Konvergenz/Grenzfunktion Reihe < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:57 Mi 20.11.2013 | | Autor: | aaron12 |
| Aufgabe | Zeige, dass
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{z^{2}-(2*n+1)*z+n*(n+1)}
[/mm]
normal in [mm] \IC \backslash \IN [/mm] konvergiert und bestimme die Grenzfunktion. |
Hallo,
könnte mir hierzu vielleicht einen Ansatz/Tipp geben, wie man bei so einer Aufgabe vorgehen muss? Ich kenne die Grenzwertbestimmung zu Reihen bisher nur mit "n", also ohne x oder z. Dabei hat man meistens gezeigt dass die Folge, über die summiert wird keine Nullfolge ist um die Divergenz zu zeigen oder hat eine Majorante für die Summenglieder angegeben, die eine konvergente Folge darstellt und hat damit die Konvergenz gezeigt.
Hier verändert sich das z aber ja auch, da es ja wohl eine beliebige komplexe Zahl ist, also weiß ich nicht ganz wie ich das abschätzen soll oder eine Majorante angeben kann, da z ja prinzipiell beliebig groß ist..geschweige denn eine "Grenzfunktion" bestimmen soll..
Würde mich sehr über einen Hinweis dazu freuen :) Wenn ich zwischenzeitlich schon allein weiterkomme schreib ich das natürlich
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
betrachte die Partialbruchzerlegung. Dann kannst du sehr gut die Grenzfunktion bestimmen (Tipp: Teleskopsumme).
Wenn du diese bestimmt hast, müsste man sich nur noch klar machen, dass der Wert in [mm] \IC\setminus\IN [/mm] liegt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:11 Mi 20.11.2013 | | Autor: | aaron12 |
Hallo,
danke für deine Antwort :)
Ich habe für mein A und B bei der Partialbruchzerlegung 1 und -1 raus, also habe ich die Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{infty} \bruch{1}{-z+n}- \bruch{}{-z+(n+1)} [/mm] .
Bis auf den 1. und letzten Term hebt sich ja alles weg, also hab ich
[mm] \summe_{n=1}^{m} \bruch{1}{1-z} [/mm] - [mm] \bruch{1}{(m+1)-z}
[/mm]
Wenn m jetzt gegen unendlich geht, kann ich aber nichts über den Wert der Summe aussagen, oder? Da z ja auch einen beliebigen Wert haben kann.
Konvergiert es normal in C ohne N, da keine der Brüche 0 werden kann falls z keine (positive) ganze Zahl ist?
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Hi,
> Hallo,
>
> danke für deine Antwort :)
>
> Ich habe für mein A und B bei der Partialbruchzerlegung 1
> und -1 raus, also habe ich die Reihe
> [mm]\summe_{n=1}^{infty} \bruch{1}{-z+n}- \bruch{}{-z+(n+1)}[/mm]
> .
> Bis auf den 1. und letzten Term hebt sich ja alles weg,
Nein, denn die Folge der Partialsummen geht doch gegen unendlich. Das heißt also insbesondere dass nur der erste Summand stehen bleibt.
Der Wert ist also [mm] f(z)=\frac{1}{1-z}
[/mm]
> also hab ich
> [mm]\summe_{n=1}^{m} \bruch{1}{1-z}[/mm] - [mm]\bruch{1}{(m+1)-z}[/mm]
>
> Wenn m jetzt gegen unendlich geht, kann ich aber nichts
> über den Wert der Summe aussagen, oder? Da z ja auch einen
> beliebigen Wert haben kann.
> Konvergiert es normal in C ohne N, da keine der Brüche 0
> werden kann falls z keine (positive) ganze Zahl ist?
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:05 Do 21.11.2013 | | Autor: | aaron12 |
Hallo,
danke nochmal für deine Antwort. Ich kannte bisher nur Teleskopsummen, bei denen dann alles bis auf das 1. und letzte Glied weggeht, und das letzte wegen einer Grenzwertbetrachtung für n gegen unendlich gegen 0 geht.
Bist du dir sicher, dass man das so machen kann? Weil dann verstehe ich nicht,dass ich zeigen soll dass diese Summe normal konvergiert in C ohne die natürlichen Zahlen.. Würde es nicht ausreichen, die 1 rauszunehmen, oder wie muss ich das mit C ohne N verstehen?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:51 Do 21.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
also erstmal: Wenn Du keine saubere Notation benutzt, kann man Deine
Fragen schwerlich beantworten. Schreibe lieber zu sauber auf, als zu schlampig,
d.h. lieber auch zu viel als zu wenig!
> Hallo,
>
> danke für deine Antwort :)
>
> Ich habe für mein A und B bei der Partialbruchzerlegung 1
> und -1 raus, also habe ich die Reihe
> [mm]\summe_{n=1}^{infty} \bruch{1}{-z+n}- \bruch{}{-z+(n+1)}[/mm]
Du hast also
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{z^{2}-(2\cdot{}n+1)\cdot{}z+n\cdot{}(n+1)}=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n-z}-\frac{1}{(n+1)-z}$
[/mm]
raus.
