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Konvergenz Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:56 Fr 26.08.2011
Autor: frato

Aufgabe
Sei [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] eine reelle Folge, die gegen a konvergiert. Zeigen sie, dass dann auch die Folge der [mm] b_{n}=\bruch{1}{n}\summe_{k=1}^{n}a_{k} [/mm] gegen a konvergiert.

Heyho,
wieder mal eine Frage: Wir haben gerade diese Examensaufgabe vor uns liegen und kommen nicht wirklich auf einen grünen Zweig. Kann uns jemand einen Tipp oder Anstoß geben, wie man auf die Lösung kommen könnte?

Unsere erste Idee war:
sei [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] eine Nullfolge und konvergiert somit gegen a=0.  
Die Folge [mm] b_{n}=\bruch{1}{n}\summe_{k=1}^{n}a_{k} [/mm] konvergiert für [mm] n->\infty [/mm] auch gegen 0, weshalb beide gegen a=0 konvergieren...

Allerdings hätten wir hier so ja nur einen Fall abgedeckt (und der ist wahrscheinlich nicht mal richtig :)  )...

Also bitte: Hilfe!!!

Danke schon einmal!

        
Bezug
Konvergenz Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:00 Fr 26.08.2011
Autor: benevonmattheis

Hi,
ich würde so vorgehen:
Schau dir mal die Folge definiert durch [mm] $c_n=a_n-a$ [/mm] an. [mm] $c_n$ [/mm] ist eine Nullfolge, klar.
Dann gilt: [mm] $b_n=\bruch{1}{n}\summe_{k=0}^na_k=\bruch{1}{n}\summe_{k=0}^n(c_k+a)=\dots$ [/mm]
Wie gehts weiter? Du kannst hier deine Überlegungen von oben benutzen, allerdings würde ich die etwas ausführlicher begründen.
LG

Bezug
        
Bezug
Konvergenz Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:56 Sa 27.08.2011
Autor: fred97

Das ist der Cauchysche Grenzwertsatz:

http://de.wikipedia.org/wiki/Cauchyscher_Grenzwertsatz

FRED

Bezug
                
Bezug
Konvergenz Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:13 Sa 27.08.2011
Autor: frato

Danke schon mal für die Antworten. Das hat schon mal etwas weitergeholfen. Allerdings ist uns der Beweis bei Wikipedia noch nicht wirklich klar. Wie kommt man von ak-a auf ak-na (sorry für diese Schreibweise, aber mitm Handy ist grad leider nicht mehr möglich)

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:04 Sa 27.08.2011
Autor: leduart

Hallo
[mm]\summe_{i=1}^{n} a=n*a[/mm]
es steht nirgends [mm] a_k-a=a_k-n*a! [/mm]
Gruss leduart


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