Konvergenz Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:35 Di 03.02.2009 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Aufgabe 1
Zeigen Sie mithilfe der Definition des Grenzwertes, dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{5n-1}{7n+9} [/mm] = [mm] \bruch{5}{7}
[/mm]
gilt.
Aufgabe 2
Zeigen Sie mittels der Definition der Konvergenz, dass die Folge
[mm] ((-1)^n [/mm] + [mm] \bruch{1}{n}) [/mm] n=1 bis [mm] \infty [/mm]
nicht konvergiert. |
Moin,
hier frage ich nach dem Formalismus. Wie muss ich das Ganze - laut Aufgabenstellung - mittels der Definition von Grenzwert bzw. Konvergenz
aufschreiben?
a) Ich könnte z.b. n aus Zähler und Nenner ausklammern und erhalte [mm] \bruch{5}{7}. [/mm]
b) Hier kann ich sehen, dass die Folge alterniert; d.h. für große n die Werte
-1 und 1 annimmt.
Aber man soll ja die Definitionen verwenden???
Danke & Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:40 Di 03.02.2009 | | Autor: | abakus |
> Aufgabe 1
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> Zeigen Sie mithilfe der Definition des Grenzwertes, dass
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{5n-1}{7n+9}[/mm] =
> [mm]\bruch{5}{7}[/mm]
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> gilt.
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> Aufgabe 2
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> Zeigen Sie mittels der Definition der Konvergenz, dass die
> Folge
>
> [mm]((-1)^n[/mm] + [mm]\bruch{1}{n})[/mm] n=1 bis [mm]\infty[/mm]
>
> nicht konvergiert.
> Moin,
>
> hier frage ich nach dem Formalismus. Wie muss ich das Ganze
> - laut Aufgabenstellung - mittels der Definition von
> Grenzwert bzw. Konvergenz
> aufschreiben?
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> a) Ich könnte z.b. n aus Zähler und Nenner ausklammern
> und erhalte [mm]\bruch{5}{7}.[/mm]
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> b) Hier kann ich sehen, dass die Folge alterniert; d.h. für
> große n die Werte
> -1 und 1 annimmt.
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> Aber man soll ja die Definitionen verwenden???
>
> Danke & Gruß
Grenzwert: Ab einem bestimmten n liegen alle Folgenglieder in jeder (noch so kleinen) Epsilon-Umgebung. Offensichtlich liegen aber unendlich viele Folgenglieder (nämlich jedes zweite) außerhalb von kleinen Epsilon-Umgebungen der Zahlen -1 bzw. 1.
Gruß Abakus
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Hallo Wolfgang,
zu Aufgabe 1
> Aufgabe 1
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> Zeigen Sie mithilfe der Definition des Grenzwertes, dass
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> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{5n-1}{7n+9}[/mm] =
> [mm]\bruch{5}{7}[/mm]
>
> gilt.
>
> hier frage ich nach dem Formalismus. Wie muss ich das Ganze
> - laut Aufgabenstellung - mittels der Definition von
> Grenzwert bzw. Konvergenz
> aufschreiben?
>
> a) Ich könnte z.b. n aus Zähler und Nenner ausklammern
> und erhalte [mm]\bruch{5}{7}.[/mm]
>
> b) Hier kann ich sehen, dass die Folge alterniert; d.h. für
> große n die Werte
> -1 und 1 annimmt.
>
> Aber man soll ja die Definitionen verwenden???
>
> Danke & Gruß
>
Die formale [mm] $\varepsilon$-Definition [/mm] kennst du?!
Gib dir ein beliebiges [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] vor, dann musst das berüchtigte [mm] $n_0$ [/mm] bestimmen, so dass für alle [mm] $n\ge n_0$ [/mm] gilt, dass [mm] $|a_n-a|<\varepsilon$
[/mm]
Es kommt also darauf an, in einer Nebenrechnung den Betrag [mm] $\left|\frac{5n-1}{7n+9}-\frac{5}{7}\right|$ [/mm] abzuschätzen.
Dazu mache erstmal gleichnamig, dann kürzt sich so einiges weg, die Betragstriche kannst du dann auch vergessen.
Es bleibt [mm] $\frac{52}{7(7n+9)}$ [/mm]
Das soll [mm] $<\varepsilon$ [/mm] sein, also [mm] $\frac{52}{7(7n+9)}\overset{!}{<}\varepsilon$
[/mm]
Löse das nach n auf und du hast dein [mm] $n_0$ [/mm] konstruiert
Danach nimmst du das Schönschreibpapier und fängst an:
"Sei [mm] $\varepsilon>0$, [/mm] wähle [mm] $n_0:=...$, [/mm] dann gilt für alle [mm] $n\ge n_0$ [/mm] (dann die Abschätzungskette)"
LG
schachuzipus
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