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Konvergenz: noch eine
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:31 Fr 29.07.2005
Autor: Bastiane

Hallo!
Hier noch eine Aufgabe zur Konvergenz:

Man beweise: Jede Folge reeller Zahlen enthält eine monotone (wachsende oder fallende Teilfolge).

Beweis:
Ist die Folge [mm] a_n [/mm] monoton, so ist sie eine monotone Teilfolge. Sei also [mm] a_n [/mm] nicht monoton und [mm] a_0=c. [/mm] Konstruiere eine monoton wachsende Folge [mm] a_{n_k} [/mm] folgendermaßen:
falls [mm] a_1>a_0, [/mm] dann [mm] a_{n_1}:=a_1 [/mm]
falls [mm] a_1a_0 [/mm] dann [mm] a_{n_1}:=a_2, [/mm] ansonsten falls [mm] a_3>0 [/mm] dann [mm] a_{n_1}:=a_3 [/mm] usw.

und im ersten Fall dann weiter:
falls [mm] a_2>a_1, [/mm] dann [mm] a_{n_2}:=a_2 [/mm] usw.

Kann man verstehen, was ich meine? Ist das so korrekt? Scheint mir fast mal wieder zu einfach...
Und vor allem: was mache ich mit einer fallenden Teilfolge? Würde aus meinem Beweis nicht folgen, dass es sowohl eine wachsende als auch eine fallende monotone Folge gibt?

Viele Grüße
Bastiane
[banane]

P.S.: Ach ja, da hier nicht von strenger Monotonie die Rede war, müsste statt jedem < bzw. > ein [mm] \le [/mm] bzw. [mm] \ge [/mm] stehen.



        
Bezug
Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:54 Fr 29.07.2005
Autor: holy_diver_80

Hallo Bastiane,

Hier ist es hilfreich, streng formal vorzugehen. Die Aussage, die zu beweisen ist, lautet formal:

[mm] $\forall [/mm] a [mm] \mbox{ Folge } (\forall [/mm] n [mm] \exists [/mm] m [mm] \ge [/mm] n [mm] \mbox{ so, dass } a_m \ge a_n \wedge \forall [/mm] n [mm] \exists [/mm] m [mm] \ge [/mm] n [mm] \mbox{ so, dass } a_m \le a_n)$ [/mm]

Das Gegenteil dieser Aussgage lautet

[mm] $\exists [/mm] a [mm] \mbox{ Folge } (\exists [/mm] n [mm] \forall [/mm] m [mm] \ge [/mm] n [mm] \mbox{ so, dass } a_m [/mm] < [mm] a_n \vee \exists [/mm] n [mm] \forall [/mm] m [mm] \ge [/mm] n [mm] \mbox{ so, dass } a_m [/mm] > [mm] a_n)$ [/mm]

Ein offensichtlicher Widerspruch, da für "große" m [mm] a_m [/mm] sowohl echt kleiner, als auch echt größer als ein [mm] a_n [/mm] sein muss.

Die analoge Aussage für strenge Monotonie gilt natürlich nicht, da eine beliebige Folge auch konstant sein kann.

Liebe Grüße,
Holy Diver


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