Nehmen wir mal an, dass das soweit stimmt. (Ich habe NICHTS
nachgerechnet!)
Dann gilt doch für jedes $N [mm] \in \IN$
[/mm]
[mm] $\summe_{n=1}^{N}\bruch{1}{z^{2}-(2\cdot{}n+1)\cdot{}z+n\cdot{}(n+1)}=\sum_{n=1}^N \frac{1}{n-z}-\frac{1}{(n+1)-z}$
[/mm]
[mm] $=\sum_{n=1}^N \frac{1}{n-z}-\sum_{n=1}^N \frac{1}{(n+1)-z}=\frac{1}{1-z}+\red{\left(\sum_{n=1}^N \frac{1}{n-z}-\sum_{k=2}^{N}\frac{1}{k-z}\right)}-\frac{1}{(N+1)-z}$
[/mm]
Auch, wenn sich das rotmarkierte zu Null weghebt, solltest Du bedenken,
dass wir dort Probleme bekommen werden, wenn [mm] $z=n_0 \in \IN$ [/mm] und $N [mm] \ge n_0$
[/mm]
ist. Ja? Jetzt weißt Du auch, wieso da in der Aufgabe von $z [mm] \notin \IN$ [/mm] die Rede
ist, oder?
Wenn nicht, kannst Du ja mal - noch elementarer - mal nachgucken, für
welche [mm] $z\,$ [/mm] denn
[mm] $z^{2}-(2\cdot{}n+1)\cdot{}z+n\cdot{}(n+1)=0$
[/mm]
gilt - denn wir wollen doch keine Nenner haben, die Null werden... D.h.
solche [mm] $z\,$ [/mm] müssen wir ausschließen.
Übrigens haben wir doch jetzt genau das, was Du meintest, was Du bei
 Teleskopsummen bzw. Teleskopreihen kennst:
Für festes (und zulässiges!) $z [mm] \in \IC$ [/mm] gilt doch
[mm] $\frac{1}{(N+1)-z} \to [/mm] 0$ bei $N [mm] \to \infty\,.$
[/mm]
Somit kommst Du zu Richies Ergebnis:
[mm] $\frac{1}{1-z}\,.$
[/mm]
Und nur, damit klarer wird, was ich hier unter "zulässig" verstehen will:
Eigentlich musst Du tatsächlich am Besten von der Ausgangsreihe der
Bauart
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{z^{2}-(2\cdot{}n+1)\cdot{}z+n\cdot{}(n+1)}$
[/mm]
ausgehen und Dir erstmal angucken, für welche [mm] $z\,$ [/mm] der Nenner Null werden
kann, wenn [mm] $n\,$ [/mm] halt [mm] $\IN$ [/mm] durchläuft. Für diese ist die Reihe nämlich
undefiniert.
Mit der pq-Formel ist das nicht schwer (Du kannst natürlich auch ganz
elementar mit quadratischer Ergänzung arbeiten. Aber das ist ja nur der
Beweis der pq-Formel):
[mm] $z^2-(2n+1)z+n(n+1)=0$
[/mm]
[mm] $\iff$ $z=\frac{2n+1}{2}\pm \sqrt{\frac{4n^2+4n+1}{4}-\frac{4n^2+4n}{4}}=\frac{2n+1}{2}\pm \frac{1}{2}$
[/mm]
[mm] $\iff$ [/mm] $z [mm] \in \{n,\;n+1\}\,.$
[/mm]
D.h., wenn Du die (Funktionen-)Reihe
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{z^{2}-(2\cdot{}n+1)\cdot{}z+n\cdot{}(n+1)}$
[/mm]
hast, was ja erstmal nur formal für die Folge ihrer Teilsummen, also
[mm] ${\left(\summe_{n=1}^{M}\bruch{1}{z^{2}-(2\cdot{}n+1)\cdot{}z+n\cdot{}(n+1)}\right)}_{M=1}^\infty$
[/mm]
steht, so siehst Du:
Beim Folgenglied
mit [mm] $M=1\,$ [/mm] muss $z [mm] \notin \{1,\;1+1\}=\{1,2\}$ [/mm] gefordert werden
mit [mm] $M=2\,$ [/mm] muss $z [mm] \notin \{1,\;1+1\} \cup \{2,\,2+1\}=\{1,2,3\}$ [/mm] gefordert werden
mit [mm] $M=3\,$ [/mm] muss $z [mm] \notin \{1,\;1+1\} \cup \{2,\,2+1\} \cup \{3,\,3+1\}=\{1,2,3,4\}$ [/mm] gefordert werden
etc. pp.
Insgesamt ist nur jedes Folgenglied dieser (Funktionen-)Folge wohldefiniert,
wenn $z [mm] \notin \bigcup_{n=1}^\infty \{n,\,n+1\}=\IN$ [/mm] gilt. (Bei mir ist $0 [mm] \notin \IN$!)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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