Konvergenz/Divergenz v. Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:02 Di 13.12.2011 | | Autor: | piet86 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob die Folgen [mm] (a_{n}) [/mm] (mit n [mm] \in \IN) [/mm] konvergieren, und bestimmen Sie gegebenenfalls deren Grenzwert.
a) [mm] (a_{n})=\bruch{3^{n}}{2^{n+1}+n^{-1}}
[/mm]
b) [mm] (a_{n})=\bruch{n}{e^{n+1}} [/mm] |
zu a) [mm] (a_{n})=\bruch{3^{n}}{2^{n+1}+n^{-1}}
[/mm]
kann ich auch so schreiben:
[mm] (a_{n})=\bruch{3^{n}}{2^{n}*2+n^{-1}}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{3^{n}}{2^{n}*2+n^{-1}}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{3^{n}}{2^{n}*2}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{3}{2})^{n}*\bruch{1}{2}
[/mm]
Mein Problem ist, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{3}{2})^{n}=\infty
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{2}=\bruch{1}{2}
[/mm]
Ich kann aber nicht [mm] \infty*\bruch{1}{2} [/mm] rechnen
Wie mache ich es richtig?
Zu b)
[mm] (a_{n})=\bruch{n}{e^{n+1}}
[/mm]
kann ich auch so schreiben
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1} {e^{n}}*\bruch{n}{e}
[/mm]
Das Problem ist wieder, dass etwas unendliches und nicht unendliches herauskommt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1} {e^{n}}=0
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n} {e}=\infty
[/mm]
Ich kann aber nicht [mm] \infty*0 [/mm] rechnen.
Wo ist mein Denkfehler?
Gruß Piet
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Hallo Piet,
das sieht doch schon ganz gut aus.
> Untersuchen Sie, ob die Folgen [mm](a_{n})[/mm] (mit n [mm]\in \IN)[/mm]
> konvergieren, und bestimmen Sie gegebenenfalls deren
> Grenzwert.
>
> a) [mm](a_{n})=\bruch{3^{n}}{2^{n+1}+n^{-1}}[/mm]
>
> b) [mm](a_{n})=\bruch{n}{e^{n+1}}[/mm]
> zu a) [mm](a_{n})=\bruch{3^{n}}{2^{n+1}+n^{-1}}[/mm]
> kann ich auch so schreiben:
> [mm](a_{n})=\bruch{3^{n}}{2^{n}*2+n^{-1}}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{3^{n}}{2^{n}*2+n^{-1}}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{3^{n}}{2^{n}*2}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{3}{2})^{n}*\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Mein Problem ist, dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{3}{2})^{n}=\infty[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{2}=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Ich kann aber nicht [mm]\infty*\bruch{1}{2}[/mm] rechnen
Wieso nicht? [mm] \infty*\bruch{1}{2}=\infty
[/mm]
> Wie mache ich es richtig?
>
> Zu b)
> [mm](a_{n})=\bruch{n}{e^{n+1}}[/mm]
> kann ich auch so schreiben
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1} {e^{n}}*\bruch{n}{e}[/mm]
>
> Das Problem ist wieder, dass etwas unendliches und nicht
> unendliches herauskommt:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1} {e^{n}}=0[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n} {e}=\infty[/mm]
>
> Ich kann aber nicht [mm]\infty*0[/mm] rechnen.
Das allerdings stimmt.
> Wo ist mein Denkfehler?
Da ist noch gar kein Denkfehler. Wende den Satz von l'Hospital an.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Di 13.12.2011 | | Autor: | piet86 |
Nach l'hospital muss ich ja einfach Nenner und Zähler nach n ableiten:
[mm] (a_{n})=\bruch{n}{e^{n+1}} [/mm]
Zähler: n'=1
[mm] Nenner:(e^{n+1})'=e^{n+1}*1
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{e^{n+1}}=0
[/mm]
Vielen dank reverend
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Hallo nochmal,
> Nach l'hospital muss ich ja einfach Nenner und Zähler
> nach n ableiten:
>
> [mm](a_{n})=\bruch{n}{e^{n+1}}[/mm]
>
> Zähler: n'=1
> [mm]Nenner:(e^{n+1})'=e^{n+1}*1[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{e^{n+1}}=0[/mm]
Richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Vielen dank reverend
Gern geschehen.
Grüße
rev
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