Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:30 Di 12.10.2010 | | Autor: | Zuggel |
| Aufgabe | Gegeben sei
[mm] f(n)=\begin{cases} \bruch{n^7}{n+n^7*x-1} x \in [0,n] \\ \bruch{n^4*x^3}{x+n^3*x^5-1} x\in (n,+\infty) \end{cases}
[/mm]
Gesucht ist
a) Der Raum E in welchem es gleichmäßige Konvergenz in einem Punkt gibt und die daraus folgende f(x)
b) Finden Sie heraus ob es im Intervall (0,a) [mm] \subset [/mm] E mit a > 0 gleichmäßige Konvergenz gibt. Wenn nicht untersuchen Sie Unterräume von (0,a) |
Hallo alle zusammen
Also hier mein Lösungsweg, ich hoffe er ist richtig
Ich fange immer so an, also mein 1. Teil der Funktion ist
[mm] \bruch{n^7}{n+n^7*x-1} [/mm] mit x [mm] \in [/mm] [0,n]
also was passiert hier in
x=0
[mm] \bruch{n^7}{n+n^7*0-1} [/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^7}{n+n^7*0-1} [/mm] => ?
Also haben wir schon einmal ein Problem in 0
x=n
[mm] \bruch{n^7}{n+n^7*n-1} [/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^7}{n+n^8-1} [/mm] =>
gegen unendlich kann ich sagen: Gut es zählt immer die höchste Hochzahl, somit
[mm] \bruch{1}{n} [/mm] => 0 Konvergenz
Weiter zu
[mm] \bruch{n^4*x^3}{x+n^3*x^5-1} [/mm] mit [mm] x\in (n,+\infty)
[/mm]
Was passiert hier allgemein mit x > n und < [mm] \infty
[/mm]
es konvergiert zu [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
Nun, also zusammengefasst haben wir konvergenz für [mm] (0,\infty) [/mm] zu f(x)=1/x
b) Absolute Konvergenz ist so ein Thema das ich noch nicht ganz verstanden habe, aber versucht habe ich es trotzdem
Also ich fange mit der Funktion an:
[mm] \phi(x)=|fn(x)-f(x)|=
[/mm]
[mm] |\bruch{n^4*x^3}{x+n^3*x^5-1}-\bruch{1}{x}|
[/mm]
Ableiten
[mm] |-\bruch{n^14}{(x+n^3*x^5-1)^2}+\bruch{1}{x^2}|
[/mm]
Gut hier haben wir immer auf x aufgelöst
[mm] x=\bruch{4*n^7}{n-1}
[/mm]
dann in
sup(0,a) [mm] |\phi(x)|
[/mm]
eingesetzt und der limes untersucht, welcher hier wieder gegen [mm] \infty [/mm] geht.
Nun letztere Operation war mir ohne Taschenrechner nicht möglich, da wir auch bei der Prüfung keinen verwenden dürfen, wollte ich hier um einen kleinen Tipp bitten
Gut also was habe ich jetzt festgestellt?
Dass im Raum zwischen (0,a) wohl keine Konvergenz statt finden wird
Nun, vielleicht gibt es einen Unterraum in dem es Konvergenz gibt. Also definiere ich hier ein b>0 und beschränke mich auf den Raum
[b,a)
[mm] \bruch{n^4*b^3}{b+n^3*b^5-1}
[/mm]
dieses konvergiert zu
[mm] \bruch{1}{b}
[/mm]
Somit gibt es gleichmäßige Konvergenz im Raum [b,a)
Ich hoffe meine Vorgehensweise klar geschildert zu haben. Ich möchte euer Augenmerk unter anderem auf die absolute Konvergenz richten, da es hier wohl noch einiges an Wissensbedarf meinerseits gibt!
Danke
lg
V2: Nun ich sehe hier eine ziemliche Ratlosigkeit ; ich bin auch gerne für alternative Wege offen um die absolute Konvergenz zu bestimmen, also wenn jemand eine Idee hat, dann bitte, gerne!
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> Gegeben sei
> [mm]f(n)=\begin{cases} \bruch{n^7}{n+n^7*x-1} x \in [0,n] \\
\bruch{n^4*x^3}{x+n^3*x^5-1} x\in (n,+\infty) \end{cases}[/mm]
>
> Gesucht ist
> a) Der Raum E in welchem es gleichmäßige Konvergenz in
> einem Punkt gibt und die daraus folgende f(x)
>
> b) Finden Sie heraus ob es im Intervall (0,a) [mm]\subset[/mm] E mit
> a > 0 gleichmäßige Konvergenz gibt. Wenn nicht
> untersuchen Sie Unterräume von (0,a)
Hallo,
Deine Aufgabenstellung ist etwas anstrengend:
1. es geht wohl um die Konvergenz einer Funktionenfolge [mm] f_n [/mm] mit [mm] f_n:[0,\infty)\to \IR, [/mm] und oben scheinst Du anzugeben, wie denn [mm] f_n(x) [/mm] definiert ist.
2. Was soll "gleichmäßige Konvergenz in einem Punkt" sein? Kenn ich nicht...
Könnte es sein, daß Du in Teil a) herausfinden sollst, an welchen Stellen die Funktionenfolge punktweise konvergiert?
3. In Teil b) geht es um gleichmäßige Konvergenz. Ich blicke nicht durch, was Du nun in der Überschrift und in Deinem Text "absolute Konvergenz" am Wickel hast - bzw. ich weiß nicht, was damit gemeint ist.
>
>
> Hallo alle zusammen
>
> Also hier mein Lösungsweg, ich hoffe er ist richtig
>
> Ich fange immer so an, also mein 1. Teil der Funktion ist
>
> [mm]\bruch{n^7}{n+n^7*x-1}[/mm] mit x [mm]\in[/mm] [0,n]
>
> also was passiert hier in
> x=0
> [mm]\bruch{n^7}{n+n^7*0-1}[/mm]
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^7}{n+n^7*0-1}[/mm] => ?
>
> Also haben wir schon einmal ein Problem in 0
Nun, ein Problem muß das nicht sein, mit sowas kann man leben,
aber es ist [mm] \lim_{n\to \infty}f_n(0)=\infty.
[/mm]
>
> x=n
Das ist nicht richtig.
Bei punktweiser Konvergenz mußt Du die Konvergenz an einer festen Stelle betrachten.
Du aber guckst hier [mm] f_1(1), f_2(2), f_3(3), f_4(4), f_5(5), f_6(6) [/mm] usw an, schaust also, wogegen der Ausdruck [mm] f_n(n) [/mm] konvergiert.
Du vergißt weiter die Untersuchung der Punkte zwischen 0 und n.
> [mm]\bruch{n^7}{n+n^7*n-1}[/mm]
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^7}{n+n^8-1}[/mm] =>
> gegen unendlich kann ich sagen: Gut es zählt immer die
> höchste Hochzahl, somit
>
> [mm]\bruch{1}{n}[/mm] => 0 Konvergenz
>
>
> Weiter zu
> [mm]\bruch{n^4*x^3}{x+n^3*x^5-1}[/mm] mit [mm]x\in (n,+\infty)[/mm]
>
> Was passiert hier allgemein mit x > n und < [mm]\infty[/mm]
>
> es konvergiert zu [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
Ist das wirklich so? Weshalb? Du müßtest mich ggf. noch mit Argumenten davon überzeugen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 Fr 15.10.2010 | | Autor: | Zuggel |
>
> Deine Aufgabenstellung ist etwas anstrengend:
>
> 1. es geht wohl um die Konvergenz einer Funktionenfolge [mm]f_n[/mm]
> mit [mm]f_n:[0,\infty)\to \IR,[/mm] und oben scheinst Du anzugeben,
> wie denn [mm]f_n(x)[/mm] definiert ist.
>
Hallo Angela
Genau so ist es, also diese Funktionenfolge ist jedoch (ich weiß nicht ob ich mich jetzt mathematisch korrekt ausdrücke, wenn nicht bitte ich um Verbesserung) begrenzt, und zwar gibt es eine Funktion für den Bereich (inkl. der Extreme) 0 und n und eine Funktion für alles was größer als n ist bis hin zu unendlich.
> 2. Was soll "gleichmäßige Konvergenz in einem Punkt"
> sein? Kenn ich nicht...
> Könnte es sein, daß Du in Teil a) herausfinden sollst,
> an welchen Stellen die Funktionenfolge punktweise
> konvergiert?
>
Entschuldige bitte, vielleicht weißt du noch von früher, dass ich meine Aufgaben übersetze und solche dummen Ausdrückfehler (vor allem weil ich nicht genau wusste wie man das nennt) immer wieder passieren.
Also gemeint ist natürlich für a) punktweise und b) gleichmäßige Konvergenz. Diese gilt es zu finden.
> > x=n
>
> Das ist nicht richtig.
> Bei punktweiser Konvergenz mußt Du die Konvergenz an
> einer festen Stelle betrachten.
> Du aber guckst hier [mm]f_1(1), f_2(2), f_3(3), f_4(4), f_5(5), f_6(6)[/mm]
> usw an, schaust also, wogegen der Ausdruck [mm]f_n(n)[/mm]
> konvergiert.
>
> Du vergißt weiter die Untersuchung der Punkte zwischen 0
> und n.
>
Da hast du wohl Recht.
Gut dann fixiere ich für die punktweise konv. mein "x" und stelle meine Untersuchungen für n an?
Sollte ich nicht auch immer den Rand betrachten, also in diesem Falle: Was passiert für x=0 was für x=n?
Denn für x=0 haben wir keine punktweise Konvergenz, jedoch für meinen Bereich >0 schon. Dies kann ich ja ganz normal untersuchen mit:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^7}{n+n^7*x-1}
[/mm]
welcher gegen [mm] \bruch{1}{x} [/mm] konvergiert, oder?
Somit habe ich meine p.konv. bestätigt für die Funktion & Bereich:
[mm] f(n)=\begin{cases} \blue {\bruch{n^7}{n+n^7\cdot{}x-1} x \in [0,n]} \\ \bruch{n^4\cdot{}x^3}{x+n^3\cdot{}x^5-1} x\in (n,+\infty) \end{cases}
[/mm]
Fehlt der zweite Abschnitt
> > [mm]\bruch{n^7}{n+n^7*n-1}[/mm]
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^7}{n+n^8-1}[/mm] =>
> > gegen unendlich kann ich sagen: Gut es zählt immer die
> > höchste Hochzahl, somit
> >
> > [mm]\bruch{1}{n}[/mm] => 0 Konvergenz
> >
> >
> > Weiter zu
> > [mm]\bruch{n^4*x^3}{x+n^3*x^5-1}[/mm] mit [mm]x\in (n,+\infty)[/mm]
> >
> > Was passiert hier allgemein mit x > n und < [mm]\infty[/mm]
> >
> > es konvergiert zu [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
>
> Ist das wirklich so? Weshalb? Du müßtest mich ggf. noch
> mit Argumenten davon überzeugen.
Nun, dein Nachfragen hat mich jetzt ins Grübeln gebracht.
In der Tat ist der
für x>n
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^4*x^3}{x+n^3*x^5-1} [/mm] -> [mm] \infty [/mm]
Somit heißt das also, dass blauer Bereich konvergiert, roter Bereich jedoch nicht!
[mm] f(n)=\begin{cases} \blue {\bruch{n^7}{n+n^7\cdot{}x-1} x \in [0,n]} \\ \red {\bruch{n^4\cdot{}x^3}{x+n^3\cdot{}x^5-1} x\in (n,+\infty)} \end{cases}
[/mm]
Bin ich bis jetzt auf dem Holzweg oder kann man das so akzeptieren?
___
V2:
So ich habe jetzt noch etwas weitergearbeitet und mir die Funktion
[mm] \bruch{n^7}{n+n^7*x-1}
[/mm]
betrachtet, ich suche nun die gleichförmige Konvergenz. Nach etwas Literatur-Arbeit sollte es dann richtig so gehen:
Ich fixiere mein n und variiere x
Ich untersuche nun folgende Funktion
sup(0,n] |fn(x)-f(x)|
sup [mm] |{n^7}{n+n^7*x-1} [/mm] -1/x|
Ableitung und Betraggstriche weg komme ich auf: (gemeinsamer Nenner gemacht)
[mm] \bruch{2*n^8*x-2*n^7*x+n^2-2*n+1}{x^2*(n+n^7*x-1)}=0
[/mm]
[mm] x=\bruch{n-1}{2n^7}
[/mm]
Diesen Wert setze ich nun in mein sup ein
und erhalte die Funktion
[mm] -\bruch{4n^7}{2*(n-1)}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}-\bruch{4n^7}{2*(n-1)} [/mm] -> [mm] \infty
[/mm]
Ich schließe somit daraus, dass sich für den Bereich (0,n] keine gleichmäßige Konvergenz ergibt. Wenn der lim ->0 gegangen wäre, hätte ich das gehabt.
