Konvergenz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:00 Mi 27.07.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Du machst es dir hier (vermutlich!) zu einfach, da ich davon ausgehe, dass beide Grenzwertsätze (wie üblich) nur unter der Voraussetzung geführt wurden, dass beide Folgen jeweils gegen eine reelle Zahl konvergieren.
Nun sollst du zeigen, dass die Aussagen sich eben sinngemäß übertragen lassen, wenn genau eine der beiden Folgen gegen [mm] $+\infty$ [/mm] konvergiert. Versuche das bitte einmal zu machen. 
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:43 Do 28.07.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan!
> Du machst es dir hier (vermutlich!) zu einfach, da ich
> davon ausgehe, dass beide Grenzwertsätze (wie üblich) nur
> unter der Voraussetzung geführt wurden, dass beide Folgen
> jeweils gegen eine reelle Zahl konvergieren.
Stimmt - jedenfalls bei der Summe. Beim Produkt steht nur, dass [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] konvergente Folgen reeller Zahlen sind, das heißt doch nicht automatisch, dass sie gegen eine reelle Zahl konvergieren, oder? Allerdings wird im Beweis dann schon gesagt [mm] \lim a_n=:a, [/mm] oder kann das a hier auch [mm] \infty [/mm] sein?
> Nun sollst du zeigen, dass die Aussagen sich eben sinngemäß
> übertragen lassen, wenn genau eine der beiden Folgen gegen
> [mm]+\infty[/mm] konvergiert. Versuche das bitte einmal zu machen.
>
Naja, ich weiß nicht, ob ich das im Moment wirklich machen will, ich glaub, mit der Konvergenz könnte ich mich noch jahrelang beschäftigen, und doch noch nicht alles verstehen. Ich werde bei Gelegenheit nochmal was dazu machen, aber ansonsten erstmal etwas weitermachen. Aber vielleicht könntest du mir einen Ansatz geben, wie man das hier macht? Bei den Beweisen mit der Konvergenz gegen reelle Zahlen wird ja der Grenzwert eingesetzt, das geht bei [mm] \infty [/mm] dann ja nicht, oder?
Viele Grüße
Christiane
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:08 Fr 29.07.2005 | | Autor: | Marcel |
Liebe Christiane!
Ich rechne dir mal die i) vor:
> Hallo schon wieder!
> Mal sehen, wie viele Fragen ich heute noch stelle. Ob das
> ein Rekord wird? 
> Also, hierbei scheint mir die Lösung recht einfach zu sein
> - zu einfach...
>
> Seien [mm](a_n)[/mm] und [mm](b_n)[/mm] Folgen reeller Zahlen mit [mm]\lim a_n=\infty[/mm]
> und [mm]\lim b_n=:b\in\IR.[/mm] Man beweise:
> i) [mm]\lim(a_n+b_n)=\infty[/mm]
Zunächst eine Vorbemerkung:
[mm] $\lim_{n \to \infty} a_n= \infty$ [/mm] heißt:
Ist irgendein $C > 0$ gegeben, so existiert ein [mm] $N=N_C$, [/mm] so dass für alle $n > N$ gilt:
[mm] $a_n [/mm] > C$.
Wir haben also unter den obigen Voraussetzungen an [mm] $(a_n)$ [/mm] und [mm] $(b_n)$ [/mm] zu zeigen:
Ist irgendein $C > 0$ gegeben, so existiert ein [mm] $N=N_C$, [/mm] so dass für alle $n > N$ gilt:
[mm] $a_n+b_n [/mm] > C$.
Beweis.
Sei [mm] $C_1 [/mm] > 0$ gegeben. Sei [mm] $\varepsilon:=1 [/mm] > 0$. Wegen [mm] $b_n \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} [/mm] b $ (beachte: $b [mm] \in \IR$) [/mm] existiert ein [mm] $N_{\varepsilon}=N_1^{(1)}=:N^{(1)} \in \IN$, [/mm] so dass für alle $n > [mm] N^{(1)}$ [/mm] gilt:
[mm] $|b_n-b| \le [/mm] 1$.
Insbesondere folgt daraus dann mit der Dreiecksungleichung für alle $n > [mm] N^{(1)}$:
[/mm]
[mm] $|b_n|=|b_n-b+b| \le \underbrace{|b_n-b|}_{\le 1}+|b|$, [/mm] also:
[mm] $(\star)$ $|b_n| \le [/mm] |b|+1$ [mm] $\forall [/mm] n > [mm] N^{(1)}$.
