Konvergenz Folge mit Wurzel < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:50 Do 11.02.2016 | | Autor: | rsprsp |
| Aufgabe | Untersuchen Sie folgende Folgen auf konvergenz. Fall diese konvergiert, geben Sie den Grenzwert an!
[mm] (b_n)_{n\in\IN} [/mm] mit [mm] a_n [/mm] := [mm] \wurzel{2n^2-n+2}-\wurzel{2n^2+n-1}
[/mm]
[mm] (b_n)_{n\in\IN} [/mm] mit [mm] b_n [/mm] := [mm] \wurzel{2n^2-n+2}-\wurzel{n^2+n-1} [/mm] |
[mm] a_n [/mm] := [mm] \wurzel{2n^2-n+2}-\wurzel{2n^2+n-1}
[/mm]
[mm] \wurzel{2n^2-n+2}-\wurzel{2n^2+n-1} [/mm] * [mm] \bruch{\wurzel{2n^2-n+2}+\wurzel{2n^2+n-1}}{\wurzel{2n^2-n+2}+\wurzel{2n^2+n-1}} [/mm] = [mm] \bruch{2n^2-n+2-2n^2-n+1}{\wurzel{2n^2-n+2}+\wurzel{2n^2+n-1}} [/mm] = [mm] \bruch{-2n+3}{\wurzel{2n^2-n+2}+\wurzel{2n^2+n-1}} [/mm] = [mm] \bruch{-2n+3}{\wurzel{n^2(2-\bruch{1}{n}+\bruch{2}{n^2})}+\wurzel{n^2(2+\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n^2}})} [/mm] = [mm] \bruch{-2n+3}{n\wurzel{(2-\bruch{1}{n}+\bruch{2}{n^2})}+n\wurzel{(2+\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n^2}})} [/mm] = [mm] \bruch{n(-2+\bruch{3}{n})}{n\wurzel{(2-\bruch{1}{n}+\bruch{2}{n^2})}+n\wurzel{(2+\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n^2})}} [/mm]
= [mm] \bruch{n(-2+\bruch{3}{n})}{n(\wurzel{(2-\bruch{1}{n}+\bruch{2}{n^2})}+\wurzel{(2+\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n^2})})} [/mm]
= [mm] \bruch{(-2+\bruch{3}{n})}{\wurzel{(2-\bruch{1}{n}+\bruch{2}{n^2})}+\wurzel{(2+\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n^2})}} [/mm]
damit ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(-2+\bruch{3}{n})}{\wurzel{(2-\bruch{1}{n}+\bruch{2}{n^2})}+\wurzel{(2+\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n^2})}} [/mm] = [mm] \bruch{-2}{2\wurzel{2}} [/mm] = [mm] \bruch{-1}{\wurzel{2}}
[/mm]
D.h konvergent
[mm] b_n [/mm] := [mm] \wurzel{2n^2-n+2}-\wurzel{n^2+n-1} [/mm] = [mm] \wurzel{2n^2-n+2}-\wurzel{n^2+n-1} [/mm] * [mm] \bruch{\wurzel{2n^2-n+2}+\wurzel{n^2+n-1}}{\wurzel{2n^2-n+2}+\wurzel{n^2+n-1}} [/mm] = [mm] \bruch{n^2-2n+3}{\wurzel{2n^2-n+2}+\wurzel{n^2+n-1}} [/mm] = [mm] \bruch{n^2-2n+3}{\wurzel{n^2(2-\bruch{1}{n}+\bruch{2}{n^2})}+\wurzel{n^2(1+\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n^2})}} [/mm] = [mm] \bruch{n^2(1-\bruch{2}{n}+\bruch{3}{n^3})}{n\wurzel{(2-\bruch{1}{n}+\bruch{2}{n^2})}+n\wurzel{(1+\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n^2})}} [/mm] = [mm] \bruch{n^2(1-\bruch{2}{n}+\bruch{3}{n^3})}{n\wurzel{(2-\bruch{1}{n}+\bruch{2}{n^2})}+n\wurzel{(1+\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n^2})}} [/mm] = [mm] \bruch{n^2(1-\bruch{2}{n}+\bruch{3}{n^3})}{n(\wurzel{(2-\bruch{1}{n}+\bruch{2}{n^2})}+\wurzel{(1+\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n^2})})} [/mm] = [mm] \bruch{n(1-\bruch{2}{n}+\bruch{3}{n^3})}{(\wurzel{(2-\bruch{1}{n}+\bruch{2}{n^2})}+\wurzel{(1+\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n^2})})}
[/mm]
damit ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n(1-\bruch{2}{n}+\bruch{3}{n^3})}{(\wurzel{(2-\bruch{1}{n}+\bruch{2}{n^2})}+\wurzel{(1+\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n^2})})} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
D.h. divergent
In der Aufgabe steht aber ich soll zuerst die Konvergenz beweisen, würde das irgendwie anders gehen oder habe ich es richtig gemacht?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:38 Fr 12.02.2016 | | Autor: | Jule2 |
Hab es jetzt nicht nachgerechnet sieht aber gut aus!!
