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Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenz Divergenz
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Konvergenz Divergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:03 Di 19.06.2007
Autor: lc76

Aufgabe
Gegeben sind reelle Zahlen ak mit mit ak >=0 für alle k [mm] \in [/mm] N. Zeigen Sie, dass die beiden unendlichen Reihen

[mm] \summe_{k=1}^{\infty} [/mm] ak und

[mm] \summe_{k=1}^{\infty} [/mm] ak/(1+ak)

beide konvergieren oder beide divergieren.

Kann mir jemand helfen? Habe überhaupt keine Ahnung, wie die Aufgabe zu lösen ist :(

DANKE!!!!

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://matheplanet.com

        
Bezug
Konvergenz Divergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:00 Di 19.06.2007
Autor: wauwau

Sei
[mm] \summe_{}^{} a_k [/mm]  konvergent dann ist wegen [mm] a_k \ge [/mm] 0  [mm] a_k \ge \bruch{a_k}{1+a_k} [/mm] und daher
[mm] \summe_{}^{} \bruch{a_k}{1+a_k} [/mm] ebenfalls konvergent

gelichfalls folgt aus der Divergenz von [mm] \summe_{}^{} \bruch{a_k}{1+a_k} [/mm] die Divergenz von [mm] \summe_{}^{} a_k [/mm]

Wenn [mm] \summe_{}^{} \bruch{a_k}{1+a_k} [/mm] konvergent folgt wenigstens, dass  [mm] \bruch{a_k}{1+a_k} [/mm] eine NUllfolge ist und daher auch [mm] a_k [/mm] eine Nullfolge

daher aber auch ab einem gewissen [mm] N_0 [/mm] ist [mm] 1+a_k [/mm] sicherlich [mm] \le [/mm] 2

daher für k ab einem gewissen [mm] N_0 [/mm]

[mm] \bruch{a_k}{1+a_k} \ge \bruch{a_k}{2} [/mm]

und daher

[mm] \summe_{k=N_0}^{\infty} a_k \le 2*\summe_{k=N_0}^{\infty}\bruch{a_k}{1+a_k} [/mm] und daraus die konvergenz von [mm] \summe_{}^{} a_k [/mm]


Bleibt der Fall [mm] \summe_{}^{} a_k [/mm] divergent

Fall 1: [mm] a_k [/mm] konvergieren gegen C [mm] \in \IR^+_0 [/mm]
d.h für ein D>0 gilt ab einem gewissen [mm] N_0 [/mm] gilt  [mm] a_k \le [/mm] C+D
daher

[mm] \summe_{k=N_0}^{\infty}\bruch{a_k}{1+a_k} \ge \bruch{1}{1+C+D}\summe_{k=N_0}^{\infty}a_k [/mm]
und daraus die Divergenz von [mm] \summe_{}^{} \bruch{a_k}{1+a_k} [/mm]

Fall 2: [mm] a_k [/mm] divergieren dann konvergiert wegen  [mm] \bruch{a_k}{1+a_k} =\bruch{1}{1+\bruch{1}{a_k}} [/mm]  der Summand gegen 1, was bedeutet, dass [mm] \summe_{}^{} \bruch{a_k}{1+a_k} [/mm]  ebenfalls divergiert.

q.e.d

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