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Konvergenz + Intervall: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:19 Mi 23.06.2004
Autor: FLy

HI

Habe da so ein kleines Problem mit einer kleinen Mathe aufgabe

Für welche Intervalle I [mm] \subset \IR [/mm] konvergiert die Funktionsreihe

[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^4 + x^4 } [/mm]   x [mm] \not\in [/mm] I

gleichmäßig?

Könnte mir jemand helfen

CIao

FLo
        
Bezug
Konvergenz + Intervall: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:46 Mi 23.06.2004
Autor: Marcel

Hallo,

> HI
>  
> Habe da so ein kleines Problem mit einer kleinen Mathe
> aufgabe
>
> Für welche Intervalle I [mm]\subset \IR[/mm] konvergiert die
> Funktionsreihe
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^4 + x^4 }[/mm]   x [mm]\not\in[/mm] I
>  
> gleichmäßig?

$x [mm] \not\in [/mm] I$ [verwirrt]
Du meinst $x [mm] \in [/mm] I$, oder?

> Könnte mir jemand helfen

Hm, die Aufgabe erscheint mir fast zu einfach. Aber egal...

Also:
Für alle $x [mm] \in \IR, [/mm] n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt:
[mm]n^4+x^4 \ge n^4 \Rightarrow[/mm]

[mm]|\frac{1}{n^4+x^4}|=\frac{1}{n^4+x^4} \le \frac{1}{n^4}[/mm].

Damit folgt dann:
[mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^4 + x^4 } \le \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^4}[/mm]

Nach Satz 15.6 (hier: []http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/pdfANAI.pdf [mm] $\rightarrow$ [/mm] S. 141, (interne) Zählung oben rechts) konvergiert damit die Funktionenreihe glm. auf ganz [mm] $\IR$, [/mm] also auf allen Intervallen.
(denn: Nach Beispiel 6.7 im obigen Skript, S. 52, konvergiert [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^4}[/mm]).

Ob das wirklich schon alles war? Irgendwie muss ich hier doch etwas übersehen, oder? [kopfkratz3] [verwirrt]

Viele Grüße
Marcel
Bezug
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