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| Aufgabe | | Konvergiert die Reihe [mm] \sum_{k=0}^{\infty} [/mm] ( [mm] \wurzel{k+1}-\wurzel{k}) [/mm] ? |
Hinweise von Tutoren meinten, man solle dass mit Vergleichskriterium machen. Leider kenne ich mich mit dem Kriterium so gar nicht aus.
In der Vorlesung so definiert:
Satz sei [mm] |a_k| \le c_k, \forall [/mm] k [mm] \ge k_0 [/mm] und [mm] \sum_{k=k_0}^{\infty} c_k [/mm] < [mm] \infty [/mm] => [mm] \sum_{k=1}^{\infty} a_k [/mm] konvergiert absoulut.
Wie finde ich eine Reihe die konvergiert und wo die Glieder größer sind als die gegebene?
LG
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Hallo!
> Konvergiert die Reihe [mm]\sum_{k=0}^{\infty}[/mm] (
> [mm]\wurzel{k+1}-\wurzel{k})[/mm] ?
> Hinweise von Tutoren meinten, man solle dass mit
> Vergleichskriterium machen. Leider kenne ich mich mit dem
> Kriterium so gar nicht aus.
>
> In der Vorlesung so definiert:
> Satz sei [mm]|a_k| \le c_k, \forall[/mm] k [mm]\ge k_0[/mm] und
> [mm]\sum_{k=k_0}^{\infty} c_k[/mm] < [mm]\infty[/mm] => [mm]\sum_{k=1}^{\infty} a_k[/mm]
> konvergiert absoulut.
>
> Wie finde ich eine Reihe die konvergiert und wo die Glieder
> größer sind als die gegebene?
> LG
Erweitere zunächst mal das: [mm]\wurzel{k+1}-\wurzel{k}[/mm]
mit: [mm]\wurzel{k+1}+\wurzel{k}[/mm]
Valerie
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> > Konvergiert die Reihe [mm]\sum_{k=0}^{\infty}[/mm] ([mm]\wurzel{k+1}-\wurzel{k})[/mm] ?
> Erweitere zunächst mal das: [mm]\wurzel{k+1}-\wurzel{k}[/mm]
>
> mit: [mm]\wurzel{k+1}+\wurzel{k}[/mm]
Hallo ;)
wie meinst du genau? Die ganze Reihe mit dem erweitern oder wie?
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Hi!
> > > Konvergiert die Reihe [mm]\sum_{k=0}^{\infty}[/mm]
> ([mm]\wurzel{k+1}-\wurzel{k})[/mm] ?
>
> > Erweitere zunächst mal das: [mm]\wurzel{k+1}-\wurzel{k}[/mm]
> >
> > mit: [mm]\wurzel{k+1}+\wurzel{k}[/mm]
> Hallo ;)
> wie meinst du genau? Die ganze Reihe mit dem erweitern
> oder wie?
>
>
[mm]\sum_{k=0}^{\infty}[/mm][mm]\wurzel{k+1}-\wurzel{k}[/mm]=[mm]\sum_{k=0}^{\infty}[/mm][mm]\bruch{(\wurzel{k+1}-\wurzel{k}) \cdot (\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}})}{\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}}}[/mm]
Valerie
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Hallo,
und das haben wir und jetzt leichter mit der Erweiterung gemacht? Was
sollte ich den jetzt heraussehen?
LG
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> Hallo,
>
> und das haben wir und jetzt leichter mit der Erweiterung
> gemacht? Was
> sollte ich den jetzt heraussehen?
Ja.
Eine binomische Formel.
>
> LG
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[mm] \sum_{k=0}^{\infty} \bruch{(\wurzel{k+1}-\wurzel{k}) \cdot(\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}})}{\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}}} [/mm]
= [mm] \sum_{k=0}^{\infty} \bruch{(\wurzel{k+1})^2-(\wurzel{k})^2}{\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}}} [/mm]
Okay und muss ich jetzt mit Vergleichskriterium herhalten?Oder hat das was mit der Teleskopreihe zu tun?
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> [mm]\sum_{k=0}^{\infty} \bruch{(\wurzel{k+1}-\wurzel{k}) \cdot(\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}})}{\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}}}[/mm]
>
> = [mm]\sum_{k=0}^{\infty} \bruch{(\wurzel{k+1})^2-(\wurzel{k})^2}{\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}}}[/mm]
>
> Okay und muss ich jetzt mit Vergleichskriterium herhalten?
Du kannst den Zähler doch noch weiter vereinfachen.
Ja, nachdem du den Zähler weiter vereinfacht hast, wendest du das Vergleichskriterium an.
