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| Aufgabe | | Zeige: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (1- [mm] \bruch{1}{n^2})^n [/mm] = 1 |
Hat jemand ne Idee wie ich da ran gehen soll? Vielleicht mit der dritten binomischen Formel? Oder so:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (1- [mm] \bruch{1}{n^2})^n [/mm]
= [mm] (\limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (1) - [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{n^2}))^n
[/mm]
= 1 - [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{n^2}) [/mm] * ... *
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{n^2}) [/mm] (n Faktoren)
Jetzt weiß ich
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{n}) [/mm] = 0, also auch
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{n}^2)= [/mm] 0.
Insgesamt gehts also gegen 1.
Darf ich das so machen? Wäre nett wenn mir jemand vielleicht helfen würde. Danke schon mal im Voraus
Ichb habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo!
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] (1- [mm]\bruch{1}{n^2})^n[/mm]
> = [mm](\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] (1) -
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{n^2}))^n[/mm]
> = 1 - [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{n^2})[/mm] * ... *
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{n^2})[/mm] (n Faktoren)
>
> Jetzt weiß ich
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{n})[/mm] = 0, also auch
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{n}^2)=[/mm] 0.
>
> Insgesamt gehts also gegen 1.
Leider darf man den Limes nicht in die Klammer hineinziehen, weil die Anzahl der Produkte ebenfalls von $n$ abhängt.
Allerdings kannst du die dritte binomische Formel benutzen:
[mm] $\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac 1{n^2}\right)^n=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac 1n\right)^n \cdot \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac 1n\right)^n [/mm] $.
Jetzt musst du nur noch benutzen, dass [mm] $\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac xn\right)^n =e^x$ [/mm] für alle [mm] $x\in\R$. [/mm] Habt ihr das in der Vorlesung bereits gezeigt?
Gruß, banachella
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Hallo,
danke dir für deine schnelle Hilfe. Den Grenzwert haben wir schon (der ist e) aber was mach ich mit dem anderen Teil (also da wo das minus steht)???
$ [mm] \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac 1{n^2}\right)^n=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac 1n\right)^n \cdot \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac 1n\right)^n [/mm] $
Danke dir schon im Voraus.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:58 Di 05.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo KommissarLachs!
Verwende doch Banachella's Tipp mit $ [mm] \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{\red{ x}}{n}\right)^n =e^{\red{x }}$
[/mm]
Dann hast Du nämlich einmal den Fall $x \ = \ +1$ bzw. $x \ = \ -1$ .
Gruß
Loddar
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