~Unsicherheit ~ Ab jetzt könnte ich einen kleineren Bereich wählen, ich setze somit ein a >0 an, und bestimme jetzt den Bereich (0,a]
für x=a
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^7}{n+an^7-1} \bruch{-1}{a^2}-> \infty
[/mm]
Ich schätze, jetzt müsste man den Bereich noch einmal verkleinern, oder kann ich jetzt gleichmäßige Konvergenz schon ausschließen?
Vielen Dank Angela
bis bald
lg
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> Gut dann fixiere ich für die punktweise konv. mein "x"
> und stelle meine Untersuchungen für n an?
EDITIERT:
Hallo,
ja.
>
> Sollte ich nicht auch immer den Rand betrachten, also in
> diesem Falle: Was passiert für x=0 was für x=n?
Du mußt die Untersuchung halt für jeden Punkt des Definitionsbereiches durchführen, und Punkte, die Du nicht in einem Aufwasch mit anderen untersuchen kannst, gesondert betrachten.
Wenn Du den einen oder anderen Punkt überflüssigerweise gesondert untersuchst, ist das ja nicht schlimm.
Falsch war es jedoch, für pw Konvergenz den Punkt x=n zu untersuchen, weil dies ja kein fester Punkt ist.
>
> Denn für x=0 haben wir keine punktweise Konvergenz, jedoch
> für meinen Bereich >0 schon. Dies kann ich ja ganz normal
> untersuchen mit:
>
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^7}{n+n^7*x-1}[/mm]
>
> welcher gegen [mm]\bruch{1}{x}[/mm] konvergiert, oder?
Der Limes konvergiert nicht dagegen, sondern er ist =1/x.
> Somit habe ich meine p.konv. bestätigt für die Funktion &
> Bereich:
> [mm]f(n)=\begin{cases} \blue {\bruch{n^7}{n+n^7\cdot{}x-1} x \in (0,n]} \\
\bruch{n^4\cdot{}x^3}{x+n^3\cdot{}x^5-1} x\in (n,+\infty) \end{cases}[/mm]
Nein, leider nicht, denn die Sache ist etwas komplizierter:
Wenn wir den Punkt x=55.7 anschauen, also die Folge [mm] f_1(55.7), f_2(55.7),...f_{55}(55.7), f_{56}(55.7), f_{57}(55.7),... [/mm] anschauen, dann dann müssen die ersten 55 Glieder nach der ersten Vorschrift, die folgenden Glieder nach der zweiten Vorschrift gebildet werden, die anderen Stellen ebenso.
EDIT: Das ist falsch. Es ist genau andersherum, siehe meine Antwort mit dem Betreff "OH".
Du weißt jetzt, wie sich die Funktionenfolge [mm] g_n: (0,\infty)\to \IR [/mm] mit [mm] g_n(x):=\bruch{n^7}{n+n^7\cdot{}x-1} [/mm] benimmt.
> In der Tat ist der
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^4*x^3}{x+n^3*x^5-1}[/mm] -> [mm]\infty[/mm]
Der limes geht nicht gegen unendlich, sondern er ist [mm] =\infty.
[/mm]
>
> Somit heißt das also, dass blauer Bereich
>konvergiert, [mm] \bruch{n^4*x^3}{x+n^3*x^5-1}
[/mm]
Auch hier: Du hast jetzt untersucht, wie die Funktionenfolge [mm] h_n(x): [/mm] (1, [mm] \infty)\to \IR [/mm] mit [mm] h_n(x):=\bruch{n^4*x^3}{x+n^3*x^5-1} [/mm] sich benimmt.
>
> [mm]f(n)=\begin{cases} \blue {\bruch{n^7}{n+n^7\cdot{}x-1} x \in [0,n]} \\
\red {\bruch{n^4\cdot{}x^3}{x+n^3\cdot{}x^5-1} x\in (n,+\infty)} \end{cases}[/mm]
>
>
> Bin ich bis jetzt auf dem Holzweg oder kann man das so
> akzeptieren?
Du hast wichtige Vorarbeiten geleistet, jetzt mußt Du die Informationen zusammensetzen.
Welches ist nun der Bereich, in dem wir punktweise Konvergenz haben? (Du hast Dein Eingangspost lobenswerterweise editiert, Teil a) aber falsch...)
Du kannst Dir die Folgen ja mal z.B. mal für die Stellen x=0.25, x=0.9, x=1, x=2.3, x=7, x=11.4 aufschreiben. Ich find sowas nützlich.
Wenn Du dann den Bereich für punktweise Konvergenz bestimmt hast, kannst Du mit der gleichmäßigen weitermachen.
>
> ___
> V2:
>
> So ich habe jetzt noch etwas weitergearbeitet und
> mir die
> Funktion
>
> [mm]\bruch{n^7}{n+n^7*x-1}[/mm]
> betrachtet, ich suche nun die gleichförmige Konvergenz.
> Nach etwas Literatur-Arbeit sollte es dann richtig so
> gehen:
>
> Ich fixiere mein n und variiere x
Ja.
>
> Ich untersuche nun folgende Funktion
>
> sup(0,n] |fn(x)-f(x)|
Du müßtest das Supremum über dem Bereich der punktweisen Konvergenz untersuchen, über welchen Du nochmal nachdenken mußt.
(Spendiere doch einen zusätzlichen Tastendruck für den Index!)
> sup [mm]|{n^7}{n+n^7*x-1}[/mm] -1/x|
Studium des Quelltextes lehrt, daß Du eigentlich
sup [mm] $|\bruch{n^7}{n+n^7*x-1}$ [/mm] -1/x|
meinst.
>
> Ableitung und Betraggstriche weg
Du solltest hier mal sagen, was Du damit bezweckst.
Es geht nicht nur darum, daß Du das Richtige tust, Du mußt es auch nachvollziehbar präsentieren.
Was bezweckst Du mit dem Ableiten?
> komme ich auf:
> (gemeinsamer Nenner gemacht)
> [mm]\bruch{2*n^8*x-2*n^7*x+n^2-2*n+1}{x^2*(n+n^7*x-1)}=0[/mm]
Das hab' ich nicht geprüft.
> [mm]x=\bruch{n-1}{2n^7}[/mm]
Das hab' ich auch.
>
> Diesen Wert setze ich nun in mein sup ein
>
> und erhalte die Funktion
> [mm]-\bruch{4n^7}{2*(n-1)}[/mm]
Bei mir sieht sie geringfügig anders aus, ich hab# im Nenner eine 3 statt der 2.
Ich gehe der Sache jetzt nicht auf den Grund, wenn Du Dir nicht sicher bist, daß Du richtig gerechnet hast, rechne halt nochmal nach.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}-\bruch{4n^7}{2*(n-1)}[/mm] -> [mm] \infty.
[/mm]
Er ist = [mm] -\infty, [/mm] oder?
>
> Ich schließe somit daraus, dass sich für den Bereich
> (0,n] keine gleichmäßige Konvergenz ergibt. Wenn der lim
> ->0 gegangen wäre, hätte ich das gehabt.
Ja. Wobei das Intervallende wie oben erwähnt noch bedenkenswert ist, es ist ja im Moment gar nicht fixiert! Aber das wahre Problem liegt vorn.
Du könntest jetzt überlegen, Deine untere Grenze zu verändern.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:17 Mo 18.10.2010 | | Autor: | Zuggel |
> > Gut dann fixiere ich für die punktweise konv. mein "x"
> > und stelle meine Untersuchungen für n an?
>
> Du mußt die Untersuchung halt für jeden Punkt des
> Definitionsbereiches durchführen, und Punkte, die Du nicht
> in einem Aufwasch mit anderen untersuchen kannst, gesondert
> betrachten.
>
> Wenn Du den einen oder anderen Punkt überflüssigerweise
> gesondert untersuchst, ist das ja nicht schlimm.
> Falsch war es jedoch, für pw Konvergenz den Punkt x=n zu
> untersuchen, weil dies ja kein fester Punkt ist.
Ok, also das scheint mir während der Vorlesung wohl irgendwie entgangen zu sein, klingt jetzt logisch aber war es vorher irgendwie nicht, bzw ich habe wohl nicht drüber nachgedacht. Danke!
>
> >
> > Denn für x=0 haben wir keine punktweise Konvergenz, jedoch
> > für meinen Bereich >0 schon. Dies kann ich ja ganz normal
> > untersuchen mit:
>
> >
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^7}{n+n^7*x-1}[/mm]
> >
> > welcher gegen [mm]\bruch{1}{x}[/mm] konvergiert, oder?
>
> Der Limes konvergiert nicht dagegen, sondern er ist =1/x.
>
>
> > Somit habe ich meine p.konv. bestätigt für die Funktion &
> > Bereich:
>
> > [mm]f(n)=\begin{cases} \blue {\bruch{n^7}{n+n^7\cdot{}x-1} x \in (0,n]} \\
\bruch{n^4\cdot{}x^3}{x+n^3\cdot{}x^5-1} x\in (n,+\infty) \end{cases}[/mm]
>
> Nein, leider nicht, denn die Sache ist etwas
> komplizierter:
>
> Wenn wir den Punkt x=55.7 anschauen, also die Folge
> [mm]f_1(55.7), f_2(55.7),...f_{55}(55.7), f_{56}(55.7), f_{57}(55.7),...[/mm]
> anschauen, dann dann müssen die ersten 55 Glieder nach der
> ersten Vorschrift, die folgenden Glieder nach der zweiten
> Vorschrift gebildet werden, die anderen Stellen ebenso.
>
(1)
> Du weißt jetzt, wie sich die Funktionenfolge [mm]g_n: (0,\infty)\to \IR[/mm]
> mit [mm]g_n(x):=\bruch{n^7}{n+n^7\cdot{}x-1}[/mm] benimmt.
>
(2)
> Auch hier: Du hast jetzt untersucht, wie die
> Funktionenfolge [mm]h_n(x):[/mm] (1, [mm]\infty)\to \IR[/mm] mit
> [mm]h_n(x):=\bruch{n^4*x^3}{x+n^3*x^5-1}[/mm] sich benimmt.
>
Irgendwas sagt mir jetzt, dass ich mit dem Bereich irgendwie etwas falsch gemacht habe. Also ich fange jetzt einmal so an:
Ich habe Funktion 1, diese habe ich untersucht für n welches zwischen inkl. 0 und [mm] \infty [/mm] verläuft.
In 0 hatte ich keine pw Konvergenz.
Ich habe Funktion 2, diese wurde untersucht für den Bereich n und [mm] \infty, [/mm] ich habe daraus geschlossen, dass es keine pw Konvergenz gibt für genannten Bereich.
Fazit:
Ich habe pw Konvergenz auf einem Intervall zwischen 0 und [mm] \infty, [/mm] wobei 0 und [mm] \infty [/mm] ausgeschlossen wurden, sprich: [mm] E=(0,\infty)
[/mm]
Bedenken zum Fazit:
Dieser Bereich [mm] (n,\infty) [/mm] verwirrt mich etwas. Denn wieso kann ich behaupten, dass ich zwischen [mm] (0,\infty) [/mm] pw Konvergenz habe, wenn ich einen weiteren Bereich habe zwischen [mm] (n,\infty) [/mm] welcher keine pw Konvergenz aufweißt
> >
> > Bin ich bis jetzt auf dem Holzweg oder kann man das so
> > akzeptieren?
>
> Du hast wichtige Vorarbeiten geleistet, jetzt mußt Du die
> Informationen zusammensetzen.
> Welches ist nun der Bereich, in dem wir punktweise
> Konvergenz haben? (Du hast Dein Eingangspost
> lobenswerterweise editiert, Teil a) aber falsch...)
>
> Du kannst Dir die Folgen ja mal z.B. mal für die Stellen
> x=0.25, x=0.9, x=1, x=2.3, x=7, x=11.4 aufschreiben. Ich
> find sowas nützlich.
>
>
Das habe ich gemacht, aber hier hat mich das "n" in die Irre geführt, wenn wenn ich die genannten x verwende, woher weiß ich wann ich welche Funktion verwenden muss / kann. n ist ja variabel und die erste Funktion ist für einen variablen Bereich konzipiert. Das bringt mich komplett durcheinander.
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> >
> > Ich untersuche nun folgende Funktion
> >
> > sup(0,n] |fn(x)-f(x)|
>
> Du müßtest das Supremum über dem Bereich der punktweisen
> Konvergenz untersuchen, über welchen Du nochmal nachdenken
> mußt.
>
> (Spendiere doch einen zusätzlichen Tastendruck für den
> Index!)
Den Bereich schätze ich jetzt einmal auf [mm] (0,\infty)
[/mm]
Öm, wie meinst du das mit dem Tastendruck?
