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| Aufgabe | [mm] a_{1} =\bruch{1}{2} [/mm]
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{a_{n}+1}
[/mm]
Um die Konvergenz zu beweisen, benutze die vollständige Induktion um [mm] \bruch{1}{2}<=a_{n}<=\bruch{3}{2} [/mm] zu zeigen und folgern sie daraus dass an monoton wachsend ist. |
Hallo,
die Aufgabe hat mich verwirrt da sie irgendwie bei mir gar nicht stimmen kann.
Also Induktionsanfang ist erfüllt [mm] (a_{1}=\bruch{1}{2} [/mm] liegt zwischen [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und [mm] \bruch{3}{2}), [/mm] das ist kein Problem.
Wenn ich [mm] a_{n+1} [/mm] aber nun abzuschätzen versuche, z.b. um zu zeigen dass
[mm] a_{n+1} [/mm] => [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ist, setze ich die zahl für [mm] a_{n} [/mm] ein die [mm] a_{n+1} [/mm] so klein wie möglich machen würde, also [mm] \bruch{3}{2}
[/mm]
das würde zu der unstimmigkeit führen, sprich [mm] a_{n+1} [/mm] ist nicht beschränkt da:
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] <= [mm] \bruch{1}{1+\bruch{3}{2}} [/mm] nicht gilt!
Sowas hatte ich bisher noch nicht^^ bisher konnte ich immer abschätzen und damit die Beschränktheit zeigen, hier gilt es augenscheinlich nicht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:47 So 20.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Franky!
Dein Ansatz klappt nicht, da die genannte obere Schranke [mm] $\bruch{3}{2}$ [/mm] nicht die kleinste obere Schranke ist.
Denn die genannte Folge überschreitet nicht den Wert [mm] $\bruch{2}{3}$ [/mm] (oder handelt es sich gar um einen Tippfehler in der Aufgabenstellung?).
Wenn Du jedoch die obige Ungleichung per Induktion nachweist, sollte auch der Wert [mm] $\bruch{3}{2}$ [/mm] kein Problem darstellen.
Gruß
Loddar
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Oh mist, ich doof, sorry, war ein Tippfehler, die Schranke ist [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
also in der Aufgabenstellung steht [mm] \bruch{1}{2}<=a_{n}<=\bruch{2}{3}
[/mm]
Damit würde es aber dann klappen oder? Kann ja mittels Abschätzen dann zeigen dass [mm] a_{n} [/mm] da drin liegt, so wie ich es oben gemacht hab, eben mit [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
nur weiß ich nicht wie ich hieraus die Monotonie folgern kann?
(Aufgabenstellung lautet weiter dass ich aus dieser Beschränktheit wachsende Monotonie folgern soll)
Die Formel lautet ja [mm] a_{n+1}>=a_{n} [/mm] also [mm] a_{n+1}-a_{n}>=0 [/mm] für wachsend
d.h.
[mm] \bruch{1}{a_{n}+1} [/mm] - [mm] a_{n} [/mm] >= 0
und wenn ich weiter umforme komme ich am ende auf:
[mm] a_{n^2}+a_{n}-1>=0
[/mm]
ende gelände für mich ^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:10 So 20.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Franky!
> Damit würde es aber dann klappen oder? Kann ja mittels
> Abschätzen dann zeigen dass [mm]a_{n}[/mm] da drin liegt, so wie
> ich es oben gemacht hab, eben mit [mm]\bruch{2}{3}[/mm]
Aber eine der beiden Grenzen musst Du schon anders (z.B.) mittels Induktion) nachweisen.
Ansonsten folgerst Du nämlich:
$$A \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ B$$
$$B \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ A$$
Das ist "etwas" Zirkelbezug.
> Die Formel lautet ja [mm]a_{n+1}>=a_{n}[/mm] also [mm]a_{n+1}-a_{n}>=0[/mm]
> für wachsend
> d.h.
> [mm]\bruch{1}{a_{n}+1}[/mm] - [mm]a_{n}[/mm] >= 0
>
> und wenn ich weiter umforme komme ich am ende auf:
>
> [mm]a_{n^2}+a_{n}-1>=0[/mm]
Das musst Du mir mal vorrechnen!
Außerdem wird es m.E. schwer, Monotonie zu zeigen, da diese hier gar nicht vorliegt.
