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| Aufgabe | | Für welche z Element [mm] \IC [/mm] konvergiert [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{z^n}{2^n+n^2}? [/mm] |
Hallo!
Ich habe Probleme bei dieser Aufgabe.
Hier meine Versuche:
gesucht: Konvergenzradius
=>Wurzelkriterium
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] \wurzel[n]{\bruch{|1|}{|2^n+n^2|}} [/mm]
Betragsstriche kann man weglassen, da alles größer 0 ist und lim sup auch und man kann Rechenregeln anwenden
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel[n]{1}}{\wurzel[n]{2^n}+\wurzel[n]{n^2}}
[/mm]
Jetzt jeweils der Limes der einzelnen Komponenten berechnen:
[mm] \bruch{1}{2+1} [/mm] , weil [mm] \wurzel[n]{1} [/mm] gegen 1 geht, [mm] \wurzel[n]{2^n} [/mm] geht gegen 2 und [mm] \wurzel[n]{n^2} [/mm] gegen 1
Nun muss ich den Kehrwert bilden und damit bekomme ich einen Konvergenzradius von 3, dass heißt, für alle |z|<3 konvergiert diese Reihe und für alle |z|>3 divergiert sie.
Bevor ich den Rand untersuche(Was passiert bei z=3 und z=-3), würde ich gern wissen, ob das alles richtig ist.
Ich bezweifel das, aber ein Fehler seh ich irgendwie nicht.
Ich bitte um Hilfe
TheBozz-mismo
PS:Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:01 Mi 24.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Für welche z Element [mm]\IC[/mm] konvergiert
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{z^n}{2^n+n^2}?[/mm]
> Hallo!
> Ich habe Probleme bei dieser Aufgabe.
> Hier meine Versuche:
> gesucht: Konvergenzradius
> =>Wurzelkriterium
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] sup
> [mm]\wurzel[n]{\bruch{|1|}{|2^n+n^2|}}[/mm]
> Betragsstriche kann man weglassen, da alles größer 0 ist
> und lim sup auch und man kann Rechenregeln anwenden
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel[n]{1}}{\wurzel[n]{2^n}+\wurzel[n]{n^2}}[/mm]
Mein lieber Herr Gesangsverein ! Verabschiede Dich schnellstens von der Regel
[mm] \wurzel[n]{a+b}= \wurzel[n]{a}+\wurzel[n]{b},
[/mm]
denn sie ist falsch, falscher gehts nicht !!
(das sieht man doch schon an einfachsten Beispielen: n=2, a=b=1)
> Jetzt jeweils der Limes der einzelnen Komponenten
> berechnen:
> [mm]\bruch{1}{2+1}[/mm] , weil [mm]\wurzel[n]{1}[/mm] gegen 1 geht,
> [mm]\wurzel[n]{2^n}[/mm] geht gegen 2 und [mm]\wurzel[n]{n^2}[/mm] gegen 1
> Nun muss ich den Kehrwert bilden und damit bekomme ich
> einen Konvergenzradius von 3, dass heißt, für alle |z|<3
> konvergiert diese Reihe und für alle |z|>3 divergiert
> sie.
>
> Bevor ich den Rand untersuche(Was passiert bei z=3 und
> z=-3), würde ich gern wissen, ob das alles richtig ist.
> Ich bezweifel das, aber ein Fehler seh ich irgendwie
> nicht.
Ich schon (siehe oben)
Tipps:
1. Überlege Dir, dass [mm] 2^n \ge n^2 [/mm] ist für n [mm] \ge [/mm] 4 (Induktion !)
2. aus 1. folgt:
(*) [mm] $2^n \le 2^n+n^2 \le 2^n+2^n= 2*2^n$
[/mm]
3. Gehe in (*) zum Kehrwert über, ziehe n-te Wurzeln (aber richtig !!!!) und schau was passiert, wenn n gegen unendlich geht
FRED
>
> Ich bitte um Hilfe
>
> TheBozz-mismo
> PS:Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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