>
>
> > sup [mm]|{n^7}{n+n^7*x-1}[/mm] -1/x|
>
> Studium des Quelltextes lehrt, daß Du eigentlich
> sup [mm]|\bruch{n^7}{n+n^7*x-1}[/mm] -1/x|
> meinst.
>
> >
> > Ableitung und Betraggstriche weg
>
> Du solltest hier mal sagen, was Du damit bezweckst.
> Es geht nicht nur darum, daß Du das Richtige tust, Du
> mußt es auch nachvollziehbar präsentieren.
> Was bezweckst Du mit dem Ableiten?
>
Tja jetzt hast du mich erwischt  . Also ich nehme an es läuft hier so: Ich mache die Ableitung, setze sie =0 und finde einen Extremwert. Auf die Frage "Warum machst du das?" weiß ich keine Antwort. Ich weiß, dass ich gefundenen Extremwert in mein supremum einsetze, dann mein "n" gegen [mm] \infty [/mm] schicke und schaue, was passiert.
Ist mein limes = 0, so habe ich über ausgwerteten Bereich gleichmäßige Konvergenz
Ist dieser Wert [mm] \not= [/mm] 0 so muss ich ein kleineres Gebiet wählen
> Bei mir sieht sie geringfügig anders aus, ich hab# im
> Nenner eine 3 statt der 2.
> Ich gehe der Sache jetzt nicht auf den Grund, wenn Du Dir
> nicht sicher bist, daß Du richtig gerechnet hast, rechne
> halt nochmal nach.
>
Ich habe das jetzt nochmal kontrolliert, herausgekommen ist für:
[mm] x=\bruch{-(n-1)}{2n^7}
[/mm]
und eingesetzt in die Funktion ergibt das [mm] \bruch{4*n^7}{n-1}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}-\bruch{4n^7}{(n-1)} [/mm] -> [mm] \infty
[/mm]
> Ja. Wobei das Intervallende wie oben erwähnt noch
> bedenkenswert ist, es ist ja im Moment gar nicht fixiert!
> Aber das wahre Problem liegt vorn.
> Du könntest jetzt überlegen, Deine untere Grenze zu
> verändern.
>
> Gruß v. Angela
>
Ja ganz abgesehen vom Intervallende welches noch definiert werden muss - auch wenn ich solches gegeben oder fixiert hätte, wüsste ich jetzt nicht in welche Richtung ich eine Beschränkung durchführen sollte.
lg
Zuggel
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> > > Somit habe ich meine p.konv. bestätigt für die Funktion &
> > > Bereich:
> >
> > > [mm]f(n)=\begin{cases} \blue {\bruch{n^7}{n+n^7\cdot{}x-1} x \in (0,n]} \\
\bruch{n^4\cdot{}x^3}{x+n^3\cdot{}x^5-1} x\in (n,+\infty) \end{cases}[/mm]
>
> >
> > Nein, leider nicht, denn die Sache ist etwas
> > komplizierter:
> >
> > Wenn wir den Punkt x=55.7 anschauen, also die Folge
> > [mm]f_1(55.7), f_2(55.7),...f_{55}(55.7), f_{56}(55.7), f_{57}(55.7),...[/mm]
> > anschauen, dann dann müssen die ersten 55 Glieder nach der
> > ersten Vorschrift, die folgenden Glieder nach der zweiten
> > Vorschrift gebildet werden, die anderen Stellen ebenso.
> >
> (1)
> > Du weißt jetzt, wie sich die Funktionenfolge [mm]g_n: (0,\infty)\to \IR[/mm]
> > mit [mm]g_n(x):=\bruch{n^7}{n+n^7\cdot{}x-1}[/mm] benimmt.
> >
> (2)
> > Auch hier: Du hast jetzt untersucht, wie die
> > Funktionenfolge [mm]h_n(x):[/mm] (1, [mm]\infty)\to \IR[/mm] mit
> > [mm]h_n(x):=\bruch{n^4*x^3}{x+n^3*x^5-1}[/mm] sich benimmt.
> >
>
> Irgendwas sagt mir jetzt, dass ich mit dem Bereich
> irgendwie etwas falsch gemacht habe.
Hallo,
messerscharf...
Ich hab' Dir ja auch schon gesagt, was Du untersucht hast.
Die beiden genannten Funktionenfolgen g und h.
> Fazit:
> Ich habe pw Konvergenz auf einem Intervall zwischen 0 und
> [mm]\infty,[/mm] wobei 0 und [mm]\infty[/mm] ausgeschlossen wurden, sprich:
> [mm]E=(0,\infty)[/mm]
???
Du hattest doch festgestellt, daß [mm] h_n [/mm] nicht konvergiert. (???)
EDIT: Du hast recht, denn für x>0 wird [mm] f_n(x) [/mm] nach endl. vielen Schritten nach der Vorschrift [mm] g_n(x) [/mm] berechnet, siehe auch meine Antwort mit dem Betreff "OH".
> >
> > Du hast wichtige Vorarbeiten geleistet, jetzt mußt Du die
> > Informationen zusammensetzen.
> > Welches ist nun der Bereich, in dem wir punktweise
> > Konvergenz haben?
> >
> > Du kannst Dir die Folgen ja mal z.B. mal für die Stellen
> > x=0.25, x=0.9, x=1, x=2.3, x=7, x=11.4 aufschreiben. Ich
> > find sowas nützlich.
> >
> >
>
> Das habe ich gemacht, aber hier hat mich das "n" in die
> Irre geführt, wenn wenn ich die genannten x verwende,
> woher weiß ich wann ich welche Funktion verwenden muss /
> kann.
Das habe ich doch weiter oben bei dem Beispiel mit x=55.7 genau erklärt. (???)
EDIT: leider hab' ich's falsch erklärt, siehe meine Antwort mit dem Betreff "OH".
> > >
> > > Ich untersuche nun folgende Funktion
> > >
> > > sup(0,n] |fn(x)-f(x)|
> >
> > Du müßtest das Supremum über dem Bereich der punktweisen
> > Konvergenz untersuchen, über welchen Du nochmal nachdenken
> > mußt.
> >
> > (Spendiere doch einen zusätzlichen Tastendruck für den
> > Index!)
Hiermit meine ich, daß man durch Voranstellen eines Unterstriches einen schönen Index bekommt.
Das Intervall, welches jetzt betrachtet wird, lassen wir mal vorerst offen. [mm] (0,\infty) [/mm] jedenfalls ist sinnlos.
> >
> > Studium des Quelltextes lehrt, daß Du eigentlich
> > sup [mm]|\bruch{n^7}{n+n^7*x-1}[/mm] -1/x|
> > meinst.
> >
> > >
> > > Ableitung und Betraggstriche weg
> >
> > Du solltest hier mal sagen, was Du damit bezweckst.
> > Es geht nicht nur darum, daß Du das Richtige tust, Du
> > mußt es auch nachvollziehbar präsentieren.
> > Was bezweckst Du mit dem Ableiten?
> >
>
>
> Tja jetzt hast du mich erwischt . Also ich nehme an es
> läuft hier so: Ich mache die Ableitung, setze sie =0 und
> finde einen Extremwert.
> Auf die Frage "Warum machst du
> das?" weiß ich keine Antwort.
Du willst doch hier wissen, wie groß der maximale Abstand zwischen [mm] f_n [/mm] und f ist, und schaust danach, ob er gegen 0 konvergiert.
>
> > Bei mir sieht sie geringfügig anders aus, ich hab# im
> > Nenner eine 3 statt der 2.
> > Ich gehe der Sache jetzt nicht auf den Grund, wenn Du
> Dir
> > nicht sicher bist, daß Du richtig gerechnet hast, rechne
> > halt nochmal nach.
> >
>
> Ich habe das jetzt nochmal kontrolliert, herausgekommen ist
> für:
>
> [mm]x=\bruch{-(n-1)}{2n^7}[/mm]
>
> und eingesetzt in die Funktion ergibt das
> [mm]\bruch{4*n^7}{n-1}[/mm]
>
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}-\bruch{4n^7}{(n-1)}[/mm] -> [mm]\infty[/mm]
Das rechne ich nicht nach - hab' kein Psapier gerade und fürs prinzipielle Verständnis ist es nicht so wichtig.
Letztere GW ginge jedoch gegen [mm] -\infty.
[/mm]
> > Ja. Wobei das Intervallende wie oben erwähnt noch
> > bedenkenswert ist, es ist ja im Moment gar nicht fixiert!
> > Aber das wahre Problem liegt vorn.
> > Du könntest jetzt überlegen, Deine untere Grenze zu
> > verändern.
Naja, Deine untere Grenze 0 scheint ja nicht gut zu sein für glm. Konvergenz. Du könntest ja probehalber mal irgendeine andere untere Grenze in der Nähe der 0 versuchen.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:52 Di 19.10.2010 | | Autor: | Zuggel |
>
> > > > Somit habe ich meine p.konv. bestätigt für die Funktion &
> > > > Bereich:
> > >
> > > > [mm]f(n)=\begin{cases} \blue {\bruch{n^7}{n+n^7\cdot{}x-1} x \in (0,n]} \\
\bruch{n^4\cdot{}x^3}{x+n^3\cdot{}x^5-1} x\in (n,+\infty) \end{cases}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Nein, leider nicht, denn die Sache ist etwas
> > > komplizierter:
> > >
> > > Wenn wir den Punkt x=55.7 anschauen, also die Folge
> > > [mm]f_1(55.7), f_2(55.7),...f_{55}(55.7), f_{56}(55.7), f_{57}(55.7),...[/mm]
> > > anschauen, dann dann müssen die ersten 55 Glieder nach der
> > > ersten Vorschrift, die folgenden Glieder nach der zweiten
> > > Vorschrift gebildet werden, die anderen Stellen ebenso.
> > >
> > (1)
> > > Du weißt jetzt, wie sich die Funktionenfolge [mm]g_n: (0,\infty)\to \IR[/mm]
> > > mit [mm]g_n(x):=\bruch{n^7}{n+n^7\cdot{}x-1}[/mm] benimmt.
> > >
> > (2)
> > > Auch hier: Du hast jetzt untersucht, wie die
> > > Funktionenfolge [mm]h_n(x):[/mm] (1, [mm]\infty)\to \IR[/mm] mit
> > > [mm]h_n(x):=\bruch{n^4*x^3}{x+n^3*x^5-1}[/mm] sich benimmt.
> > >
> >
> > Irgendwas sagt mir jetzt, dass ich mit dem Bereich
> > irgendwie etwas falsch gemacht habe.
>
> Hallo,
>
> messerscharf...
> Ich hab' Dir ja auch schon gesagt, was Du untersucht
> hast.
> Die beiden genannten Funktionenfolgen g und h.
>
>
> > Fazit:
> > Ich habe pw Konvergenz auf einem Intervall zwischen 0
> und
> > [mm]\infty,[/mm] wobei 0 und [mm]\infty[/mm] ausgeschlossen wurden, sprich:
> > [mm]E=(0,\infty)[/mm]
>
> ???
> Du hattest doch festgestellt, daß [mm]h_n[/mm] nicht konvergiert.
> (???)
>
Hm ja.
> > >
> > > Du hast wichtige Vorarbeiten geleistet, jetzt mußt Du die
> > > Informationen zusammensetzen.
> > > Welches ist nun der Bereich, in dem wir punktweise
> > > Konvergenz haben?
> > >
> > > Du kannst Dir die Folgen ja mal z.B. mal für die Stellen
> > > x=0.25, x=0.9, x=1, x=2.3, x=7, x=11.4 aufschreiben. Ich
> > > find sowas nützlich.
> > >
> > >
> >
> > Das habe ich gemacht, aber hier hat mich das "n" in die
> > Irre geführt, wenn wenn ich die genannten x verwende,
> > woher weiß ich wann ich welche Funktion verwenden muss /
> > kann.
>
> Das habe ich doch weiter oben bei dem Beispiel mit x=55.7
> genau erklärt. (???)
>
Gut ich habe das jetzt hier anhand einer Excel Tabelle gemacht für n=11
Hier das Ergebnis:
0,999999487 1
0,499999872 2
0,333333276 3
0,249999968 4
0,199999979 5
0,166666652 6
0,142857132 7
0,124999992 8
0,111111105 9
0,099999995 10
0,090909 11
-
0,076388886 12
0,065088756 13
0,056122448 14
0,048888888 15
0,04296875 16
0,038062283 17
0,033950617 18
0,030470914 19
0,027500 20
0,024943 21
....
Wenn ich das so fortführe so tendiert das Ergebnis immer weiter gegen 0.
Nun, ist meine pw Konvergenz nun zwischen (0,n] gegeben und zwischen [mm] (n,\infty) [/mm] habe ich keine?
