mm]|\bruch{1}{q/n}|[/mm]
> = 1+x mit einem x>0.
Hä ? Wieso [mm]|\bruch{1}{q/n}|[/mm] ?????
Aus [mm]|b_n| \le \bruch{1}{n}[/mm] folgt doch sofort: [mm] (b_n) [/mm] geht gegen 0 (Einschnürungssatz !)
> Dann folgt mir Bernoullischen-Ungl.
> [mm]\bruch{1}{q^n/n} \ge[/mm] 1+nx
Unfug !!
Uns
>
> Ich weiß leider nicht, wie man einen Doppelbruch hier
> schreibt, ich hoffe, dass das im Folgenden nicht zu
> umständlich ist. Ich habe das dann wie oben immer mit
> einem "/" geschrieben.
> >
> > 2. sei |q|>1. Dann ist |q|=1+y mit einem y>0. Mit der
> > Bernoullischen Ungl. kommt man hier nicht weiter, aber mit
> > dem Binomischen Satz.
> >
> > Zeige: für n [mm]\ge[/mm] 2 ist [mm]|q|^n \ge \vektor{n \\ 2}y^2.[/mm]
>
> Also um ehrlich zu sein kann ich mit dem binomischen
> Lehrsatz nicht wirklich umgehen.
Dann mach Dich damit vertraut, und zwar so umgehend wie geschwind !
> Wir haben diesem so
> definiert:
> [mm](a+b)^n[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}a^{n-k}b^k[/mm]
Wieder: das ist keine Definition !
> und müsste das dann bei mir nicht so aussehen?:
> [mm](q+0)^n[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\2}q^{n-2}*y^2[/mm]
> [mm]\gdw q^n[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n}\bruch{n!}{2!(n-2)!}*y^2[/mm]
Entschuldige, aber das ist großer Murks !
Aus |q|=1+y folgt
[mm] |q^n|=|q|^n=(1+y)^n=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}y^k.
[/mm]
Inder Summe rechts sind alle Summanden positiv, also ist die Summe größer als der 3. Summand, folglich gilt
[mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}y^k [/mm] > [mm] \vektor{n\\2}y^2=\bruch{n(n-1)}{2}y^2 [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 2.
Also: [mm] |q^n| [/mm] > [mm] \bruch{n(n-1)}{2}y^2 [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 2.
Daher: [mm] \bruch{|q^n|}{n} [/mm] > [mm] \bruch{n-1}{2}y^2 [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 2.
[mm] (b_n) [/mm] ist also nicht beschränkt, und somit divergent.
> Aber wie geht es dann weiter?
> > Zeige dann: für n [mm]\ge[/mm] 2 ist [mm]|b_n| \ge \bruch{n-1}{2}y^2.[/mm]
>
> >
> > Was folgt ?
> >
> zu Aufgabenteil c)
> >
> > Die Konvergenz/Divergenz von [mm](c_n)[/mm] kannst Du nun auf a)
> > zurückführen.
>
> das müsste ich dann hinbekommen
Dann mach doch mal !
> , wenn die a) richtig ist
> :)
> >
>
> zu Aufgabenteil d)
>
> > > d) müsste [mm]-1\le[/mm] q [mm]\le[/mm] 1
>
> > Das kann man so machen: für q=0 ist das klar. Sei also q
> > [mm]\ne[/mm] 0.
> >
> > Zeige:
> >
> > 1. Die Folge [mm](|\bruch{d_{n+1}}{d_n}|)[/mm] ist eine Nullfolge
> > und somit ex. ein N [mm]\in \IN[/mm] mit
> >
> > [mm]|\bruch{d_{n+1}}{d_n}| \le \bruch{1}{2}[/mm] für n>N.
>
> z.z.: [mm]\bruch{q^n^+^1/(n+1)!}{q^n/n!}[/mm] ist Nullfolge
Was glaubst Du, wozu Beträge gut sind ? Antwort: damit man sie benutzt ! Ansonsten ist die Gefahr , Fehler zu machen vorprogrammiert, wie bei Dir.
> [mm]\bruch{q^n^+^1/(n+1)!}{q^n/n!}[/mm] =
> [mm]\bruch{q^n^+^1*n!}{(n+1)!*q^n}[/mm] = [mm]\bruch{qn!}{(n+1)!}[/mm]
> [mm]0\le\bruch{qn!}{(n+1)!}\le[/mm] 1/n
Das ist doch nicht richtig. q ist eine Zahl [mm] \ne [/mm] 0. Es gilt
[mm] |\bruch{d_{n+1}}{d_n}| =\bruch{|q|}{n+1}.
[/mm]
Zauberwort 1: Beträge; Zauberwort 2: Kürzen !
Ist Dir nun klar, dass [mm] (|\bruch{d_{n+1}}{d_n}| [/mm] ) eine Nullfolge ist ?
> [mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{qn!}{(n+1)!}[/mm]
> = 0
> > 2. Setzt man [mm]c:=|d_N|,[/mm] so ist
> >
> > [mm]|d_{N+k}| \le \bruch{1}{2^k}c[/mm] für alle k [mm]\in \IN.[/mm]
> >
> Ich weiß, dass ich noch einiges nicht verstehe, aber ich
> bin dir wirklich sehr dankbar, wenn du mir noch ein Mal
> hilfst, weil ich es wirklich verstehen möchte!
O.K. Dann knie Dich rein.
Gruß FRED
>
> Lieben Gruß und vielen vielen Dank
>
> Katti
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