Konvergenz/Divergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:25 Mi 10.11.2010 | | Autor: | jarna37 |
| Aufgabe | $X: [mm] \IR \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto \begin{cases} 1, & \mbox{falls } x \in \IQ \\ 0, & \mbox{falls } x \in \IR \setminus \IQ \end{cases}$
[/mm]
Von den folgenden 6 Aufgaben sind genau drei falsch. Diese müssen mit einem Gegenbeispiel als falsch bewiesen werden.
1. Ist [mm] $(a_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] konvergent, so ist auch [mm] $(X(a_{n}))_{n \in \IN}$ [/mm] konvergent.
2. Ist [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] divergent, so ist auch [mm] (X(a_{n}))_{n \in \IN} [/mm] divergent.
3. Ist [mm] $(X(a_{n}))_{n \in \IN}$ [/mm] divergent, so ist auch [mm] $(a_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] divergent.
4. Ist [mm] $(a_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] divergent, so ist [mm] $\left(\prod\limits_{k=1}^{n} X(a_{k})\right)_{n \in \IN}$ [/mm] divergent.
5. Ist [mm] $\bruch{a_{n}+1}{a_{n}} \in \IQ$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] , so ist [mm] $(X(a_{n}))_{n \in \IN}$ [/mm] konvergent.
6. Gilt [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0$, [/mm] so gilt auch [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}X(a_{n})=0$. [/mm] |
Hey ihr schlauen Leute!
Ich habe ein paar Probleme mit meiner Analysis-Übung... Haupt"problem" ist die obere Aufgabe. Wie man schnell sieht, geht es um Divergenz und Konvergenz. Nur leider habe ich die Begriffe in der Vorlesung überhaupt nicht, oder ungenügend verstanden - und auch google hat nichts gebracht... Jetzt bin ich auf eure HIlfe angewiesen...
Konvergenz habe ich so verstanden, dass die Abbildung dann einen Grenzwert hat. Eine divergente Abbildung hat entweder gar keinen Grenzwert, oder geht gegen unendlich - richtig?
Es wäre ja ganz interessant zu klären, ob X überhaupt erstmal konvergent oder divergent ist... Ich würde sagen, X ist divergent, da nur die Werte 1 und 0 möglich sind, also es keinen echten Grenzwert gibt...?
Wie ihr sehr, brauche ich wirklich eure Hilfe!
Vielen Dank, Jana
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Hallo Jana,
ich habe deinen Artikel mal weitestgehen geflickt, nutze doch bitte vor dem Absenden die Vorschaufunktion.
Die Aussage in 2. solltst du nochmal überprüfen, da ist was im Argen ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:52 Mi 10.11.2010 | | Autor: | jarna37 |
Ok super vielen Dank. Aufgabe 2 ist jetzt richtig.
Es ist ja nicht so, dass ich es nicht versucht hätte, dass genauso hinzubekommen - aber bei mir hats einfach nicht funktioniert. Vor lauter Klammern einfach mal den Überblick verloren...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:25 Mi 10.11.2010 | | Autor: | abakus |
> [mm]X: \IR \to \IR, x \mapsto \begin{cases} 1, & \mbox{falls } x \in \IQ \\ 0, & \mbox{falls } x \in \IR \setminus \IQ \end{cases}[/mm]
>
> Von den folgenden 6 Aufgaben sind genau drei falsch. Diese
> müssen mit einem Gegenbeispiel als falsch bewiesen
> werden.
> 1. Ist [mm](a_{n})_{n \in \IN}[/mm] konvergent, so ist auch
> [mm](X(a_{n}))_{n \in \IN}[/mm] konvergent.
> 2. Ist [mm](a_{n})_{n \in \IN}[/mm] divergent, so ist auch
> [mm](X(a_{n}))_{n \in \IN}[/mm] divergent.
> 3. Ist [mm](X(a_{n}))_{n \in \IN}[/mm] divergent, so ist auch
> [mm](a_{n})_{n \in \IN}[/mm] divergent.
> 4. Ist [mm](a_{n})_{n \in \IN}[/mm] divergent, so ist
> [mm]\left(\prod\limits_{k=1}^{n} X(a_{k})\right)_{n \in \IN}[/mm]
> divergent.
> 5. Ist [mm]\bruch{a_{n}+1}{a_{n}} \in \IQ[/mm] für alle [mm]n \in \IN[/mm]
> , so ist [mm](X(a_{n}))_{n \in \IN}[/mm] konvergent.
> 6. Gilt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0[/mm], so gilt auch
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}X(a_{n})=0[/mm].
>
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> Hey ihr schlauen Leute!
> Ich habe ein paar Probleme mit meiner Analysis-Übung...
> Haupt"problem" ist die obere Aufgabe. Wie man schnell
> sieht, geht es um Divergenz und Konvergenz. Nur leider habe
> ich die Begriffe in der Vorlesung überhaupt nicht, oder
> ungenügend verstanden - und auch google hat nichts
> gebracht... Jetzt bin ich auf eure HIlfe angewiesen...
> Konvergenz habe ich so verstanden, dass die Abbildung dann
> einen Grenzwert hat. Eine divergente Abbildung hat entweder
> gar keinen Grenzwert, oder geht gegen unendlich - richtig?
> Es wäre ja ganz interessant zu klären, ob X überhaupt
> erstmal konvergent oder divergent ist... Ich würde sagen,
> X ist divergent, da nur die Werte 1 und 0 möglich sind,
> also es keinen echten Grenzwert gibt...?
> Wie ihr sehr, brauche ich wirklich eure Hilfe!
> Vielen Dank, Jana
Hallo,
zur Aufgabe 1 gebe ich dir mal ein Gegenbeispiel.