Ich habe mir auch einmal die Lösung angeschaut, in welcher steht, dass
E = [mm] (0,\infty) [/mm] ist mit der Funktion [mm] f(x)=\bruch{1}{x}
[/mm]
>
>
> > > >
> > > > Ich untersuche nun folgende Funktion
> > > >
> > > > sup(0,n] |fn(x)-f(x)|
> > >
> > > Du müßtest das Supremum über dem Bereich der punktweisen
> > > Konvergenz untersuchen, über welchen Du nochmal nachdenken
> > > mußt.
> > >
> > > (Spendiere doch einen zusätzlichen Tastendruck für den
> > > Index!)
>
> Hiermit meine ich, daß man durch Voranstellen eines
> Unterstriches einen schönen Index bekommt.
>
> Das Intervall, welches jetzt betrachtet wird, lassen wir
> mal vorerst offen. [mm](0,\infty)[/mm] jedenfalls ist sinnlos.
>
>
> > >
> > > Studium des Quelltextes lehrt, daß Du eigentlich
> > > sup [mm]|\bruch{n^7}{n+n^7*x-1}[/mm] -1/x|
> > > meinst.
> > >
> > > >
> > > > Ableitung und Betraggstriche weg
> > >
> > > Du solltest hier mal sagen, was Du damit bezweckst.
> > > Es geht nicht nur darum, daß Du das Richtige tust,
> Du
> > > mußt es auch nachvollziehbar präsentieren.
> > > Was bezweckst Du mit dem Ableiten?
> > >
> >
> >
> > Tja jetzt hast du mich erwischt . Also ich nehme an es
> > läuft hier so: Ich mache die Ableitung, setze sie =0 und
> > finde einen Extremwert.
> > Auf die Frage "Warum machst du
> > das?" weiß ich keine Antwort.
>
> Du willst doch hier wissen, wie groß der maximale Abstand
> zwischen [mm]f_n[/mm] und f ist, und schaust danach, ob er gegen 0
> konvergiert.
Wie kann man sich diesen Unterschied zwischen den beiden Funktionen vorstellen? Eine Funktion welche für fixiertes x ein konstantes Ergebnis liefert, und die andere welche für jedes "n" hüpft. Man schaut nun, ob beide die Selben sind, wenn n gegen [mm] \infty [/mm] verläuft?
Den Rest der Aufgabe habe ich jetzt einmal weckgetan, den schauen wir uns zu späteren Zeitpunkt an, ist glaube ich besser!
Vielen Dank
lg
Zuggel
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> > > (1)
> > > > Du weißt jetzt, wie sich die Funktionenfolge [mm]g_n: (0,\infty)\to \IR[/mm]
> > > > mit [mm]g_n(x):=\bruch{n^7}{n+n^7\cdot{}x-1}[/mm] benimmt.
> > > >
> > > (2)
> > > > Auch hier: Du hast jetzt untersucht, wie die
> > > > Funktionenfolge [mm]h_n(x):[/mm] (1, [mm]\infty)\to \IR[/mm] mit
> > > > [mm]h_n(x):=\bruch{n^4*x^3}{x+n^3*x^5-1}[/mm] sich benimmt.
> > > >
> > >
> > Ich hab' Dir ja auch schon gesagt, was Du untersucht
> > hast.
> > Die beiden genannten Funktionenfolgen g und h.
> >
> >
>
> > > >
> > > > Du hast wichtige Vorarbeiten geleistet, jetzt mußt Du die
> > > > Informationen zusammensetzen.
> > > > Welches ist nun der Bereich, in dem wir
> punktweise
> > > > Konvergenz haben?
> > > >
> > > > Du kannst Dir die Folgen ja mal z.B. mal für die Stellen
> > > > x=0.25, x=0.9, x=1, x=2.3, x=7, x=11.4 aufschreiben. Ich
> > > > find sowas nützlich.
> > > >
>
> Gut ich habe das jetzt hier anhand einer Excel Tabelle
> gemacht für n=11
> >
>
> Hier das Ergebnis:
>
>
> 0,999999487 1
> 0,499999872 2
> 0,333333276 3
> 0,249999968 4
> 0,199999979 5
> 0,166666652 6
> 0,142857132 7
> 0,124999992 8
> 0,111111105 9
> 0,099999995 10
> 0,090909 11
> -
> 0,076388886 12
> 0,065088756 13
> 0,056122448 14
> 0,048888888 15
> 0,04296875 16
> 0,038062283 17
> 0,033950617 18
> 0,030470914 19
> 0,027500 20
> 0,024943 21
>
> ....
>
> Wenn ich das so fortführe so tendiert das Ergebnis immer
> weiter gegen 0.
Hallo,
wundert Dich das nicht?
Mich wundert, daß es Dich nicht wundert:
wenn ich mich recht erinnere, hattest Du doch mir doch zuvor glaubhaft machen können, daß die Folge [mm] h_n(x) [/mm] für festes x gegen [mm] \infty [/mm] geht.
Hier nun sagst Du mir, daß sie gegen 0 geht. (denn ab n=12 ist ja [mm] f_n(11)=h_n(11).)
[/mm]
EDIT: Das ist falsch. Es ist ab n=11 [mm] f_n(11)=g_n(11), [/mm] so daß man Konvergenz gegen 1/11 erwarten würde. Siehe auch meine Antwort mit dem Betreff "OH".
Das ist seltsam - und Du solltest Dich fragen, ob Du den GW für [mm] h_n(x) [/mm] falsch ausgerechnet hast, oder ob Deine Exeltabelle nicht stimmt.
Wenn alles gerichtet ist, kannst Du das Spielchen ja auch noch mit x=5 und x=50 machen und vielleicht mit x=0.5 und x=0.1.
> > > > >
> > > > > Ich untersuche nun folgende Funktion
> > > > >
> > > > > sup(0,n] |fn(x)-f(x)|
> > > >
> > Du willst doch hier wissen, wie groß der maximale Abstand
> > zwischen [mm]f_n[/mm] und f ist, und schaust danach, ob er gegen 0
> > konvergiert.
>
> Wie kann man sich diesen Unterschied zwischen den beiden
> Funktionen vorstellen?
Als den Abstand zwischen den Graphen.
Du fandest nach der Stelle, an welcher für vorgegebenes n der Abstand zwischen [mm] f_n [/mm] und f am größten ist.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Di 19.10.2010 | | Autor: | Zuggel |
> >
> > Gut ich habe das jetzt hier anhand einer Excel Tabelle
> > gemacht für n=11
>
> > >
> >
> > Hier das Ergebnis:
> >
> >
> > 0,999999487 1
> > 0,499999872 2
> > 0,333333276 3
> > 0,249999968 4
> > 0,199999979 5
> > 0,166666652 6
> > 0,142857132 7
> > 0,124999992 8
> > 0,111111105 9
> > 0,099999995 10
> > 0,076388886 12
> > 0,065088756 13
> > 0,056122448 14
> > 0,048888888 15
> > 0,04296875 16
> > 0,038062283 17
> > 0,033950617 18
> > 0,030470914 19
> > 0,027500 20
> > 0,024943 21
> >
> > ....
> >
> > Wenn ich das so fortführe so tendiert das Ergebnis immer
> > weiter gegen 0.
>
> Hallo,
>
> wundert Dich das nicht?
> Mich wundert, daß es Dich nicht wundert:
> wenn ich mich recht erinnere, hattest Du doch mir doch
> zuvor glaubhaft machen können, daß die Folge [mm]h_n(x)[/mm] für
> festes x gegen [mm]\infty[/mm] geht.
> Hier nun sagst Du mir, daß sie gegen 0 geht. (denn ab
> n=12 ist ja [mm]f_n(11)=h_n(11).)[/mm]
> Das ist seltsam - und Du solltest Dich fragen, ob Du den
> GW für [mm]h_n(x)[/mm] falsch ausgerechnet hast, oder ob Deine
> Exeltabelle nicht stimmt.
>
> Wenn alles gerichtet ist, kannst Du das Spielchen ja auch
> noch mit x=5 und x=50 machen und vielleicht mit x=0.5 und
> x=0.1.
>
Tja, es hat mich verwundert und gleichzeitig verwirrt. Das muss ich zugeben. Nun, ich glaube an meinem GW wird wohl etwas zu bemängeln sein.
Nun also ich fange nochmal von vorne an bzw. schließe an meinen Teil an den ich bereits untersucht hatte, in dem sagte ich, dass ich pw. konv. habe für blauen Bereich:
[mm] f(n)=\begin{cases} \blue {\bruch{n^7}{n+n^7\cdot{}x-1} x \in [0,n]} \\ \bruch{n^4\cdot{}x^3}{x+n^3\cdot{}x^5-1} x\in (n,+\infty) \end{cases}
[/mm]
So und nun, Gott stehe mir bei, noch einmal der zweite Bereich:
[mm] \bruch{n^4\cdot{}x^3}{x+n^3\cdot{}x^5-1} [/mm] mit [mm] x\in (n,+\infty) [/mm]
Also ich schreibe hier meinen Gedankengang auf um etwas Übersicht über meine Überlegungen an den Tag zu legen:
Ich kann nicht "n" einsetzen, da dies nicht zu meiner Funktion gehört. Also was mache ich? Ich setze "n+1" ein, bin somit in meinem Bereich [mm] (n,\infty) [/mm] und schaue mir somit folgende Funktion an:
[mm] \bruch{n^4\cdot{}(n+1)^3}{(n+1)+n^3\cdot{}(n+1)^5-1}
[/mm]
Ohne hier jetzt lang am quadrieren herum zu überlegen nehme ich die höchsten Hochzahlen heraus, welche wären:
[mm] \bruch{n^4}{n^5} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
[mm] limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}=0
[/mm]
Aber wenn ich das jetzt so hier stehen lasse, dann wirst du bestimmt antworten "Wieso setzt du für x=n+1 ein, wir hatten doch gesagt, dass für pw Konvergenz x fixiert ist und n variiert"
Tja um ehrlich zu sein, ich weiß jetzt nicht so Recht, wie ich korrekt die PW Konvergenz des 2. Intervalles bestimmen kann. Ich weiß zwar, dass es pw. konvergiert und das es gegen 0 geht wie meine Excel Tabelle auch gezeigt hat, aber irgendwie finde ich den Anschluss nicht.
Anbei meine Versuche für x=0,1 / 0,5 / 5 / 50
x=0,1
[mm] \red{0,1 1}
[/mm]
0,000775194 2
0,001203745 3
0,001590457 4
0,001754386 5
0,00169067 6
0,001503924 7
0,001287467 8
0,001087265 9
0,000917431 10
x=0,5
[mm] \red{0,5 1}
[/mm]
[mm] \red{0,1 2}
[/mm]
0,052123552 3
0,030534351 4
0,019797276 5
0,01381781 6
0,010175022 7
0,007799171 8
x=5
0,999948803 1
0,4999872 2
0,333327645 3
0,2499968 4
0,199997952 5
0,138888174 6
0,102040525 7
0,078124866 8
0,061728328 9
x=50
[mm] \red{1 1}
[/mm]
[mm] \red{0,5 2}
[/mm]
0,333333333 3
0,25 4
0,2 5
0,166666667 6
0,142857143 7
0,125 8
0,111111111 9
0,1 10
....
Nun verstehe ich nicht so ganz, ob du mir mit genannten Zahlen und deren Ergebnis in [mm] \red{rot} [/mm] irgendetwas sagen willst oder ob diese hier nur zufällig auftreten und nicht zum Thema beitragen?
lg
Zuggel
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> > >
> > > Gut ich habe das jetzt hier anhand einer Excel Tabelle
> > > gemacht für n=11
> >
> > > >
> > >
> > > Hier das Ergebnis:
> > >
> > >
> > > 0,999999487 1
> > > 0,499999872 2
> > > 0,333333276 3
> > > 0,249999968 4
> > > 0,199999979 5
> > > 0,166666652 6
> > > 0,142857132 7
> > > 0,124999992 8
> > > 0,111111105 9
> > > 0,099999995 10
> > > 0,076388886 12
> > > 0,065088756 13
> > > 0,056122448 14
> > > 0,048888888 15
> > > 0,04296875 16
> > > 0,038062283 17
> > > 0,033950617 18
> > > 0,030470914 19
> > > 0,027500 20
> > > 0,024943 21
> > >
> > > ....
> > >
> > > Wenn ich das so fortführe so tendiert das Ergebnis immer
> > > weiter gegen 0.
> >
> > Hallo,
> >
> > wundert Dich das nicht?
> > Mich wundert, daß es Dich nicht wundert:
> > wenn ich mich recht erinnere, hattest Du doch mir doch
> > zuvor glaubhaft machen können, daß die Folge [mm]h_n(x)[/mm] für
> > festes x gegen [mm]\infty[/mm] geht.
> > Hier nun sagst Du mir, daß sie gegen 0 geht. (denn ab
> > n=12 ist ja [mm]f_n(11)=h_n(11).)[/mm]
> > Das ist seltsam - und Du solltest Dich fragen, ob Du
> den
> > GW für [mm]h_n(x)[/mm] falsch ausgerechnet hast, oder ob Deine
> > Exeltabelle nicht stimmt.
