Konvergenz/abs. Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuche die Reihe auf Konvergenz und absolute Konvergenz.
1. [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(n!)^{-1/n}
[/mm]
2. [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(\wurzel{n+1}-\wurzel{n})/n [/mm] |
Hallo
Ich habe hier das Problem, dass ich nicht weiss wie ich anfangen und wie ich die konvergenz/absolute konvergenz genau zeigen soll.
Wir können für diese Aufgabe folgendes Verwenden.
couchy Kriterium
Vergleichssatz für Folgen
Weierstrass-Majorantenkriterium
Leibnitzkriterium
Couchy Wurzelkriterium
D'Alembert Quotientenkriterium
Nun würde ich bei 1. wie folgt vorgehen
Ich nehme an, dass es eine Zusätzliche Folge bn gibt, bn [mm] =q^k [/mm] und nenne die in der aufgabe vorgegebene Folge an, nun sage ich
[mm] \vmat{ an}\le [/mm] bn
und da bn konvergiert, konvergiert nun an absolut
kann ich das machen und wie könnte ich dass dann bei der 2. machen. Ich brauche echt hilfe
Bitte bei der Antwort beachten, dass ich wirklich keine Ahnung habe wie ich das Handwerklich machen kann.
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:32 Sa 23.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Untersuche die Reihe auf Konvergenz und absolute
> Konvergenz.
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> 1. [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(n!)^{-1/n}[/mm]
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> 2. [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(\wurzel{n+1}-\wurzel{n})/n[/mm]
> Hallo
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> Ich habe hier das Problem, dass ich nicht weiss wie ich
> anfangen und wie ich die konvergenz/absolute konvergenz
> genau zeigen soll.
>
> Wir können für diese Aufgabe folgendes Verwenden.
>
> couchy Kriterium
> Vergleichssatz für Folgen
> Weierstrass-Majorantenkriterium
> Leibnitzkriterium
> Couchy Wurzelkriterium
> D'Alembert Quotientenkriterium
>
> Nun würde ich bei 1. wie folgt vorgehen
>
> Ich nehme an, dass es eine Zusätzliche Folge bn gibt, bn
> [mm]=q^k[/mm] und nenne die in der aufgabe vorgegebene Folge an, nun
> sage ich
>
> [mm]\vmat{ an}\le[/mm] bn
>
> und da bn konvergiert, konvergiert nun an absolut
>
> kann ich das machen und wie könnte ich dass dann bei der
> 2. machen. Ich brauche echt hilfe
>
> Bitte bei der Antwort beachten, dass ich wirklich keine
> Ahnung habe wie ich das Handwerklich machen kann.
>
> Danke
Zur 1. Aufgabe:
Klar dürfte sein: [mm] $n^n \ge [/mm] n!$
Jetzt n-te Wurzel ziehen, zum Kehrwert übergehen und das Minorantenkriterium beherzigen.
Zur 2. Aufgabe:
sei [mm] a_n= (\wurzel{n+1}-\wurzel{n})/n
[/mm]
Erweitere mit [mm] \wurzel{n+1}+\wurzel{n} [/mm] und zeige:
0 [mm] \le a_n \le \bruch{1}{n^{3/2}}
[/mm]
FRED
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Hallo Fred
Vielen Dank für deine Antwort.
Nun ist mir dies aber noch nicht vollkommen klar.
also zu 1.
wenn ich die nte Wurzel ziehe, ist dies
[mm] n\ge\wurzel[n]{n!}
[/mm]
berücksichtige ich nun den Kehrwert so ergiebt sich daraus
[mm] 1/n\ge1/\wurzel[n]{n!}
[/mm]
gemäss Majorantenkriterium gilt dann
[mm] 1/n\ge\vmat{1/\wurzel[n]{n!}}
[/mm]
und da 1/n konvergiert, konvergiert nun [mm] 1/\wurzel[n]{n!} [/mm] absolut.
Ist das so gemeint?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:02 Sa 23.10.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo Fred
>
> Vielen Dank für deine Antwort.
>
> Nun ist mir dies aber noch nicht vollkommen klar.
>
> also zu 1.
>
> wenn ich die nte Wurzel ziehe, ist dies
>
> [mm]n\ge\wurzel[n]{n!}[/mm]
>
> berücksichtige ich nun den Kehrwert so ergiebt sich
> daraus
>
> [mm]1/n\ge1/\wurzel[n]{n!}[/mm]
Aber mitnichten! Beim Übergang zum Kehrwert dreht sich die Ungleichung um:
[mm] 1/n \le \wurzel[n]{n!}[/mm]
>
> gemäss Majorantenkriterium gilt dann
>
> [mm]1/n\ge\vmat{1/\wurzel[n]{n!}}[/mm]
>
> und da 1/n konvergiert, konvergiert nun [mm]1/\wurzel[n]{n!}[/mm]
Was meinst du mit "und da 1/n konvergiert" ? Die harmonische Reihe [mm] $\summe \bruch{1}{n}$ [/mm] divergiert! Nicht umsonst hat Fred vom Minorantenkriterium gesprochen.
Viele Grüße
Rainer
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