Die Folge [mm] (a_n)=(\bruch{1}{\wurzel{2 }^n} [/mm] ) konvergiert gegen Null, sie ist also konvergent.
Die Folgenglieder sind aber abwechselnd irrational und rational, somit ist die Folge [mm] (X(a_n)) [/mm] divergent, da ihre Glieder abwechselnd 0 bzw. 1 sind.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:32 Mi 10.11.2010 | | Autor: | jarna37 |
Vielen Dank erstmal!
Würde den bei der 1. nicht auch 1/x als Gegenbeispiel gehen? Das konvergiert ja auch gegen 0... darauf wäre ich dann zumindest selbst gekommen ;)
Also ist die Abbildung X doch eigentlich erstmal für sich selbst divergent, oder? Weil sie ja nur zwischen den Werten 1 und 0 hin und herspringt... Demnach wäre ja dann die 2. Aussage wahr und die 3. wieder falsch - mit dem selben Gegenbeispiel wie in der 1. ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:51 Mi 10.11.2010 | | Autor: | abakus |
> Vielen Dank erstmal!
> Würde den bei der 1. nicht auch 1/x als Gegenbeispiel
> gehen? Das konvergiert ja auch gegen 0... darauf wäre ich
> dann zumindest selbst gekommen ;)
Du meinst sicher 1/n?
Nein, das wäre kein Gegenbeispiel. Alle Werte von 1/n sind rational, keiner ist irrational. Somit hätten sämtliche Werte der [mm] X(a_n) [/mm] den Wert 1, damit konvergiert auch die Folge der [mm] X(a_n), [/mm] denn alle ihre Werte liegen in einer (noch so schmalen) [mm] \epsilon [/mm] -Umgebung von 1.
> Also ist die Abbildung X doch eigentlich erstmal für sich
> selbst divergent, oder? Weil sie ja nur zwischen den Werten
> 1 und 0 hin und herspringt... Demnach wäre ja dann die 2.
> Aussage wahr und die 3. wieder falsch - mit dem selben
> Gegenbeispiel wie in der 1. ?
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:57 Mi 10.11.2010 | | Autor: | jarna37 |
Achso ... ok, klar.
Aber deine Aufgabe wäre doch dann auch ein Gegenbeispiel für die 3., da [mm] 1/\wurzel{2}^n [/mm] ja gegen 0 konvergiert, oder bin ich falsch?
Ist den X jetzt überhaupt erstmal für sich konvergent oder divergent?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:55 Mi 10.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du kannst bei X nicht von konvergent oder divergent reden!
nur [mm] X(a_n) [/mm] kann konv. oder divergent sein, je nach den [mm] a_n
[/mm]
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:59 Mi 10.11.2010 | | Autor: | jarna37 |
Ok, trotzdem Danke. Auf diese Antwort warte ich seit ca. 21 Uhr - und jetzt kann ich die Aufgaben auch ganz anders bearbeiten... hatte da einen Denkfehler drinnen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:21 Di 16.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:04 Mi 10.11.2010 | | Autor: | jarna37 |
Vielleicht kann mir ja jemand mit den anderen Aussagen helfen? Immerhin muss ich aus den verbleibenden 5 nur noch 2 falsche raussuchen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:22 Mi 10.11.2010 | | Autor: | Snarfu |
Um beispielsweise die 6. zu lösen kannst du die Einschließungsregel benutzen indem du zwei Folgen [mm] $X_0$, $X_1$ [/mm] betrachtest deren Glieder alle jeweils $1$ bzw. $0$ sind.
Für die 5. steht es ja quasi schon da. Guck dir mal die Definition Rationaler Zahlen an.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:28 Mi 10.11.2010 | | Autor: | jarna37 |
Super, vielen Dank erstmal, dass du so spät noch darauf reagierst.
VOn einer Erschließungsregel habe ich leider noch nie was gehört... deswegen kann ich mit deinem Tipp leider nicht so sehr viel anfangen
Ok, also schon klar, dass [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] eine Bruchzahl ist, setze ich das dann so in X ein? Denn dann würde ich ja immer bei der 1 rauskommen... Demnach ist dann [mm] (X(a_{n}) [/mm] divergent, weil immer der gleiche Wert herauskommt - aber wie beweise ich das ganz formal?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:37 Mi 10.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
$ [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] $ ist eine "Bruchzahl" ist kein mathm Bezeichnung. es ist ein Bruch, je nachdem kann er rational oder reell oder je nach Wahl von an mal rational mal nicht rational sein.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:41 Mi 10.11.2010 | | Autor: | jarna37 |
Ok, also das ist ein Bruch... danke, also [mm] \in \IQ [/mm] und daher ist [mm] X(\bruch{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] ) divergent, da nur der wert 1 erreicht wird?
Vllt könnte mir jemand auch einfach sagen, welche 2 Aussagen noch falsch sind, damit ich mit meinen Freunden dann nach einem passenden Beweis suchen kann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:53 Mi 10.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein
ein Bruch aus 2 reellen Zahlen ist doch nicht immer rational?
sowohl Zähler als auch nenner können nicht rational sein, als auch beide!
liest du eigentlich posts genau? das hatte ich schon geschrieben.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:57 Mi 10.11.2010 | | Autor: | jarna37 |
Entschuldigung ja, ich lese die Posts. Aber nach 3 Stunden vergeblichem Rumhängen in diesem Forum ohne eine Antwort auf meine Fragen wirds mir langsam ein bisschen viel und spät.
Das alles kann man auch auf eine wesentlich nettere Art sagen, ohne mich gleich dumm da stehen zu lassen.
Und jetzt bitte kein "oh mein gott, bist du empfindlich" - wie gesagt, langer tag und ich hatte mir mehr von dem Forum erhofft
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