Konvergenz 2er Reihen. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Untersuchen Sie, ob die folgenden Reihen konvergieren und berechnen Sie gegebenenfalls die Summe:
(a) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch {(-1)^n} {2^n}
[/mm]
(b) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch {1}{4n^2-1}
[/mm]
Schönen guten Abend!! Mein Ansatz ist:
(a) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch {(-1)^n} {2^n} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \left( \bruch{-1}{2} \right)^n
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{n=0}^{\infty} \left( \bruch{-1}{2} \right)^n \to [/mm] 0
[mm] \Rightarrow [/mm] die Reihe konvergiert gegen Null.
Dann muss ich noch die Summe angeben, wenn möglich, aber ich habe keine Ahnung wie. Mein Gefühl sagt, es wäre 1. Kann das sein?
(b) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch {1}{4n^2-1} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \left( \bruch{1}{n^2} \right) [/mm] / 4- [mm] {\left( \bruch{1}{n^2} \right)}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{n=1}^{\infty} \left( \bruch{1}{n^2} \right) [/mm] / 4- [mm] {\left( \bruch{1}{n^2} \right)} \to [/mm] 0
Und die Summe??!! Habe ich überhaupt alles richtig?? Vielen Dank im Voraus =)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:20 Mo 03.12.2007 | | Autor: | andreas |
hi
bei (a) meinst du wohl, dass die aufzusummierende folge [mm] $a_n [/mm] = [mm] \left( \frac{-1}{2} \right)^n$ [/mm] gegen null konvergiert - nicht jedoch die reihe (dies ist zwar ein notweniges kriterium für die reihenkonvergenz, jedoch kein hinreichendes). bei diesem teil könnte die summenformel für die geometrische reihe hilfreich sein. sagt dir diese etwas?
was bedeutet das [mm] $a_n$ [/mm] bei der aufgabenstellung im teil (b)?
grüße
andreas
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Erstmals danke schön für die schnelle Antwort.
Ja, bei (a) habe ich gedacht, es gilt für die Reihe dann automatisch. Über die geometrische Reihe weiß ich leider nix, aber ich werds gleich nachschlagen.
Bei (b) hab ich mich leicht vertippt. Es soll ne 1 sein anstatt [mm] a_{n}. [/mm] Habs korrigiert.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:46 Mo 03.12.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Ja, bei (a) habe ich gedacht, es gilt für die Reihe dann
> automatisch. Über die geometrische Reihe weiß ich leider
> nix, aber ich werds gleich nachschlagen.
also die aussage, dass [mm] $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{-1}{2} \right)^n [/mm] = 0$ ist schon richtig, allerdings bringt dir das für die reihenkonvergenz nicht allzuviel. wie gesagt, solltest du darüber und über den wert der reihe mit hilfe der geometrischen reihe eine aussage machen können.
> Bei (b) hab ich mich leicht vertippt. Es soll ne 1 sein
> anstatt [mm]a_{n}.[/mm] Habs korrigiert.
überlege dir mal, wie man [mm] $\frac{1}{4n^2 - 1} [/mm] = [mm] \frac{A}{2n - 1} [/mm] + [mm] \frac{B}{2n + 1}$ [/mm] partialbruch-zerlegen kann (das heißt bestimme die $A, B [mm] \in \mathbb{R}$, [/mm] so dass vorstehende gleichung gilt). wenn man dann endliche summen [mm] $\sum_{k = 1}^N \frac{1}{4n^2 - 1} [/mm] = [mm] \sum_{k = 1}^N \left(\frac{A}{2n - 1} + \frac{B}{2n + 1} \right)$ [/mm] betrachtet, hebt sich so einiges raus (wenn dir das nicht klar ist, schreibe dir mal ein paar beispiele für kleine $N = 1, 2, 3, ...$ hin) und man kann ganz leicht [mm] $\sum_{k = 1}^\infty \frac{1}{4n^2 - 1}$ [/mm] als folgengrenzwert [mm] $\lim_{N \to \infty} \sum_{k = 1}^N \left(\frac{A}{2n - 1} + \frac{B}{2n + 1} \right)$ [/mm] berechnen.
grüße
andreas
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Das mit der Summenformel war gar nich mal so schlecht. Ich habe den Grenzwert bei 2/3. Jetzt fehlt nur noch die Summe. Ist 1 richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:45 Mo 03.12.2007 | | Autor: | andreas |
hi
wie gesagt gilt [mm] $\lim_{n \to \infty} \left( - \frac{1}{2} \right)^n [/mm] = 0$. und wie du richtig berechnet hast [mm] $\sum_{n = 0}^\infty \left( - \frac{1}{2} \right)^n [/mm] = [mm] \frac{2}{3}$. [/mm] mir ist allerdings unklar was für einen summenwert du noch berechnen willst.
grüße
andreas
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Ich weiß es ehrlich gesagt auch nich so genau :D Der letzte Teil der Aufgabenstellung verwirrt mich halt ein bisschen mit "... und berechnen Sie gegebenenfalls die Summe"....
Aber egal, es ist spät und ich bin glücklich, dass ich jetzt wenigstens einen Teil habe und ich werde jetzt noch an (b) ein bisschen arbeiten. Vielen vielen Dank für deine Hilfe, Andreas!!
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