Konvergenz des newtonverfahren < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:44 So 18.05.2008 | | Autor: | CPH |
| Aufgabe | Wir betrachten das Newton-Verfahren zur Berechnung der positiven Nullstelle x^∗ von
f (x) = [mm] x^n [/mm] − c mit n ∈ [mm] \IN, [/mm] c > 0.
Zeigen Sie, daß die Newton-Iteration für jeden Startwert [mm] x_0 [/mm] > 0 gegen x^∗ = [mm] +c^{1/n} [/mm] konvergiert. |
Ich habe jetzt stundenlang versucht zu zeigen, dass die Newtoniterationsfolge
x1= [mm] x_0 [/mm] [mm] \bruch{1}{(f'(x_0))} *f(x_0) [/mm] beschränkt und monoton ist, ich krieg es aber leider nicht mehr hin.
Könnte vielleicht jemand überprüfen ob meine newtoniteration überhaupt richtig ist und mir helfen den Konvergenz zu zeigen?
Vielen Dank im Voraus
MfG
Christoph
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:58 So 18.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich würde schreiben [mm] x_{n+1}=x_n-\bruch{f(x_n)}{f'(x_n)}
[/mm]
aber das meinst du wohl.
1. Schritt für [mm] 0c^{1/n} [/mm] dann kannst du da anfangen und [mm] c^{1/n} [/mm] als untere Schranke nehmen-
2.f''(x)>0 für n>1 und x>0, d.h. die Steigung der Kurve (also f') steigt.
Damit schneidet jede Tangente bei [mm] x_n [/mm] näher an [mm] c^{1/n} [/mm] als [mm] x_n
[/mm]
Das setzt du jetzt in Formeln um!
anderer Weg, du zeigst dass die Abildung [mm] g(x)=x-\bruch{x^n-c}{n*x^{n-1}}kontrahierend [/mm] ist.
Gruss leduart
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