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> > [mm]\sum_{k=0}^{\infty} \bruch{(\wurzel{k+1}-\wurzel{k}) \cdot(\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}})}{\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}}}[/mm]
> >
> > = [mm]\sum_{k=0}^{\infty} \bruch{(\wurzel{k+1})^2-(\wurzel{k})^2}{\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}}}[/mm]
> Du kannst den Zähler doch noch weiter vereinfachen.
meinst so?
[mm] \sum_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}}}
[/mm]
Und mit welcher Reihe ist das zu vergleichen?
Tut mir leid, dass ich da soviel Fragen muss, aber dass ist meine erste Reihe wo in Konvergenz bestimmen soll!
Danke!
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> >
> > > [mm]\sum_{k=0}^{\infty} \bruch{(\wurzel{k+1}-\wurzel{k}) \cdot(\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}})}{\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}}}[/mm]
> > >
> > > = [mm]\sum_{k=0}^{\infty} \bruch{(\wurzel{k+1})^2-(\wurzel{k})^2}{\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}}}[/mm]
>
> > Du kannst den Zähler doch noch weiter vereinfachen.
> meinst so?
> [mm]\sum_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}}}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Und mit welcher Reihe ist das zu vergleichen?
> Tut mir leid, dass ich da soviel Fragen muss, aber dass
> ist meine erste Reihe wo in Konvergenz bestimmen soll!
> Danke!
Schau dir zunächst mal das Majoranten-/Minorantenkriterium an.
Dann musst du die Reihe geeignet abschätzen um mithilfe einer dir bereits bekannten Vergleichsreihe auf die Konvergenz bzw. Divergenz zu schließen.
Fang also so an:
[mm] \bruch{1}{\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}}} > ......>...... > Vergleichsreihe[/mm]
Valerie
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hei danke,
mit der 1/(k*(k+1)) hat es was zu tun oder?
[mm] \bruch{1}{\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}}} [/mm] > [mm] \bruch{1}{\red{\wurzel{k+1}}} [/mm] > [mm] \bruch{1}{\red{k+1}}> \bruch{1}{\red{(k+1)}*k}
[/mm]
Nicht schlagen, wenn es blödsinn ist^^
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> hei danke,
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> mit der 1/(k*(k+1)) hat es was zu tun oder?
>
> [mm]\bruch{1}{\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}}}[/mm] >
> [mm]\bruch{1}{\red{\wurzel{k+1}}}[/mm] > [mm]\bruch{1}{\red{k+1}}> \bruch{1}{\red{(k+1)}*k}[/mm]
>
> Nicht schlagen, wenn es blödsinn ist^^
>
>
Du kannst leicht selbst überprüfen, ob das blödsinn ist, indem du bspweise einfach mal einen Reihenwert nimmst, z.B. k=8 und schaust ob die Abschätzung so funktioniert.
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> > hei danke,
> >
> > mit der 1/(k*(k+1)) hat es was zu tun oder?
> >
> > [mm]\bruch{1}{\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}}}[/mm] >
> > [mm]\bruch{1}{\red{\wurzel{k+1}}}[/mm] > [mm]\bruch{1}{\red{k+1}}> \bruch{1}{\red{(k+1)}*k}[/mm]
>
> >
> > Nicht schlagen, wenn es blödsinn ist^^
> >
> >
>
> Du kannst leicht selbst überprüfen, ob das blödsinn ist,
> indem du bspweise einfach mal einen Reihenwert nimmst, z.B.
> k=8 und schaust ob die Abschätzung so funktioniert.
>
ALso es kommt schon was kleineres raus. Aber du hast mich jetzt verunsichert.
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Für k=8 bekomme ich mit deiner Abschätzung:
[mm] \bruch{1}{\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}}} > \bruch{1}{\wurzel{k+1}}
[/mm] ?
[mm] \bruch{1}{\red{\wurzel{9}+\wurzel{8}}} > \bruch{1}{\wurzel{9}}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{\red{6* \wurzel{2}}} > \bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] 0,11785 > 0,33
[/mm]
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Ja dann ist esBlödsinn.
Also auf Anfang:
$ [mm] \bruch{1}{\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}}} [/mm] $ >
Wie würdest du die erste Abschätzung machen? Vlt. schaff ich es dann auch!
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> Ja dann ist esBlödsinn.
> Also auf Anfang:
>
> [mm]\bruch{1}{\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}}}[/mm] >
> Wie würdest du die erste Abschätzung machen? Vlt. schaff
> ich es dann auch!