[/mm]
Wegen [mm] $a_n \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} \infty$ [/mm] existiert zu [mm] $C_2:=C_1+|b|+1 [/mm] > 0$ ein [mm] $N^{(2)} \in \IN$, [/mm] so dass für alle $n > [mm] N^{(2)}$ [/mm] gilt:
[mm] $a_n [/mm] > [mm] C_2$
[/mm]
Nun gilt für alle $n > [mm] N:=\max\{N^{(1)},\;N^{(2)}\} \in \IN$:
[/mm]
[mm]a_n+b_n \ge \underbrace{a_n}_{> C_2} - \underbrace{|b_n|}_{\le |b|+1;\;\;siehe\;(\star)} > C_2-(|b|+1)=C_1[/mm].
Damit ist die Aussage i) bewiesen!
(Bemerkung:
Aus dem Beweis ist folgende Aussage ersichtlich:
Ist [mm] $(a_n)$ [/mm] eine Folge reeller Zahlen mit [mm] $a_n \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} \infty$ [/mm] und ist [mm] $(b_n)$ [/mm] eine beschränkte Folge reller Zahlen, so gilt:
[mm] $a_n+b_n \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} \infty$!)
[/mm]
Viele Grüße,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:03 Fr 29.07.2005 | | Autor: | Marcel |
Liebe Christiane!
> Seien [mm](a_n)[/mm] und [mm](b_n)[/mm] Folgen reeller Zahlen mit [mm]\lim a_n=\infty[/mm]
> und [mm]\lim b_n=:b\in\IR.[/mm] Man beweise:
> ii) Ist b>0, so gilt [mm]\lim(a_n b_n)=\infty;[/mm].
Beweis.
Sei [mm] $C_1 [/mm] > 0$ gegeben. Wir wählen [mm] $\varepsilon:=\frac{b}{2}$, [/mm] was wegen $b>0$ (siehe Voraussetzung) $>0$ ist.
Dann gibt es zu diesem [mm] $\varepsilon$ [/mm] ein [mm] $N^{(1)} \in \IN$, [/mm] so dass für alle $n > [mm] N^{(1)}$ [/mm] gilt:
[mm] $|b-b_n|\le \varepsilon=\frac{b}{2}$.
[/mm]
Wegen der umgekehrten Dreiecksungleichung ($|a-b| [mm] \ge [/mm] |a|-|b|$) folgt daher für alle $n > [mm] N^{(1)}$:
[/mm]
[mm] $|b|-|b_n| \le \frac{b}{2}$.
[/mm]
Also:
[mm] $|b_n| \ge |b|-\frac{b}{2}=b-\frac{b}{2}=\frac{b}{2}$ $\forall [/mm] n > [mm] N^{(1)}$.
[/mm]
Ferner gilt für alle $n > [mm] N^{(1)}$ [/mm] auch [mm] $b_n [/mm] > 0$ (andernfalls wäre [mm] $|b_n -b|=b-b_n=b+|b_n| \ge [/mm] b > [mm] \frac{b}{2}=\varepsilon$), [/mm] d.h. wir wissen:
[mm] $(\star)$ $b_n \ge \frac{b}{2} [/mm] > 0$ [mm] $\forall [/mm] n > [mm] N^{(1)}$. [/mm]
Wegen [mm] $a_n \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} \infty$ [/mm] existiert zu [mm] $C_2:=C_1*\frac{2}{b} [/mm] > 0$ ein [mm] $N^{(2)} \in \IN$, [/mm] so dass für alle $n > [mm] N^{(2)}$ [/mm] gilt:
[mm] $a_n [/mm] > [mm] C_2$ [/mm] (insbesondere [mm] $a_n [/mm] > 0$ [mm] $\forall [/mm] n > [mm] N^{(2)}$).
[/mm]
Es folgt für alle $n > [mm] N:=\max\{N^{(1)},\;N^{(2)}\}$ \in \IN:
[/mm]
[mm] $\underbrace{a_n}_{>0}*\underbrace{b_n}_{>0} [/mm] > [mm] C_2*b_n=C_1*\frac{2}{b}*\underbrace{b_n}_{\ge \frac{b}{2}}\ge C_1*\frac{2}{b}*\frac{b}{2}=C_1$.
[/mm]
Damit ist die Aussage ii) bewiesen!
Analog überlegst du dir bitte die 2e Aussage von Teil ii).
Viele Grüße,
Marcel
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![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]"){kind=small}
