Konvergenz/Grenzwert von Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:09 Sa 03.12.2011 | | Autor: | sergnant |
| Aufgabe | 1) Überprüfen Sie die Reihe auf Konvergenz:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{2}{(-1)^n*n+(-1)^{n+2} }
[/mm]
2) Berechnen Sie den Grenzwert der Reihe
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{2^{k-3}}{3^{k+2}}
[/mm]
3)Überprüfen Sie, ob die Reihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k-1}{3^{k-1}} [/mm] kovergiert |
Ich stehe hier total auf dem schlauch, habe große Probleme mit dem Thema und bin für jede Hilfe dankbar.
Bei Aufgabe 1) habe ich versucht das Quotientenkriterium zu benutzen, bin dann aber mittendrin stecken geblieben.
Bei Aufgabe 2) würde ich versuchen q zu bestimmen, um den Grenzwert mit der Formel [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] zu errechnen.
Welches Konvergenzkriterium benutze ich am besten bei Aufgabe 3)?
M.f.G.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:25 Sa 03.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1- klammer im nenner [mm] (-1)^n [/mm] aus, dann silltest du sehen, warum die Reihe kovergiert!
Aber auf die idee wärst du vielleicht auch gekommen, wenn du dir die ersten 5 bis -- glieder mal aufgeschrieben hättest.
das sollte man immer tun um ein "Gefühl" für die reihen zu kriegen.
2. schreib so um dass da ein Faktor und die gleiche potenz in Z und N vorkommt.
3, such ne geometrische Reihe, die ab irgendeinem k größer ist.
denk an aufgabe 2
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Sa 03.12.2011 | | Autor: | sergnant |
Erstmal Danke für die Antwort.
Zu 1)
Das habe ich gemacht, und sehe auch das die Reihe konvergiert, denn mit zunehmenden n, geht die Reihe bei wechselndem Vorzeichen gegen Null (-1, 2/3, -1/2, 2/5... usw.) Aber damit habe ich die Reihe ja nicht auf Konvergenz überprüft und hier liegt mein Problem. Wie man [mm] (-1)^n [/mm] aus dem Nenner ausklammert ist mir auch nicht ganz klar, was passiert dann mit [mm] (-1)^{n+2}?
[/mm]
Zu 2)
Hier könnte ich die 2 vor das Summenzeichen ziehen, eine gleiche Potenz in N und Z zu erhalten bereitet mir aber Probleme.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:28 Sa 03.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Erstmal Danke für die Antwort.
> Zu 1)
> Das habe ich gemacht, und sehe auch das die Reihe
> konvergiert, denn mit zunehmenden n, geht die Reihe bei
> wechselndem Vorzeichen gegen Null (-1, 2/3, -1/2, 2/5...
> usw.) Aber damit habe ich die Reihe ja nicht auf Konvergenz
> überprüft und hier liegt mein Problem. Wie man [mm](-1)^n[/mm] aus
> dem Nenner ausklammert ist mir auch nicht ganz klar, was
> passiert dann mit [mm](-1)^{n+2}?[/mm]
[mm](-1)^{n+2}(-1)^n[/mm], denn [mm] (-1)^2=1. [/mm] Es folgt:
[mm] \bruch{2}{(-1)^n\cdot{}n+(-1)^{n+2} }= \bruch{2(-1)^n}{n+1}
[/mm]
FRED
>
> Zu 2)
> Hier könnte ich die 2 vor das Summenzeichen ziehen, eine
> gleiche Potenz in N und Z zu erhalten bereitet mir aber
> Probleme.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Sa 03.12.2011 | | Autor: | sergnant |
Vielen Dank,
nun sieht man, dass bei n gegen unendlich, entweder 2 oder -2 durch unendlich geteilt wird und somit strebt die Reihe gegen Null. Reicht diese Rechnung aus?
Zu 2) wenn ich die 2 vor das Summenzeichen ziehe, erhalte ich doch [mm] 2*\summe_{ik1}^{\infty}\bruch{1^{k-3}}{3^{k+2}}, [/mm] da [mm] 1^{k-3} [/mm] ja wieder 1 ergibt fällt dieser Exponent weg und übrig bleibt [mm] 2*\summe_{ik1}^{\infty}(\bruch{1}{3})^{k+2}
[/mm]
Stimmt das?