> >
> > Wenn alles gerichtet ist, kannst Du das Spielchen ja auch
> > noch mit x=5 und x=50 machen und vielleicht mit x=0.5 und
> > x=0.1.
> >
>
>
> Tja, es hat mich verwundert und gleichzeitig verwirrt. Das
> muss ich zugeben. Nun, ich glaube an meinem GW wird wohl
> etwas zu bemängeln sein.
>
>
> Nun also ich fange nochmal von vorne an bzw. schließe an
> meinen Teil an den ich bereits untersucht hatte, in dem
> sagte ich, dass ich pw. konv. habe für blauen Bereich:
>
> [mm]f(n)=\begin{cases} \blue {\bruch{n^7}{n+n^7\cdot{}x-1} x \in [0,n]} \\
\bruch{n^4\cdot{}x^3}{x+n^3\cdot{}x^5-1} x\in (n,+\infty) \end{cases}[/mm]
Hallo,
irgendwie habe ich den Eindruck, daß ich vieles geschrieben habe, was Du nicht richtig gelesen hast...
oder ich habe mich absolut blöd ausgedrückt...
EDIT: Ich hab' leider ziemlich viel Müll erzählt. Siehe meine Antwort mit dem Betreff "OH".
Du hast bisher gezeigt, daß die von mir irgendwann definierte Funktionenfolge [mm] g_n [/mm] (welcher Definitionsbereich???) gegen g(x)=1/x konvergiert für [mm] x\not=0.
[/mm]
Du hast gezeigt, daß die von mir definierte Funktionenfolge [mm] h_n [/mm] (Definitionsbereich?) an keiner Stelle konvergiert, sondern gegen [mm] \infty [/mm] abrauscht.
Jetzt behandest Du die Funktionenfolge [mm] f_n [/mm] (Definitionsbereich [mm] [0,\infty)), [/mm] und Du möchtest wissen, wo sie punktweise konvergiert.
was also mit der Folge [mm] f_1(x), f_2(x), f_3(x), f_4(x), [/mm] ... für festes x los ist.
Feststellung: bei vielen [mm] x\in [0,\infty) [/mm] müssen die ersten Glieder nach der ersten Vorschrift, die folgenden nach der zweiten Vorschrift berechnet werden.
EDIT: Das ist falsch. Es ist genau andersherum, siehe meine Antwort mit dem Betreff "OH".
>
> So und nun, Gott stehe mir bei, noch einmal der zweite
> Bereich:
>
> [mm]\bruch{n^4\cdot{}x^3}{x+n^3\cdot{}x^5-1}[/mm] mit [mm]x\in (n,+\infty)[/mm]
>
> Also ich schreibe hier meinen Gedankengang auf um etwas
> Übersicht über meine Überlegungen an den Tag zu legen:
>
> Ich kann nicht "n" einsetzen, da dies nicht zu meiner
> Funktion gehört. Also was mache ich? Ich setze "n+1" ein,
Nein, Du mußt das für festes x angucken und n gegen [mm] \infty [/mm] gehen lassen.
Der Ausdruck konvergiert gegen [mm] \infty, [/mm] wie Du früher schon festgestellt hattest.
> Aber wenn ich das jetzt so hier stehen lasse, dann wirst du
> bestimmt antworten "Wieso setzt du für x=n+1 ein, wir
> hatten doch gesagt, dass für pw Konvergenz x fixiert ist
> und n variiert"
Genau. Das wären meine Worte. Du weißt exakt, was ich zu sagen habe.
>
>
>
> Tja um ehrlich zu sein, ich weiß jetzt nicht so Recht, wie
> ich korrekt die PW Konvergenz des 2. Intervalles bestimmen
> kann. Ich weiß zwar, dass es pw. konvergiert und das es
> gegen 0 geht wie meine Excel Tabelle auch gezeigt hat, aber
> irgendwie finde ich den Anschluss nicht.
>
> Anbei meine Versuche für x=0,1 / 0,5 / 5 / 50
>
> x=0,1
>
> [mm]\red{0,1 1}[/mm]
> 0,000775194 2
> 0,001203745 3
> 0,001590457 4
> 0,001754386 5
> 0,00169067 6
> 0,001503924 7
> 0,001287467 8
> 0,001087265 9
> 0,000917431 10
>
>
> x=0,5
>
> [mm]\red{0,5 1}[/mm]
> [mm]\red{0,1 2}[/mm]
> 0,052123552 3
> 0,030534351 4
> 0,019797276 5
> 0,01381781 6
> 0,010175022 7
> 0,007799171 8
>
>
> x=5
> 0,999948803 1
> 0,4999872 2
> 0,333327645 3
> 0,2499968 4
> 0,199997952 5
> 0,138888174 6
> 0,102040525 7
> 0,078124866 8
> 0,061728328 9
>
> x=50
> [mm]\red{1 1}[/mm]
> [mm]\red{0,5 2}[/mm]
> 0,333333333 3
> 0,25 4
> 0,2 5
> 0,166666667 6
> 0,142857143 7
> 0,125 8
> 0,111111111 9
> 0,1 10
> ....
EDIT: Das ist falsch. Es ist genau andersherum, siehe meine Antwort mit dem Betreff "OH".
>
> Nun verstehe ich nicht so ganz, ob du mir mit genannten
> Zahlen und deren Ergebnis in [mm]\red{rot}[/mm] irgendetwas sagen
> willst oder ob diese hier nur zufällig auftreten und nicht
> zum Thema beitragen?
Ich will nichts mit roten Zahlen sagen. Die kommen doch nicht von mir!
Tip: prüfe mal, ob Du beim Erstellen Deiner Tabelle einen Fehler gemacht hast, dort, wo die zweite Funktionsvorschrift verwendet wird. Vielleicht einen Dreher, eine Klammer vergessen oder weiß der Geier.
EDIT: Siehe meine Antwort mit dem Betreff "OH". Möglicherweise hast Du es völlig richtig gemacht - ich rechne das jetzt nicht mehr nach.
Überlege Dir dann, wo der bereich ist, in welchem nur die erste Vorschrift zum Einsatz kommt.
(Nimm ruhig erstmal wieder die konkreten zahlen. Manches versteht sich dann leichter.)
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 Mi 20.10.2010 | | Autor: | Zuggel |
>
> > > >
> > > > Gut ich habe das jetzt hier anhand einer Excel Tabelle
> > > > gemacht für n=11
> > >
> > > > >
> > > >
> > > > Hier das Ergebnis:
> > > >
> > > >
> > > > 0,999999487 1
> > > > 0,499999872 2
> > > > 0,333333276 3
> > > > 0,249999968 4
> > > > 0,199999979 5
> > > > 0,166666652 6
> > > > 0,142857132 7
> > > > 0,124999992 8
> > > > 0,111111105 9
> > > > 0,099999995 10
> > > > 0,076388886 12
> > > > 0,065088756 13
> > > > 0,056122448 14
> > > > 0,048888888 15
> > > > 0,04296875 16
> > > > 0,038062283 17
> > > > 0,033950617 18
> > > > 0,030470914 19
> > > > 0,027500 20
> > > > 0,024943 21
> > > >
> > > > ....
> > > >
> > > > Wenn ich das so fortführe so tendiert das Ergebnis immer
> > > > weiter gegen 0.
> > >
> > > Hallo,
> > >
> > > wundert Dich das nicht?
> > > Mich wundert, daß es Dich nicht wundert:
> > > wenn ich mich recht erinnere, hattest Du doch mir
> doch
> > > zuvor glaubhaft machen können, daß die Folge [mm]h_n(x)[/mm] für
> > > festes x gegen [mm]\infty[/mm] geht.
> > > Hier nun sagst Du mir, daß sie gegen 0 geht. (denn
> ab
> > > n=12 ist ja [mm]f_n(11)=h_n(11).)[/mm]
> > > Das ist seltsam - und Du solltest Dich fragen, ob Du
> > den
> > > GW für [mm]h_n(x)[/mm] falsch ausgerechnet hast, oder ob Deine
> > > Exeltabelle nicht stimmt.
> > >
> > > Wenn alles gerichtet ist, kannst Du das Spielchen ja auch
> > > noch mit x=5 und x=50 machen und vielleicht mit x=0.5 und
> > > x=0.1.
> > >
> >
> >
> > Tja, es hat mich verwundert und gleichzeitig verwirrt. Das
> > muss ich zugeben. Nun, ich glaube an meinem GW wird wohl
> > etwas zu bemängeln sein.
> >
> >
> > Nun also ich fange nochmal von vorne an bzw. schließe an
> > meinen Teil an den ich bereits untersucht hatte, in dem
> > sagte ich, dass ich pw. konv. habe für blauen Bereich:
> >
> > [mm]f(n)=\begin{cases} \blue {\bruch{n^7}{n+n^7\cdot{}x-1} x \in [0,n]} \\
\bruch{n^4\cdot{}x^3}{x+n^3\cdot{}x^5-1} x\in (n,+\infty) \end{cases}[/mm]
>
> Hallo,
>
> irgendwie habe ich den Eindruck, daß ich vieles
> geschrieben habe, was Du nicht richtig gelesen hast...
> oder ich habe mich absolut blöd ausgedrückt...
>
Nun durch die Baumstruktur des Boards und das hin und her klicken verirre ich mich manchmal in den Erklärungen
> Du hast bisher gezeigt, daß die von mir irgendwann
> definierte Funktionenfolge [mm]g_n[/mm] (welcher
> Definitionsbereich???) gegen g(x)=1/x konvergiert für
> [mm]x\not=0.[/mm]
>
> Du hast gezeigt, daß die von mir definierte
> Funktionenfolge [mm]h_n[/mm] (Definitionsbereich?) an keiner Stelle
> konvergiert, sondern gegen [mm]\infty[/mm] abrauscht.
>
>
> Jetzt behandest Du die Funktionenfolge [mm]f_n[/mm]
> (Definitionsbereich [mm][0,\infty)),[/mm] und Du möchtest wissen,
> wo sie punktweise konvergiert.
>
> was also mit der Folge [mm]f_1(x), f_2(x), f_3(x), f_4(x),[/mm] ...
> für festes x los ist.
>
> Feststellung: bei vielen [mm]x\in [0,\infty)[/mm] müssen die ersten
> Glieder nach der ersten Vorschrift, die folgenden nach der
> zweiten Vorschrift berechnet werden.
>
[mm] g_n [/mm] hat Definitionsbereich [0,n] wobei pw. Konv. für (0,n) stattfindet
[mm] h_n [/mm] hat Definitionsbereich [mm] (n,\infty) [/mm] wobei keine pw. Konv. stattindet
Das würde dann heißen, dass [mm] f_n [/mm] im Intervall (0,n] pw. Mich hat an diesem Resultat nur sehr sehr verwirrt, dass in der Lösung steht, dass ich pw. Konv. zwischen [mm] (0,\infty) [/mm] habe; denkend an den limes der ja für n (und nicht für x) gegen [mm] \infty [/mm] untersucht wird, habe ich mich wohl auf diesen Bereich festgefressen. Oh man, ich entschuldige mich förmlichst!!
> > Nun verstehe ich nicht so ganz, ob du mir mit genannten
> > Zahlen und deren Ergebnis in [mm]\red{rot}[/mm] irgendetwas sagen
> > willst oder ob diese hier nur zufällig auftreten und nicht
> > zum Thema beitragen?
>
>
> Ich will nichts mit roten Zahlen sagen. Die kommen doch
> nicht von mir!
>
> Tip: prüfe mal, ob Du beim Erstellen Deiner Tabelle einen
> Fehler gemacht hast, dort, wo die zweite
> Funktionsvorschrift verwendet wird. Vielleicht einen
> Dreher, eine Klammer vergessen oder weiß der Geier.
>
Werde das gleich nochmal durchgehen, Danke!
Dann kann ich jetzt an mein supremum herangehen und untersuchen wann und wo ich gleichmäßige Konvergenz habe? Und zwar für den Raum (0,n]?
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> > > [mm]f(n)=\begin{cases} \blue {\bruch{n^7}{n+n^7\cdot{}x-1} x \in [0,n]} \\
\bruch{n^4\cdot{}x^3}{x+n^3\cdot{}x^5-1} x\in (n,+\infty) \end{cases}[/mm]
>
>
> > Du hast bisher gezeigt, daß die von mir irgendwann
> > definierte Funktionenfolge [mm]g_n[/mm] (welcher
> > Definitionsbereich???) gegen g(x)=1/x konvergiert für
> > [mm]x\not=0.[/mm]
> >
> > Du hast gezeigt, daß die von mir definierte
> > Funktionenfolge [mm]h_n[/mm] (Definitionsbereich?) an keiner Stelle
> > konvergiert, sondern gegen [mm]\infty[/mm] abrauscht.