[mm]\bruch{1}{\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}}} > \bruch{1}{\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k+1}}} = ... > ....[/mm]
Valerie
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[mm]\bruch{1}{\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}}} > \bruch{1}{\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k+1}}} = \bruch{1}{\red{2*\wurzel{k+1}} }>[/mm] [mm] \bruch{1}{\red{2*(k+1)} }
[/mm]
Versuchte die Abschätzung
> [mm] \bruch{1}{\red{k*(k+1)} }
[/mm]
Aber die gilt ja nicht wenn k=1 ist.
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> [mm]\bruch{1}{\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}}} > \bruch{1}{\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k+1}}} = \bruch{1}{\red{2*\wurzel{k+1}} }>[/mm]
> [mm]\bruch{1}{\red{2*(k+1)} }[/mm]
Die Abschätzung ist gut.
Du weist nun also dass:
[mm]\bruch{1}{\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}}} >[/mm] [mm]\bruch{1}{\red{2*(k+1)} }[/mm]
Was weist du denn über:
[mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{\red{2*(k+1)} } ?[/mm]
Forme die Summe geeignet um, sodass du eine Minorante bekommst.
Konstante nicht von k abhängige Faktoren kannst du vor die Summe ziehen.
Mache danach noch eine Indexverschiebung.
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> >
> > [mm]\bruch{1}{\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}}} > \bruch{1}{\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k+1}}} = \bruch{1}{\red{2*\wurzel{k+1}} }>[/mm]
> > [mm]\bruch{1}{\red{2*(k+1)} }[/mm]
>
> Die Abschätzung ist gut.
Passt
> Du weist nun also dass:
>
> [mm]\bruch{1}{\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}}} >[/mm]
> [mm]\bruch{1}{\red{2*(k+1)} }[/mm]
>
> Was weist du denn über:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{\red{2*(k+1)} } ?[/mm]
Hatten wir nicht in der Vorlesung.
> Forme die Summe geeignet um, sodass du eine Minorante
> bekommst.
> Konstante nicht von k abhängige Faktoren kannst du vor
> die Summe ziehen.
> Mache danach noch eine Indexverschiebung.
So?
[mm]1/2 * \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{1}{\red{(k)} } [/mm]
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> > Forme die Summe geeignet um, sodass du eine Minorante
> > bekommst.
> > Konstante nicht von k abhängige Faktoren kannst du vor
> > die Summe ziehen.
> > Mache danach noch eine Indexverschiebung.
> So?
> [mm]1/2 * \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{1}{\red{(k)} }[/mm]
Der Index sollte bei k=1 beginnen.
Ansonsten passt das.
Was weist du denn jetzt über [mm]1/2 * \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{\red{(k)} }[/mm] Ist die Reihe divergent oder konvergent?
Valerie
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> Der Index sollte bei k=1 beginnen.
> Ansonsten passt das.
Stimmt, der hat ja vorher bei k=0 begonnen. Sry
> Was weist du denn jetzt über [mm]1/2 * \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{\red{(k)} }[/mm]
> Ist die Reihe divergent oder konvergent?
In der vorlesung hatte ich die reihe jetzt nicht, aber wenn ich es ausprobiere wird die reihe größer. Also schätze ich stark auf divergent.
Hätten wird das gesamte nicht auf mittels der Teleskopreihe zeigen können?
LG
Ps.: danke für die geduld
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:07 So 11.12.2011 | | Autor: | Valerie20 |
[mm]1/2 * \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{\red{(k)} }[/mm]
> > Also
> schätze ich stark auf divergent.
Ja, das ist die Harmonische Reihe. Diese ist divergent. Damit ist die Reihe der ursprünglichen Aufgabe auch divergent.
> Hätten wird das gesamte nicht auf mittels der
> Teleskopreihe zeigen können?
> LG
>
Die Frage kann ich dir leider nicht zu 100% beantworten, deshalb nur die Mitteilung.
Wenn man sich die Reihenglieder herausschreibt, stellt man fest, dass:
[mm]\sum_{k=0}^{\infty}\wurzel{k+1}-\wurzel{k})=1+\wurzel{2}-1+\wurzel{3}-\wurzel{2}+\wurzel{4}-\wurzel{3}+\wurzel{5}-\wurzel{4}
Man könnte evtl. so argumentieren, dass \limes_{n\rightarrow\infty} \sum_{k=0}^{n}\wurzel{k+1}-\wurzel{k})=\wurzel{n+1}
Und das dann divergent wäre.[/mm]
Aber wie gesagt unter Vorbehalt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:34 Mo 12.12.2011 | | Autor: | theresetom |
danke, passt
Vielen liebe Grüße und schöne Woche
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