Konvergenz Summe gg Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Gegeben ist ein Funktion [mm] f\in\mathcal{C}^2(\mathbb{R}^{+})[/mm] und beschränkt.
Folgt die gleichmäßige Konvergenz der Summe
[mm] \sum_{j=1}^{\infty}(f(x+j\Delta)-f(x)) e^{-j\Delta}\Delta [/mm]
für [mm] {\Delta \to 0}[/mm] gegen
[mm]\int_{0}^{\infty}(f(x+z)-f(x)) e^{-z}dz[/mm]
direkt aus der Definition des Integrals, oder muss ich noch etwas zeigen? Ich weiß nämlich nicht wie ich hier vorgehen soll.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:13 Do 26.04.2007 | | Autor: | Mathe_Alex |
Äh...wie ist denn die genaue Aufgabenstellung?
Grundsätzlich würd ich sagen nein: Du weißt ja nicht mal, ob das uneigentliche Integral existiert...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:40 Fr 27.04.2007 | | Autor: | math.ias |
Danke für deine Mitteilung.
Es ist eine Numerikaufgabe. Das Integral
[mm]F:=\int_{0}^{\infty}(f(x+z)-f(x)) e^{-z}dz[/mm]
sollte durch die Summe
[mm]F_{\Delta}:= \sum_{j=1}^{\infty}(f(x+j\Delta)-f(x)) e^{-j\Delta}\Delta [/mm]
approximiert werden, damit es in einem Programm implementiert werden kann. Deshalb hatte ich die x-Achse äquidistante Intervalle zerlegt ([mm]\Delta[/mm]) und hab dann die Treppenfunktion oben benutzt.
Ich sollte aber nun noch zeigen, dass
[mm]\lim_{\Delta\to0}\sup_{x\in R^{+}}\mid F_{\Delta}(x)-F(x)\mid = 0[/mm]
gilt.
Es kann auch angenommen werden, dass die Summe endlich ist, d.h. nur bis N läuft und das Integral somit bis [mm]N\Delta[/mm]. Da f beschränkt ist existiert ja dann auch das Intergal in dem Intervall.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:25 Mi 02.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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