> >
> >
> > Jetzt behandest Du die Funktionenfolge [mm]f_n[/mm]
> > (Definitionsbereich [mm][0,\infty)),[/mm] und Du möchtest wissen,
> > wo sie punktweise konvergiert.
> >
> > was also mit der Folge [mm]f_1(x), f_2(x), f_3(x), f_4(x),[/mm] ...
> > für festes x los ist.
> >
> > Feststellung: bei vielen [mm]x\in [0,\infty)[/mm] müssen die ersten
> > Glieder nach der ersten Vorschrift, die folgenden nach der
> > zweiten Vorschrift berechnet werden.
> >
>
> [mm]g_n[/mm] hat Definitionsbereich [0,n] wobei pw. Konv. für (0,n)
> stattfindet
> [mm]h_n[/mm] hat Definitionsbereich [mm](n,\infty)[/mm] wobei keine pw.
> Konv. stattindet
Hallo,
eben nicht.
Bei einer Funktionenfolge muß der Definitions- und Zielbereich sämtlicher Funktionen gleich sein.
Es ist doch der totale quatsch, wenn man punktweise Konvergenz untersuchen will und die Definitionsbereiche nicht übereinstimmen.
Funktionenfolgen sind die Folgen [mm] g_n:[0,\infty) [/mm] und [mm] h_n:(1,\infty),
[/mm]
und deren Konvergenz hast Du untersucht:
wenn ich mich recht erinnere, waren wir uns einig, daß [mm] g_n [/mm] divergiert für x=1, pw konvergiert für [mm] x\in (0,\infty), [/mm] und daß [mm] h_n [/mm] nirgendwo pw konvergiert.
Nun ist also die Funktionenfolge [mm] f_n [/mm] auf pw Konvergenz zu untersuchen.
Man muß also die Folgen [mm] f_1(x), f_2(x), f_3(x), f_4(x),... [/mm] für sämtliche x des Definitionsbereiches von [mm] f_n, [/mm] also [mm] x\in [0,\infty) [/mm] betrachten.
Dabei muß man daran denken, daß es Stellen gibt, bei denen die ersten Glieder nach der 1.Vorschrift, die folgenden nach der 2.Vorschrift gebildet werden. Welcher Teil des Definitionsbereiches ist das, in denen die Folgen [mm] (f_n(x)) [/mm] so gebildet werden?
Was kannst Du hier über Konvergenz sagen? (Berücksichtige die Ergebnisse für die Folgen [mm] g_n [/mm] und [mm] h_n.)
[/mm]
Gibt es auch einen Bereich des Definitionsbereiches, in welchem nur die 1.Vorschrift bei Bildung der Folge [mm] (f_n(x)) [/mm] zur Anwendung kommt?
Wie schaut's hier mit der Konvergenz aus?
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:02 Do 21.10.2010 | | Autor: | Zuggel |
> Hallo,
>
> eben nicht.
> Bei einer Funktionenfolge muß der Definitions- und
> Zielbereich sämtlicher Funktionen gleich sein.
Ich ziehe das "sämtlicher Funktionen" einmal heraus - gemeint sind damit also die Funktionen [mm] f_n(1),f_n(2)... [/mm] ? Der Definitionsbereich soll gleich des Zielbereiches sein; was ist der Zielbereich?
> Es ist doch der totale quatsch, wenn man punktweise
> Konvergenz untersuchen will und die Definitionsbereiche
> nicht übereinstimmen.
>
> Funktionenfolgen sind die Folgen [mm]g_n:[0,\infty)[/mm] und
> [mm]h_n:(1,\infty),[/mm]
> und deren Konvergenz hast Du untersucht:
> wenn ich mich recht erinnere, waren wir uns einig, daß
> [mm]g_n[/mm] divergiert für x=1, pw konvergiert für [mm]x\in (0,\infty),[/mm]
> und daß [mm]h_n[/mm] nirgendwo pw konvergiert.
>
divergiert für x=1?
Für x=1 haben wir ja
[mm] \bruch{n^7}{n^7+n-1}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^7}{n^7+n-1} [/mm] = 1
Also konvergiert es für x=1, oder habe ich jetzt etwas irgendwo überlesen (leße anschließend noch einmal alles nach und editiere falls nötig)
Wir hatten
[mm] g_n [/mm] = [mm] \bruch{n^7}{n^7*x+n-1}
[/mm]
[mm] h_n=\bruch{n^4*x^3}{x+n^3*x^5-1}
[/mm]
wobei wir für
[mm] g_n [/mm] in x=0 keine pw. konvergenz hatten
also pw. kov. für (0,n)
und [mm] h_n [/mm] wie gesagt keine pw konv.
> Nun ist also die Funktionenfolge [mm]f_n[/mm] auf pw Konvergenz zu
> untersuchen.
> Man muß also die Folgen [mm]f_1(x), f_2(x), f_3(x), f_4(x),...[/mm]
> für sämtliche x des Definitionsbereiches von [mm]f_n,[/mm] also
> [mm]x\in [0,\infty)[/mm] betrachten.
>
> Dabei muß man daran denken, daß es Stellen gibt, bei
> denen die ersten Glieder nach der 1.Vorschrift, die
> folgenden nach der 2.Vorschrift gebildet werden. Welcher
> Teil des Definitionsbereiches ist das, in denen die Folgen
> [mm](f_n(x))[/mm] so gebildet werden?
Der Teil des Definitionsbereiches in welchem die Folgen nach der 1. Vorschrift [mm] g_n [/mm] gebildet werden, ist
[0,n]
der Teil des Definitionsbereiches in welchem die Folgen nach der 2. Vorschrift [mm] h_n [/mm] gebildet werden ist
[mm] (n,\infty) [/mm] oder [mm] [n+1,\infty)
[/mm]
Was kann ich über die Ergebnisse sagen?
So jetzt das 4. mal editiert, FAZIT: Ich bin so blöd, dass muss man gesehen haben.. Ich habe andauernd in der excel Tabelle das n fixiert und das x variiert. Ist klar, dass ich so keinen klaren Gedanken fassen konnte. Oh man...
1. Vorschrift [mm] g_n, [/mm] ein Beispiel mit Taschenrechner nebenher gerechnet:
ich wähle ein x=5
Und fange an mit [mm] g_n
[/mm]
[mm] g_n [/mm] = [mm] \bruch{n^7}{n^7*x+n-1}
[/mm]
[mm] f_0(5)=g_n [/mm] = [mm] \bruch{0^7}{0^7*5+n-1} [/mm] = 0
[mm] f_1(5)=g_n =\bruch{1^7}{1^7*5+1-1}= \bruch{1}{5} [/mm] das kennen wir ja schon irgendwoher und zwar von [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
[mm] f_2(5)=g_n [/mm] = [mm] \bruch{2^7}{2^7*5+2-1} [/mm] =~ 0,2
[mm] f_3(5)=~0,2
[/mm]
[mm] f_4(5)=~0,2
[/mm]
[mm] f_5(5)=0,199999.. [/mm]
JETZT IST VORSCHRIFTSWECHSEL
[mm] h_n=\bruch{n^4*x^3}{x+n^3*x^5-1}
[/mm]
[mm] f_5(5)=0,23999
[/mm]
[mm] f_5(5)=0,0,27999
[/mm]
Ergebnisse tendenziell steigend, also sie gehen ENDLICH nach [mm] \infty
[/mm]
....
Also fassen wir zusammen, [mm] f_n [/mm] hat pw. konv. für alle n [mm] \le [/mm] x und keine pw. konv. wenn der Wert höher wird.
Habe ich nun endlich etwas richtig gemacht?
lg und Danke
Zuggel
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> > Hallo,
> >
> > eben nicht.
> > Bei einer Funktionenfolge muß der Definitions- und
> > Zielbereich sämtlicher Funktionen gleich sein.
>
> Ich ziehe das "sämtlicher Funktionen" einmal heraus -
> gemeint sind damit also die Funktionen [mm]f_n(1),f_n(2)...[/mm] ?
Hallo,
Du sagst keine Funktionen, sondern Funktionswerte der Funktion [mm] f_n, [/mm] nämlich die Werte an der Stelle 1 und 2.
Ich rede davon: wenn man eine Funktionenfolge [mm] (f_n) [/mm] hat, also die Funktionen [mm] f_1, f_2, f_3, f_4, f_5,..., [/mm] dann muß bei allen diesen Funktionen der Definitionsbereich übereinstimmen. Sonst ist es keine Funktionenfolge.
Zielbereich=die Menge, in welche abgebildet wird.
Alle Funktionen der Funktionenfolge müssen a) denselben Definitionsbereich und b) denselben Zielbereich haben.
Definitionsbereich und Zielbereich müssen nicht übereinstimmen.
> Der Definitionsbereich soll gleich des Zielbereiches sein;
> was ist der Zielbereich?
>
>
> > Funktionenfolgen sind die Folgen [mm]g_n:[0,\infty)[/mm] und
> > [mm]h_n:(1,\infty),[/mm]
> > und deren Konvergenz hast Du untersucht:
> > wenn ich mich recht erinnere, waren wir uns einig, daß
> > [mm]g_n[/mm] divergiert für x=1, pw konvergiert für [mm]x\in (0,\infty),[/mm]
> > und daß [mm]h_n[/mm] nirgendwo pw konvergiert.
> >
>
> divergiert für x=1?
Nein, ich meinte hier x=0.
> Für x=1 haben wir ja
> [mm]\bruch{n^7}{n^7+n-1}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^7}{n^7+n-1}[/mm] = 1
>
> Also konvergiert es für x=1, oder habe ich jetzt etwas
> irgendwo überlesen (leße anschließend noch einmal alles
> nach und editiere falls nötig)
> Wir hatten
> [mm]g_n[/mm] = [mm]\bruch{n^7}{n^7*x+n-1}[/mm]
> [mm]h_n=\bruch{n^4*x^3}{x+n^3*x^5-1}[/mm]
>
> wobei wir für
> [mm]g_n[/mm] in x=0 keine pw. konvergenz hatten
> also pw. kov. für (0,n)
Nein!!! Wir können nicht eine Funktionenfolge betrachten, für die [mm] g_1 [/mm] den Definitionsbereich [0,1) hat, [mm] g_2 [/mm] den Db [0,2), [mm] g_3 [/mm] den Db. [0,3) usw.
Das ist dann keine Funktionenfolge!
Wie willst Du denn bei diesem Dingsbums entscheiden, ob's an der Stelle x=10 pw. konvergiert oder nicht! Es wären doch [mm] p_1, [/mm] ..., [mm] p_9 [/mm] an dieser Stelle gar nicht definiert.
Wir haben die Funktionenfolge [mm] g_n:[0,\infty)\to \IR [/mm] betrachtet.
Das ist eine, und da macht's Sinn.
> und [mm]h_n[/mm] wie gesagt keine pw konv.
Ja. Mit [mm] h_n:(1,\infty)\to \IR.
[/mm]
> > Nun ist also die Funktionenfolge [mm]f_n[/mm] auf pw Konvergenz zu
> > untersuchen.
> > Man muß also die Folgen [mm]f_1(x), f_2(x), f_3(x), f_4(x),...[/mm]
> > für sämtliche x des Definitionsbereiches von [mm]f_n,[/mm] also
> > [mm]x\in [0,\infty)[/mm] betrachten.
> >
> > Dabei muß man daran denken, daß es Stellen gibt, bei
> > denen die ersten Glieder nach der 1.Vorschrift, die
> > folgenden nach der 2.Vorschrift gebildet werden. Welcher
> > Teil des Definitionsbereiches ist das, in denen die Folgen
> > [mm](f_n(x))[/mm] so gebildet werden?
>
>
> 1. Vorschrift [mm]g_n,[/mm] ein Beispiel mit Taschenrechner nebenher
> gerechnet:
> ich wähle ein x=5
Du wählst x=5.
>
> Und fange an mit [mm]g_n[/mm]
>
> [mm]g_n[/mm] = [mm]\bruch{n^7}{n^7*x+n-1}[/mm]
>
> [mm]f_0(5)=g_n[/mm] = [mm]\bruch{0^7}{0^7*5+n-1}[/mm] = 0
>
> [mm]f_1(5)=g_n =\bruch{1^7}{1^7*5+1-1}= \bruch{1}{5}[/mm] das kennen
> wir ja schon irgendwoher und zwar von [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
>
> [mm]f_2(5)=g_n[/mm] = [mm]\bruch{2^7}{2^7*5+2-1}[/mm] =~ 0,2
> [mm]f_3(5)=~0,2[/mm]
> [mm]f_4(5)=~0,2[/mm]
> [mm]f_5(5)=0,199999..[/mm]
>
> JETZT IST VORSCHRIFTSWECHSEL
>
> [mm]h_n=\bruch{n^4*x^3}{x+n^3*x^5-1}[/mm]
>
>
> [mm]f_5(5)=0,23999[/mm]
> [mm]f_5(5)=0,0,27999[/mm]
> Ergebnisse tendenziell steigend, also sie gehen ENDLICH
> nach [mm]\infty[/mm]
> ....