Gruß
Loddar
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[mm] \bruch{1}{a_{n}+1} [/mm] - [mm] a_{n} [/mm] >= 0 [mm] |+a_{n}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{a_{n}+1} [/mm] >= [mm] a_{n} |*{a_{n}+1}
[/mm]
1 >= [mm] a^{2}_{n}+a_{n} [/mm] | -1
0 >= [mm] a^{2}_{n}+a_{n} [/mm] - 1
(Mist, habe eben das >= falsch gedreht^^)
Hm den Zirkelbezug verstehe ich nicht ganz, da ja A(n) gilt und innerhalb der beiden Schranken liegt, sollte man doch so arbeiten können ?
Wobei ich in meinem Übungen meistens immer einmal abschätze mit einsetzen und sonst z.b. umforme sodass auf einer Seite 0 steht und links etwas das größer gleich ist (z.b. immer versuche den Term auf eine binomische Formel zu bringen)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:02 Mo 21.12.2009 | | Autor: | abakus |
> [mm]\bruch{1}{a_{n}+1}[/mm] - [mm]a_{n}[/mm] >= 0 [mm]|+a_{n}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{a_{n}+1}[/mm] >= [mm]a_{n} |*{a_{n}+1}[/mm]
>
> 1 >= [mm]a^{2}_{n}+a_{n}[/mm] | -1
> 0 >= [mm]a^{2}_{n}+a_{n}[/mm] - 1
>
> (Mist, habe eben das >= falsch gedreht^^)
>
>
> Hm den Zirkelbezug verstehe ich nicht ganz, da ja A(n) gilt
> und innerhalb der beiden Schranken liegt, sollte man doch
> so arbeiten können ?
> Wobei ich in meinem Übungen meistens immer einmal
> abschätze mit einsetzen und sonst z.b. umforme sodass auf
> einer Seite 0 steht und links etwas das größer gleich ist
> (z.b. immer versuche den Term auf eine binomische Formel zu
> bringen)
Hallo,
dann tu es doch auch hier.
[mm]a^{2}_{n}+a_{n}[/mm] - 1= [mm]a^{2}_{n}+a_{n}[/mm] +0,25-0,25- [mm] 1=(...)^2-0,25- [/mm] 1
Gruß Abakus
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$ [mm] a^{2}_{n}+a_{n} [/mm] $ - 1= $ [mm] a^{2}_{n}+a_{n} [/mm] $ +0,25-0,25- $ [mm] 1=(...)^2-0,25- [/mm] $ 1
das hatte ich mir auch schon überlegt, nur zeigt es ja nicht dass der term >= 0, dies ist immer nur bei [mm] (...)^2 [/mm] der fall, hier steht ja noch -0,25 - 1 dahinter... er könnte also doch noch kleiner 0 werden womit keine monotonie bewiesen wäre :/
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Hallo Frank,
> [mm]a^{2}_{n}+a_{n}[/mm] - 1= [mm]a^{2}_{n}+a_{n}[/mm] +0,25-0,25-
> [mm]1=(...)^2-0,25-[/mm] 1
>
> das hatte ich mir auch schon überlegt, nur zeigt es ja
> nicht dass der term >= 0, dies ist immer nur bei [mm](...)^2[/mm]
> der fall, hier steht ja noch -0,25 - 1 dahinter... er
> könnte also doch noch kleiner 0 werden womit keine
> monotonie bewiesen wäre :/
So ist es. Aber die Bedingung, für welche [mm] a_n [/mm] das erfüllt ist, kannst Du hier doch ablesen. Lös es wie eine quadratische Gleichung und überleg Dir, was Dir die beiden Lösungen sagen sollen. Sie sind hier Geltungsgrenzen der Ungleichung.
lg
reverend
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du meinst ich soll $ [mm] a^{2}_{n}+a_{n} [/mm] $ - 1 mit der pq-formel bearbeiten? hm ja da müssten ja dann 2 grenzen herauskommen für was das ding dann 0 wird richtig? könnte ich das dann so als lösung hinschreiben?
wobei mir das dann eher wenig sagt:
1. lösung: [mm] \bruch{-an}{2} [/mm] + [mm] \wurzel{\bruch{-an^2}{4}+1}
[/mm]
2. lösung: [mm] \bruch{-an}{2} [/mm] - [mm] \wurzel{\bruch{-an^2}{4}+1}
[/mm]
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Hallo Frank,
Deine Lösung kann ich nicht nachvollziehen.
Wenn Du [mm] a_n^2+a_n-1=0 [/mm] nach [mm] a_n [/mm] auflöst, dann kommt mit der p/q-Formel heraus:
[mm] a_{n(1/2)}=-\bruch{1}{2}\pm \wurzel{\bruch{1}{4}+1}=-\bruch{1\pm\wurzel{5}}{2}
[/mm]
(Achtung: die Umformung ist eigentlich nicht völlig korrekt, aber da die Nummerierung der Lösungen egal ist, solange es zwei unterscheidbare gibt, ist diese Umstellung hier möglich. Ob man das letzte Gleichheitszeichen dann schreiben sollte, ist sicher strittig. Sauber wäre ein [mm] \mp [/mm] im Zähler!)