Die Konvergenz könntest du noch mit dem [mm] \varepsilon-Kriterium [/mm] nachweisen falls ihr das hattet!!
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:48 Fr 12.02.2016 | | Autor: | rsprsp |
Also: Ist das jetze notwendig oder reicht wenn ich beweise,dass die eine einen Grenzwert besitzt und die eine nicht (bzw. aufgrund dessen die eine konvergiert und die andere nicht)
|
|
|
| |
|
Hiho,
vorweg: Deine Umformungen sind grundsätzlich richtig.
Dann: Du solltest dir mal klar machen, was du bei der Berechnung des Grenzwerts eigentlich tust. Formal benötigst du noch 1-2 Begründungen, warum du das machen darfst, was du tust.
Ist dir klar, mit welchem "Hilfsmittel" du den Grenzwert bestimmt hast.?
Also wie begründest du folgende Gleichheit, die du "so einfach" hingeschrieben hast?
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(-2+\bruch{3}{n})}{\wurzel{(2-\bruch{1}{n}+\bruch{2}{n^2})}+\wurzel{(2+\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n^2})}} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{-2}{2\wurzel{2}} [/mm] $
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:14 Fr 12.02.2016 | | Autor: | rsprsp |
Damit wende ich den Limes an für alle "Teilfolgen" und alle die "Teilfolgen" die ein n bzw [mm] n^2 [/mm] im Nenner haben laufen gegen Null, da wenn im Zähler wird nicht verändert ( Zahl als Zahl ist konstant) und der Nenner immer größer wird (n=1,2,3,4,..) wird die Teilfolge immer kleiner also läuft gegen Null.
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Damit wende ich den Limes an für alle "Teilfolgen" und
> alle die "Teilfolgen" die ein n bzw [mm]n^2[/mm] im Nenner haben
> laufen gegen Null, da wenn im Zähler wird nicht verändert
> ( Zahl als Zahl ist konstant) und der Nenner immer größer
> wird (n=1,2,3,4,..) wird die Teilfolge immer kleiner also
> läuft gegen Null.
und warum darfst du das tun?
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Fr 12.02.2016 | | Autor: | rsprsp |
Aufgrund dessen, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n} [/mm] = 0 also wie ich es schon ober erklärt habe.
|
|
|
| |
|
Hiho,
schon mal was vom Begriff "Grenzwertsätze" gehört?
Hattet ihr bestimmt. Unter welchen Umständen darf man die anwenden?
Um dir die relevanz mal klar zu machen:
Offensichtlich ist:
[mm] $\lim_{n\to\infty} [/mm] 0 = 0$ und [mm] $\lim_{n\to\infty} [/mm] 1 = 1$
Aber es gilt auch: $0 = n-n$ und $1 = (1+n) - n$
Würde man die Grenzwertsätze nun immer anwenden können wäre einerseits ja:
$0 = [mm] \lim_{n\to\infty} [/mm] 0 = [mm] \lim_{n\to\infty} [/mm] (n-n) = [mm] \lim_{n\to\infty}n [/mm] - [mm] \lim_{n\to\infty} [/mm] n = [mm] \infty [/mm] - [mm] \infty$
[/mm]
Aber eben auch:
$1 = [mm] \lim_{n\to\infty} [/mm] 1 = [mm] \lim_{n\to\infty} [/mm] (1+n)-n = [mm] \lim_{n\to\infty}(1+n) [/mm] - [mm] \lim_{n\to\infty}n [/mm] = [mm] \infty [/mm] - [mm] \infty$
[/mm]
Und damit $0 = 1$.
Daher: Wann darfst du Grenzwertsätze anwenden?
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:17 Fr 12.02.2016 | | Autor: | rsprsp |
Leider nicht :) Bin eher einer der es praktisch lernt und sich nur für die Prüfung vorbereitet :D
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Leider nicht :) Bin eher einer der es praktisch lernt und sich nur für die Prüfung vorbereitet :D
das ändert ja nichts an der Fragestellung, die übrigens auch in jeder Prüfung drankommen kann.
Wann ist [mm] $\lim_{n\to\infty} (a_n [/mm] + [mm] b_n) [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} a_n [/mm] + [mm] \lim_{n\to\infty} b_n$
[/mm]
Gruß,
Gono
|
|
|
|