Die einzelnen Zahlen rechne ich nicht nach, es sieht jedoch endlich plausibel aus.
EDIT: Das ist falsch. Man muß mit [mm] h_n [/mm] beginnen und mit [mm] g_n [/mm] enden. Siehe meine Antwort mit dem Betreff "OH".
Sei so gut und spiele das Spielchen für weitere Zahlen, die größer als 1 sind,
für x=1,
für ein paar Zahlen zwischen 0 und 1,
und ruhig auch noch für die 0.
Ich glaube wirklich, daß Du so am besten kapieren kannst, worum es geht und was punktweise Konvergenz ist.
> Also fassen wir zusammen, [mm]f_n[/mm] hat pw. konv. für alle n [mm]\le[/mm]
> x
Das, was Du hier schreibst ist sinnlos.
Die Funktionenfolge [mm] (f_n) [/mm] besteht doch aus lauter Funktionen, nämlich [mm] f_1, f_2, f_3, f_4 [/mm] ...
Du mußt doch nun einen Konvergenzbereich für diese Funktionenfolge angeben, also den Bereich, aus dem man die x wählen darf, damit die Folge [mm] f_1(x), f_2(x), f_3(x), f_4(x),... [/mm] konvergiert.
Ein n kann in diesem Bereich nicht vorkommen. Was sollte das bedeuten?
Mach zuvor die Beispiele.
Wenn Du alles so schön hinschreibst wie für x=5 wirst Du's kapieren...
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:55 Do 21.10.2010 | | Autor: | Zuggel |
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> > > Hallo,
> > >
> > > eben nicht.
> > > Bei einer Funktionenfolge muß der Definitions- und
> > > Zielbereich sämtlicher Funktionen gleich sein.
> >
> > Ich ziehe das "sämtlicher Funktionen" einmal heraus -
> > gemeint sind damit also die Funktionen [mm]f_n(1),f_n(2)...[/mm] ?
>
> Hallo,
>
> Du sagst keine Funktionen, sondern Funktionswerte der
> Funktion [mm]f_n,[/mm] nämlich die Werte an der Stelle 1 und 2.
>
> Ich rede davon: wenn man eine Funktionenfolge [mm](f_n)[/mm] hat,
> also die Funktionen [mm]f_1, f_2, f_3, f_4, f_5,...,[/mm] dann muß
> bei allen diesen Funktionen der Definitionsbereich
> übereinstimmen. Sonst ist es keine Funktionenfolge.
> Zielbereich=die Menge, in welche abgebildet wird.
> Alle Funktionen der Funktionenfolge müssen a) denselben
> Definitionsbereich und b) denselben Zielbereich haben.
> Definitionsbereich und Zielbereich müssen nicht
> übereinstimmen.
>
>
> > Der Definitionsbereich soll gleich des Zielbereiches sein;
> > was ist der Zielbereich?
> >
> >
>
> > > Funktionenfolgen sind die Folgen [mm]g_n:[0,\infty)[/mm] und
> > > [mm]h_n:(1,\infty),[/mm]
> > > und deren Konvergenz hast Du untersucht:
> > > wenn ich mich recht erinnere, waren wir uns einig,
> daß
> > > [mm]g_n[/mm] divergiert für x=1, pw konvergiert für [mm]x\in (0,\infty),[/mm]
> > > und daß [mm]h_n[/mm] nirgendwo pw konvergiert.
> > >
> >
> > divergiert für x=1?
>
> Nein, ich meinte hier x=0.
>
> > Für x=1 haben wir ja
> > [mm]\bruch{n^7}{n^7+n-1}[/mm]
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^7}{n^7+n-1}[/mm] = 1
> >
> > Also konvergiert es für x=1, oder habe ich jetzt etwas
> > irgendwo überlesen (leße anschließend noch einmal alles
> > nach und editiere falls nötig)
>
> > Wir hatten
> > [mm]g_n[/mm] = [mm]\bruch{n^7}{n^7*x+n-1}[/mm]
> > [mm]h_n=\bruch{n^4*x^3}{x+n^3*x^5-1}[/mm]
> >
> > wobei wir für
> > [mm]g_n[/mm] in x=0 keine pw. konvergenz hatten
> > also pw. kov. für (0,n)
>
> Nein!!! Wir können nicht eine Funktionenfolge betrachten,
> für die [mm]g_1[/mm] den Definitionsbereich [0,1) hat, [mm]g_2[/mm] den Db
> [0,2), [mm]g_3[/mm] den Db. [0,3) usw.
> Das ist dann keine Funktionenfolge!
> Wie willst Du denn bei diesem Dingsbums entscheiden, ob's
> an der Stelle x=10 pw. konvergiert oder nicht! Es wären
> doch [mm]p_1,[/mm] ..., [mm]p_9[/mm] an dieser Stelle gar nicht definiert.
>
> Wir haben die Funktionenfolge [mm]g_n:[0,\infty)\to \IR[/mm]
> betrachtet.
> Das ist eine, und da macht's Sinn.
>
> > und [mm]h_n[/mm] wie gesagt keine pw konv.
> Ja. Mit [mm]h_n:(1,\infty)\to \IR.[/mm]
>
>
> > > Nun ist also die Funktionenfolge [mm]f_n[/mm] auf pw Konvergenz zu
> > > untersuchen.
> > > Man muß also die Folgen [mm]f_1(x), f_2(x), f_3(x), f_4(x),...[/mm]
> > > für sämtliche x des Definitionsbereiches von [mm]f_n,[/mm] also
> > > [mm]x\in [0,\infty)[/mm] betrachten.
> > >
> > > Dabei muß man daran denken, daß es Stellen gibt, bei
> > > denen die ersten Glieder nach der 1.Vorschrift, die
> > > folgenden nach der 2.Vorschrift gebildet werden. Welcher
> > > Teil des Definitionsbereiches ist das, in denen die Folgen
> > > [mm](f_n(x))[/mm] so gebildet werden?
> >
> >
>
>
> > 1. Vorschrift [mm]g_n,[/mm] ein Beispiel mit Taschenrechner nebenher
> > gerechnet:
> > ich wähle ein x=5
>
> Du wählst x=5.
> >
> > Und fange an mit [mm]g_n[/mm]
> >
> > [mm]g_n[/mm] = [mm]\bruch{n^7}{n^7*x+n-1}[/mm]
> >
> > [mm]f_0(5)=g_n[/mm] = [mm]\bruch{0^7}{0^7*5+n-1}[/mm] = 0
> >
> > [mm]f_1(5)=g_n =\bruch{1^7}{1^7*5+1-1}= \bruch{1}{5}[/mm] das kennen
> > wir ja schon irgendwoher und zwar von [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
> >
> > [mm]f_2(5)=g_n[/mm] = [mm]\bruch{2^7}{2^7*5+2-1}[/mm] =~ 0,2
> > [mm]f_3(5)=~0,2[/mm]
> > [mm]f_4(5)=~0,2[/mm]
> > [mm]f_5(5)=0,199999..[/mm]
> >
> > JETZT IST VORSCHRIFTSWECHSEL
> >
> > [mm]h_n=\bruch{n^4*x^3}{x+n^3*x^5-1}[/mm]
> >
> >
> > [mm]f_5(5)=0,23999[/mm]
> > [mm]f_5(5)=0,0,27999[/mm]
> > Ergebnisse tendenziell steigend, also sie gehen ENDLICH
> > nach [mm]\infty[/mm]
> > ....
>
> Die einzelnen Zahlen rechne ich nicht nach, es sieht jedoch
> endlich plausibel aus.
> Sei so gut und spiele das Spielchen für weitere Zahlen,
> die größer als 1 sind,
> für x=1,
> für ein paar Zahlen zwischen 0 und 1,
> und ruhig auch noch für die 0.
>
> Ich glaube wirklich, daß Du so am besten kapieren kannst,
> worum es geht und was punktweise Konvergenz ist.
>
> > Also fassen wir zusammen, [mm]f_n[/mm] hat pw. konv. für alle n [mm]\le[/mm]
> > x
>
> Das, was Du hier schreibst ist sinnlos.
> Die Funktionenfolge [mm](f_n)[/mm] besteht doch aus lauter
> Funktionen, nämlich [mm]f_1, f_2, f_3, f_4[/mm] ...
> Du mußt doch nun einen Konvergenzbereich für diese
> Funktionenfolge angeben, also den Bereich, aus dem man die
> x wählen darf, damit die Folge [mm]f_1(x), f_2(x), f_3(x), f_4(x),...[/mm]
> konvergiert.
> Ein n kann in diesem Bereich nicht vorkommen. Was sollte
> das bedeuten?
> Mach zuvor die Beispiele.
> Wenn Du alles so schön hinschreibst wie für x=5 wirst
> Du's kapieren...
>
> Gruß v. Angela
>
Da du so hartnäckig auf diesen Bereich zwischen 0, 1 herumhackst habe ich ihn mir gerade etwas genauer angeschaut. Kann es sein, dass ich zwischen 0 und 1 keine pw. konv. habe? Somit ich mein x erst ab 1 wählen darf und nicht ab 0?
Ich probier inzwischen weiter herum, vielleicht leuchtet die Glühbirne ja gleich auf...
Edit: Weil wenn ich mir zB den Bereich für x=3 anschaue, dann kann ichsagen, dass ich zwischen 1 und 3 pw. konv. habe. Ist das so in diesem Sinne richtig?
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> >
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > eben nicht.
> > > > Bei einer Funktionenfolge muß der Definitions-
> und
> > > > Zielbereich sämtlicher Funktionen gleich sein.
> > >
> > > Ich ziehe das "sämtlicher Funktionen" einmal heraus -
> > > gemeint sind damit also die Funktionen [mm]f_n(1),f_n(2)...[/mm] ?
> >
> > Hallo,
> >
> > Du sagst keine Funktionen, sondern Funktionswerte der
> > Funktion [mm]f_n,[/mm] nämlich die Werte an der Stelle 1 und 2.
> >
> > Ich rede davon: wenn man eine Funktionenfolge [mm](f_n)[/mm] hat,
> > also die Funktionen [mm]f_1, f_2, f_3, f_4, f_5,...,[/mm] dann muß
> > bei allen diesen Funktionen der Definitionsbereich
> > übereinstimmen. Sonst ist es keine Funktionenfolge.
> > Zielbereich=die Menge, in welche abgebildet wird.
> > Alle Funktionen der Funktionenfolge müssen a)
> denselben
> > Definitionsbereich und b) denselben Zielbereich haben.
> > Definitionsbereich und Zielbereich müssen nicht
> > übereinstimmen.
> >
> >
> > > Der Definitionsbereich soll gleich des Zielbereiches sein;
> > > was ist der Zielbereich?
> > >
> > >
> >
> > > > Funktionenfolgen sind die Folgen [mm]g_n:[0,\infty)[/mm] und
> > > > [mm]h_n:(1,\infty),[/mm]
> > > > und deren Konvergenz hast Du untersucht:
> > > > wenn ich mich recht erinnere, waren wir uns
> einig,
> > daß
> > > > [mm]g_n[/mm] divergiert für x=1, pw konvergiert für [mm]x\in (0,\infty),[/mm]
> > > > und daß [mm]h_n[/mm] nirgendwo pw konvergiert.
> > > >
> > >
> > > divergiert für x=1?
> >
> > Nein, ich meinte hier x=0.
> >
> > > Für x=1 haben wir ja
> > > [mm]\bruch{n^7}{n^7+n-1}[/mm]
> > >
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^7}{n^7+n-1}[/mm] = 1
> > >
> > > Also konvergiert es für x=1, oder habe ich jetzt etwas
> > > irgendwo überlesen (leße anschließend noch einmal alles
> > > nach und editiere falls nötig)
> >
> > > Wir hatten
> > > [mm]g_n[/mm] = [mm]\bruch{n^7}{n^7*x+n-1}[/mm]
> > > [mm]h_n=\bruch{n^4*x^3}{x+n^3*x^5-1}[/mm]
> > >
> > > wobei wir für
> > > [mm]g_n[/mm] in x=0 keine pw. konvergenz hatten
> > > also pw. kov. für (0,n)
> >
> > Nein!!! Wir können nicht eine Funktionenfolge betrachten,
> > für die [mm]g_1[/mm] den Definitionsbereich [0,1) hat, [mm]g_2[/mm] den Db
> > [0,2), [mm]g_3[/mm] den Db. [0,3) usw.
> > Das ist dann keine Funktionenfolge!
