Konvergenz anhand Wurzelkrit. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:58 Sa 19.12.2009 | | Autor: | hotsauce |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Reihen mit dem Wurzelkriterium auf Konvergenz.
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k^2}{2^k}
[/mm]
mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n}=1 [/mm] |
Nabend,
was genau soll das "mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n}=1" [/mm] bedueten?
bedeutet das, dass ich für das "k" in der gegebenen Reihe eine 1 einsetze und dann die Konvergenz zeige?
Das Kriterium ist ja folgendes:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{a_{n}}
[/mm]
dann würde 0,5 herausbekommen, hab ich das so richtig verstanden?
vielen dank
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 Sa 19.12.2009 | | Autor: | hotsauce |
ja stimmt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{a_{n}}<1 [/mm] jetzt darf man es das "Kriterium" nennen 
...
ja, ich kann iwie mit dem Tipp nicht viel anfangen.
es ist ja:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[k]{ \bruch{k^2}{2^k}}
[/mm]
Tipp:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n}=1 [/mm]
wie verwende ich denn jetzt den Tipp, habe iwie keine Idee...?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:13 Sa 19.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo hotsauce!
> es ist ja: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[k]{ \bruch{k^2}{2^k}}[/mm]
Aufgepasst!
[mm] $$\limes_{\red{k}\rightarrow\infty}\wurzel[k]{\left|\bruch{k^2}{2^k}\right|} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel[k]{k^2}}{2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\left( \ \limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{k} \ \right)^2}{2} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:10 Sa 19.12.2009 | | Autor: | reverend |
hmmm.
Ich entdecke gerade verwundert, dass [mm] \bruch{1}{2} [/mm] in der Darstellung zur Basis 10 tatsächlich genau 0,5 ist. Dann kann ich es doch herleiten...
rev
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 Sa 19.12.2009 | | Autor: | hotsauce |
0,5 bedeutet für die Reihe Konvergenz, da 0,5<1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:14 Sa 19.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo hotsauce!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Richtig erkannt.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Sa 19.12.2009 | | Autor: | hotsauce |
ja sorry, stimmt natürlich:
[mm] \bruch{\left( \ \limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{k} \ \right)^2}{2} [/mm] \
also hab ich den tipp richtig verwendent, und zwar, dss ich für das k die 1 eingesetzt habe?
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Hallo hotsauce,
> ja sorry, stimmt natürlich:
>
> [mm]\bruch{\left( \ \limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{k} \ \right)^2}{2}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> also hab ich den tipp richtig verwendent, und zwar, dss ich
> für das k die 1 eingesetzt habe?
Das behauptet der Tipp doch gar nicht. Er sagt Dir nur, dass Du den Limes in der Klammer kennen darfst, und dass der Grenzwert eben 1 ist - und die wird dann halt noch quadriert...
Es ist also
[mm] \limes_{k\to\infty} \wurzel[k]{\bruch{k^2}{2^k}}= \limes_{k\to\infty} \bruch{\wurzel[k]{k^2}}{2}= \bruch{1}{2}\limes_{k\to\infty} \wurzel[k]{k}^2= \bruch{1}{2} \left(\limes_{k\to\infty} \wurzel[k]{k}\right)^2=\bruch{1}{2}*(1)^2=\bruch{1}{2}\blue{=0,5}
[/mm]
Der blaue Anhang ist eher ein Merker für mich als für dich...
rev
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:41 Sa 19.12.2009 | | Autor: | hotsauce |
ahhhhhhh.... danke schön
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![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]"){kind=small}
