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Hi zusammen,
zu zeigen ist, wenn [mm]\{x^k\}[/mm] eine Q-überlinear gegen [mm]x^\*[/mm] konvergente Folge ist, d.h. wenn gilt: [mm]\|x^{k+1}-x^\*\|\leq\varepsilon_k\|x^k-x^\*\|[/mm] mit [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\varepsilon_k=0[/mm], dann folgt
[mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{\|x^{k+1}-x^k\|}{\|x^k-x^\*\|}=1[/mm]
Also ich hab mir gedacht: Dreiecksungleichung und dann ein bißl rumwurschteln, allerdings komm ich dann auf sowas
[mm]\|x^{k+1}-x^\*\|\leq\|x^{k+1}-x^k\|+\|x^k-x^\*\|[/mm]
[mm]\Leftrightarrow \bruch{\|x^{k+1}-x^\*\|}{\|x^k-x^\*\|}\leq\bruch{\|x^{k+1}-x^k\|}{\|x^k-x^\*\|}+1[/mm]
[mm]\Leftrightarrow \bruch{\|x^{k+1}-x^k\|}{\|x^k-x^\*\|}\geq\bruch{\|x^{k+1}-x^\*\|}{\|x^k-x^\*\|}-1[/mm]
Nu steht schon links der Quotient, für den ich gern im Grenzwert 1 hätte und der Quotient rechts ist nach Voraussetzung [mm]\leq\varepsilon_k[/mm], verschwindet also im Grenzwert. Nur die Relationen und das Vorzeichen beunruhigen mich ein wenig... seh grad irgendwie nicht weiter, oder ist gar der Ansatz falsch.
Vielen Dank für die Hilfe
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Hallo!
Eigentlich brauchst du eine Folge, die von oben gegen 1 konvergiert, und eine, die von unten gegen 1 konvergiert. Nur dann kannst du die Konvergenz der eingeschlossenen Folge folgern.
Mit Hilfe von [mm] $\|x^{k+1}-x^\*\|\ge\|x^{k+1}-x^k\|-\|x^k-x^\*\|$ [/mm] erhältst du
[mm] $\bruch{\|x^{k+1}-x^k\|}{\|x^k-x^\*\|}\le\epsilon_k+1$.
[/mm]
Benutzt du [mm] $\|x^{k+1}-x^\*\|\ge\|x^k-x^\*\|-\|x^{k+1}-x^k\|$, [/mm] so erhältst du
[mm] $1-\epsilon_k\le \bruch{\|x^{k+1}-x^k\|}{\|x^k-x^\*\|}$.
[/mm]
Das ergibt die Konvergenz.
Gruß, banachella
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