Zu untersuchen war nun aber [mm] a_n^2+a_n-1\le{0}.
[/mm]
Seit der Mittelstufe weißt Du, dass dies eine nach oben offene Parabel ist. Gültige Lösungen liegen also zwischen den beiden Nullstellen (beide inklusive), aber nicht außerhalb.
Jetzt erinnere Dich mal daran, was Du eigentlich nachweisen wolltest.
Hilft Dir die Lösung überhaupt weiter? Das ist nämlich keineswegs selbstverständlich.
Und?
lg
reverend
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> Wenn Du [mm]a_n^2+a_n-1=0[/mm] nach [mm]a_n[/mm] auflöst, dann kommt mit der
> p/q-Formel heraus:
>
> [mm]a_{n(1/2)}=-\bruch{1}{2}\pm \wurzel{\bruch{1}{4}+1}=-
\bruch{1\pm\wurzel{5}}{2}[/mm]
Stimmt, habe das "an" da fälschlicherweise noch eingebaut...
Ok, dann habe ich eben die beiden Lösungen, aber was bringen die mir? Dafür wird der Term dann 0, d.h. dafür habe ich die Monotonie nachgewiesen, richtig?
> (Achtung: die Umformung ist eigentlich nicht völlig
> korrekt, aber da die Nummerierung der Lösungen egal ist,
> solange es zwei unterscheidbare gibt, ist diese Umstellung
> hier möglich. Ob man das letzte Gleichheitszeichen dann
> schreiben sollte, ist sicher strittig. Sauber wäre ein [mm]\mp[/mm]
> im Zähler!)
Das verstehe ich nicht.^^
> Zu untersuchen war nun aber [mm]a_n^2+a_n-1\le{0}.[/mm]
> Jetzt erinnere Dich mal daran, was Du eigentlich nachweisen
> wolltest.
> Hilft Dir die Lösung überhaupt weiter? Das ist nämlich
> keineswegs selbstverständlich.
Welche Lösung? Die beiden Lösungen von oben? Das sind doch, wie oben schon erwähnt, die beiden für die der Term dann 0 wird, also wofür die Monotonie nachgewiesen wäre.
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Ein letztes hallo vor der Nacht, 
> Ok, dann habe ich eben die beiden Lösungen, aber was
> bringen die mir? Dafür wird der Term dann 0, d.h. dafür
> habe ich die Monotonie nachgewiesen, richtig?
Nein, viel mehr!
> > (Achtung: die Umformung ist eigentlich nicht völlig
> > korrekt, aber da die Nummerierung der Lösungen egal ist,
> > solange es zwei unterscheidbare gibt, ist diese Umstellung
> > hier möglich. Ob man das letzte Gleichheitszeichen dann
> > schreiben sollte, ist sicher strittig. Sauber wäre ein [mm]\mp[/mm]
> > im Zähler!)
>
> Das verstehe ich nicht.^^
Rechne es nach. Das vorgezogene Minuszeichen müsste die Vorzeichen der Wurzel umkehren. Das ist hier aber egal, da es ja nur darum geht, zwei verschiedene Lösungen zu definieren. Da wird halt aus [mm] a_{n(1/2)} [/mm] ein [mm] a_{n(2/1)}, [/mm] eine erlaubte Umnummerierung. Ich mag halt das Zeichen [mm] \mp [/mm] nicht.
> Welche Lösung? Die beiden Lösungen von oben? Das sind
> doch, wie oben schon erwähnt, die beiden für die der Term
> dann 0 wird, also wofür die Monotonie nachgewiesen wäre.
Ja, und für alles, was zwischen diesen beiden Punkten liegt. Tipp1: [mm] \blue{\le}. [/mm] Tipp2: Parabel, oben offen. Schau Dir nochmal quadratische Ungleichungen an, das könnte hilfreich sein.
So, und jetzt (für mich) gute Nacht!
rev
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Also hätte ich die Monotonie nachgewiesen?
Mehr brauche ich ja nicht mehr für die Aufgabe, ich weiß leider wirklich nicht worauf du hinaus willst, vielleicht kenne ich das auch nicht bzw wir hatten das noch nicht, jedenfalls wäre bis hierhin die Aufgabe gelöst, da Monotonie (und vieles mehr) nachgewiesen ist, oder^^?
Gute Nacht (für mich zumindest) :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Sa 26.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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