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Hallo sergnant,
> Vielen Dank,
> nun sieht man, dass bei n gegen unendlich, entweder 2 oder
> -2 durch unendlich geteilt wird und somit strebt die Reihe
> gegen Null. Reicht diese Rechnung aus?
>
Die Folge [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm] muss auch monoton fallend sein,
dann kannst Du das Leibniz-Kriterium anwenden.
> Zu 2) wenn ich die 2 vor das Summenzeichen ziehe, erhalte
> ich doch [mm]2*\summe_{ik1}^{\infty}\bruch{1^{k-3}}{3^{k+2}},[/mm]
> da [mm]1^{k-3}[/mm] ja wieder 1 ergibt fällt dieser Exponent weg
> und übrig bleibt
> [mm]2*\summe_{ik1}^{\infty}(\bruch{1}{3})^{k+2}[/mm]
> Stimmt das?
Ja.
Gruss
MathePower
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Hallo sergnant!
> Zu 2) wenn ich die 2 vor das Summenzeichen ziehe, erhalte
> ich doch [mm]2*\summe_{ik1}^{\infty}\bruch{1^{k-3}}{3^{k+2}},[/mm]
![[eek]](/images/smileys/eek.gif "[eek]") Nein, das stimmt nicht! ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Du hast hier falsch ausgeklammert.
Es gilt: [mm] $2^{k-3} [/mm] \ = \ [mm] 2^k*2^{-3}$
[/mm]
Ebenso kannst Du im Nenner umformen, um anschließend auf die Form [mm] $(...)^k$ [/mm] zu kommen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:43 Mo 05.12.2011 | | Autor: | Xibit |
> 1) Überprüfen Sie die Reihe auf Konvergenz:
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{2}{(-1)^n*n+(-1)^{n+2} }[/mm]
>
> 2) Berechnen Sie den Grenzwert der Reihe
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{2^{k-3}}{3^{k+2}}[/mm]
>
> 3)Überprüfen Sie, ob die Reihe [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k-1}{3^{k-1}}[/mm]
> kovergiert
Hallo Leute, beschäftige mich per Zufall mit exakt der selben Aufgabenstellung, konnte hier soweit auch alles nachvollziehen bräuchte aber genauere Tipps wie ich nun bei der Nr2. auf den Grenzwert komme und mit dem Tipp wie man nun bei der 3. verfahren soll, weiß ich leider auch nichts anzufangen.
Wäre da vll nomal jemand so nett und gibt ein paar konkretere Ansätze.
Vielen Dank schon mal im Vorraus
Gruß X
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Hallo Xibit,
> > 1) Überprüfen Sie die Reihe auf Konvergenz:
> > [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{2}{(-1)^n*n+(-1)^{n+2} }[/mm]
> >
>
> > 2) Berechnen Sie den Grenzwert der Reihe
> > [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{2^{k-3}}{3^{k+2}}[/mm]
> >
> > 3)Überprüfen Sie, ob die Reihe [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k-1}{3^{k-1}}[/mm]
> > kovergiert
>
> Hallo Leute, beschäftige mich per Zufall mit exakt der
> selben Aufgabenstellung, konnte hier soweit auch alles
> nachvollziehen bräuchte aber genauere Tipps wie ich nun
> bei der Nr2. auf den Grenzwert komme und mit dem Tipp wie
> man nun bei der 3. verfahren soll, weiß ich leider auch
> nichts anzufangen.
>
> Wäre da vll nomal jemand so nett und gibt ein paar
> konkretere Ansätze.
Na, die Tipps stehen doch oben:
2) Es ist [mm]\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{2^{k-3}}{3^{k+2}}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{2^{k-2}}{3^{k+3}}=\frac{1}{2^2}\cdot{}\frac{1}{3^3}\cdot{}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^k[/mm]
Nun denke an daran, was du über die geometr. Reihe weißt ...
3) Finde wie oben angedeutet eine konvergente Majorante (Vergleichs-/Majorantenkriterium)
Der Hinweis, scharf auf 2) zu schauen, steht auch oben.
Probiere mal etwas rum ...
>
> Vielen Dank schon mal im Vorraus
Dem armen "Voraus" genügt ein "r" vollkommen, obwohl ihm ständig und hartnäckig von vielen usern die doppelte Portion angedreht wird ...
>
> Gruß X
LG
schachuzipus
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