> > Wie willst Du denn bei diesem Dingsbums entscheiden,
> ob's
> > an der Stelle x=10 pw. konvergiert oder nicht! Es wären
> > doch [mm]p_1,[/mm] ..., [mm]p_9[/mm] an dieser Stelle gar nicht definiert.
> >
> > Wir haben die Funktionenfolge [mm]g_n:[0,\infty)\to \IR[/mm]
> > betrachtet.
> > Das ist eine, und da macht's Sinn.
> >
> > > und [mm]h_n[/mm] wie gesagt keine pw konv.
> > Ja. Mit [mm]h_n:(1,\infty)\to \IR.[/mm]
> >
> >
> > > > Nun ist also die Funktionenfolge [mm]f_n[/mm] auf pw Konvergenz zu
> > > > untersuchen.
> > > > Man muß also die Folgen [mm]f_1(x), f_2(x), f_3(x), f_4(x),...[/mm]
> > > > für sämtliche x des Definitionsbereiches von [mm]f_n,[/mm] also
> > > > [mm]x\in [0,\infty)[/mm] betrachten.
> > > >
> > > > Dabei muß man daran denken, daß es Stellen gibt, bei
> > > > denen die ersten Glieder nach der 1.Vorschrift, die
> > > > folgenden nach der 2.Vorschrift gebildet werden. Welcher
> > > > Teil des Definitionsbereiches ist das, in denen die Folgen
> > > > [mm](f_n(x))[/mm] so gebildet werden?
> > >
> > >
> >
> >
> > > 1. Vorschrift [mm]g_n,[/mm] ein Beispiel mit Taschenrechner nebenher
> > > gerechnet:
> > > ich wähle ein x=5
> >
> > Du wählst x=5.
> > >
> > > Und fange an mit [mm]g_n[/mm]
> > >
> > > [mm]g_n[/mm] = [mm]\bruch{n^7}{n^7*x+n-1}[/mm]
> > >
> > > [mm]f_0(5)=g_n[/mm] = [mm]\bruch{0^7}{0^7*5+n-1}[/mm] = 0
> > >
> > > [mm]f_1(5)=g_n =\bruch{1^7}{1^7*5+1-1}= \bruch{1}{5}[/mm] das kennen
> > > wir ja schon irgendwoher und zwar von [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
> > >
> > > [mm]f_2(5)=g_n[/mm] = [mm]\bruch{2^7}{2^7*5+2-1}[/mm] =~ 0,2
> > > [mm]f_3(5)=~0,2[/mm]
> > > [mm]f_4(5)=~0,2[/mm]
> > > [mm]f_5(5)=0,199999..[/mm]
> > >
> > > JETZT IST VORSCHRIFTSWECHSEL
> > >
> > > [mm]h_n=\bruch{n^4*x^3}{x+n^3*x^5-1}[/mm]
> > >
> > >
> > > [mm]f_5(5)=0,23999[/mm]
> > > [mm]f_5(5)=0,0,27999[/mm]
> > > Ergebnisse tendenziell steigend, also sie gehen
> ENDLICH
> > > nach [mm]\infty[/mm]
> > > ....
> >
> > Die einzelnen Zahlen rechne ich nicht nach, es sieht jedoch
> > endlich plausibel aus.
> > Sei so gut und spiele das Spielchen für weitere
> Zahlen,
> > die größer als 1 sind,
> > für x=1,
> > für ein paar Zahlen zwischen 0 und 1,
> > und ruhig auch noch für die 0.
> >
> > Ich glaube wirklich, daß Du so am besten kapieren kannst,
> > worum es geht und was punktweise Konvergenz ist.
> >
> > > Also fassen wir zusammen, [mm]f_n[/mm] hat pw. konv. für alle n [mm]\le[/mm]
> > > x
> >
> > Das, was Du hier schreibst ist sinnlos.
> > Die Funktionenfolge [mm](f_n)[/mm] besteht doch aus lauter
> > Funktionen, nämlich [mm]f_1, f_2, f_3, f_4[/mm] ...
> > Du mußt doch nun einen Konvergenzbereich für diese
> > Funktionenfolge angeben, also den Bereich, aus dem man die
> > x wählen darf, damit die Folge [mm]f_1(x), f_2(x), f_3(x), f_4(x),...[/mm]
> > konvergiert.
> > Ein n kann in diesem Bereich nicht vorkommen. Was
> sollte
> > das bedeuten?
> > Mach zuvor die Beispiele.
> > Wenn Du alles so schön hinschreibst wie für x=5 wirst
> > Du's kapieren...
> >
> > Gruß v. Angela
> >
>
> Da du so hartnäckig auf diesen Bereich zwischen 0, 1
> herumhackst habe ich ihn mir gerade etwas genauer
> angeschaut. Kann es sein, dass ich zwischen 0 und 1 keine
> pw. konv. habe? Somit ich mein x erst ab 1 wählen darf und
> nicht ab 0?
Hallo,
kann sein, kann auch nicht sein...
Wir machen doch kein Ratespiel hier.
> Ich probier inzwischen weiter herum, vielleicht leuchtet
> die Glühbirne ja gleich auf...ir empfohlen habe, würde ich gerne sehen.
Die Folgen, die sich ergeben, wenn Du Stellen aus den Bereichen betrachtest, die ich Dir empfohlen habe, würde ich gerne sehen.
Eigentlich hoffte ich, daß daran etwas klar wird.
>
> Edit: Weil wenn ich mir zB den Bereich für x=3 anschaue,
Was meinst Du hier mit "Bereich"?
> dann kann ichsagen, dass ich zwischen 1 und 3 pw. konv.
> habe. Ist das so in diesem Sinne richtig?
Was hast Du Dir dafür angeschaut. Ich will das auch sehen, damit ich ansatzweise ahnen kann, was Du treibst.
Gruß v. Angela
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:18 Fr 22.10.2010 | | Autor: | Zuggel |
>
> Die Folgen, die sich ergeben, wenn Du Stellen aus den
> Bereichen betrachtest, die ich Dir empfohlen habe, würde
> ich gerne sehen.
> Eigentlich hoffte ich, daß daran etwas klar wird.
Tja wie du siehst sitze ich komplett auf dem Schlauch...
Also ich fange an:
Also damit das hier nicht im Quelltext zu unübersichtlich wird schreibe ich so:
n - [mm] f_n(x)
[/mm]
ich kennzeichne mit einem Unterstrich ____ einen Vorschriftenwechsel in welchem ich von [mm] g_n [/mm] auf [mm] h_n [/mm] springe
Für die Intervalle 0, 0 < x < 1 , x= 1 , 1 < x < 2 habe ich kleinere Schritte gewählt zwischen 1 und 2 um auch nichts von dem zu verpassen was du mir vielleicht sagen wolltest
x=0
0 - 0
1 - ?
1,1 - 0
1,2 - 0
1,3 - 0
1,4 - 0
1,5 - 0
1,6 - 0
1,7 - 0
1,8 - 0
1,9 - 0
2 - 0
....
x=0,5
0 - ?
0,1 - -1,1111*^10^-7
0,2 - -0,000016
0,3 - -0,00312
0,4 - -0,002734
0,5 - -0,0157
___
0,6 - -0,0328
0,7 - -0,06134
...
x=1
0,1 - -1,1111*^10^-7
0,2 - -0,000016
0,3 - -0,00312
0,4 - -0,002734
0,5 - -0,0157
0,6 - -0,0753
0,7 - -0,3783
0,8 - 21,58
0,9 - 1,26
1 -1
___
1,2 - 1,2
1,3 - 1,3
..
2 - 2
3 -3
x > 1 => x = 2
0 - 0,00
0,1 - 0,00
0,2 - 0,00
0,3 - 0,00
0,4 - 0,00
0,5 - -0,02
0,6 - -0,08
0,7 - -0,61
0,8 - 0,96
0,9 - 0,56
1 - 0,50
1,1 - 0,49
1,2 - 0,49
1,3 - 0,49
1,4 - 0,49
1,5 - 0,49
1,6 - 0,49
1,7 - 0,50
1,8 - 0,50
1,9 - 0,50
2 - 0,50
___
2,1 - 0,52
2,2 - 0,55
2,3 - 0,57
2,4 - 0,60
2,5 - 0,62
2,6 - 0,65
2,7 - 0,67
2,8 - 0,70
2,9 - 0,72
3 - 0,75
x=3
0 - 0,00
0,1 - 0,00
0,2 - 0,00
0,3 - 0,00
0,4 - 0,00
0,5 - -0,02
0,6 - -0,09
0,7 - -1,56
0,8 - 0,49
0,9 - 0,36
1 - 0,33
1,1 - 0,33
1,2 - 0,33
1,3 - 0,33
1,4 - 0,33
1,5 - 0,33
1,6 - 0,33
1,7 - 0,33
1,8 - 0,33
1,9 - 0,33
2 - 0,33
2,1 - 0,33
2,2 - 0,33
2,3 - 0,33
2,4 - 0,33
2,5 - 0,33
2,6 - 0,33
2,7 - 0,33
2,8 - 0,33
2,9 - 0,33
3 - 0,33
___
3,1 - 0,34
3,2 - 0,36
3,3 - 0,37
3,4 - 0,38
So, das ist das, was ich vor mir habe. Ich erkläre dir auch gerne was ich alles daraus erkennen kann:
Also fangen wir bei den Zahlen x=2,3 an
Hier ist nichts besonderes, ich sehe eine allgemeine Tendenz bis zu x=2,3 des Wertes gegen [mm] \bruch{1}{x}, [/mm] alles über dem x divergiert.
x= 1
Hier relativ interessant zu sehen ist, dass jediglich n=1 gegen [mm] \bruch{1}{x} [/mm] konvergiert, die Folge unter n=1 konvergiert nicht - die Folge oberhalb sowieso nicht.
x=0,5
Das selbe haben wir hier, absolutes Chaos, hier kann ich nicht einmal für n=0,5 das erhoffte 1/0,5=2 erkennen
x=0
Nun für alle Zahlen oberhalb der 0 konvergiert das ganze gegen 0, außer für n=1, da ist es undefiniert
Sollte ich hier noch etwas sehen?
lg
Zuggel
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> Also ich fange an:
> Also damit das hier nicht im Quelltext zu unübersichtlich
> wird schreibe ich so:
> n - [mm]f_n(x)[/mm]
Kapiert!
>
> ich kennzeichne mit einem Unterstrich ____ einen
> Vorschriftenwechsel in welchem ich von [mm]g_n[/mm] auf [mm]h_n[/mm] springe
>
> Für die Intervalle 0, 0 < x < 1 , x= 1 , 1 < x < 2 habe
> ich kleinere Schritte gewählt zwischen 1 und 2 um auch
> nichts von dem zu verpassen was du mir vielleicht sagen
> wolltest
Hallo,
das ist gut --- gemeint.
Dir ist aber klar, daß man bei Folgen für n immer natürliche Zahlen einsetzt?
Wir betrachten die Funktionenfolge [mm] f_1, f_2, f_3, f_4, [/mm] ...
Wenn Du nichts verpassen möchtest, was ich hochlobesam finde, dann solltest Du Dir lieber "weit hinten" und weit auseinanderliegende liegende Folgenglieder anschauen. Immerhin interessierst Du Dich doch für festes x für [mm] n\to \infty. [/mm] Schreib also mal ein paar Folgenglieder, die "weit hinten" kommen, dazu.
>
> x=0
> 0 - 0
> 1 - ?
> 1,1 - 0
> 1,2 - 0
> 1,3 - 0
> 1,4 - 0
> 1,5 - 0
> 1,6 - 0
> 1,7 - 0
> 1,8 - 0
> 1,9 - 0
> 2 - 0
Irgendwie kann's doch nict sein, daß hier immer 0 rauskommt.
Gruß v. Angela
> ....
>
>
> x=0,5
> 0 - ?
> 0,1 - -1,1111*^10^-7
> 0,2 - -0,000016
> 0,3 - -0,00312
> 0,4 - -0,002734
> 0,5 - -0,0157
> ___
> 0,6 - -0,0328
> 0,7 - -0,06134
> ...
>
> x=1
> 0,1 - -1,1111*^10^-7
> 0,2 - -0,000016
> 0,3 - -0,00312
> 0,4 - -0,002734
> 0,5 - -0,0157
> 0,6 - -0,0753
> 0,7 - -0,3783
> 0,8 - 21,58
> 0,9 - 1,26
> 1 -1
> ___
> 1,2 - 1,2
> 1,3 - 1,3
> ..
> 2 - 2
> 3 -3
>
>
> x > 1 => x = 2
>
> 0 - 0,00
> 0,1 - 0,00
> 0,2 - 0,00
> 0,3 - 0,00
> 0,4 - 0,00
> 0,5 - -0,02
> 0,6 - -0,08
> 0,7 - -0,61
> 0,8 - 0,96
> 0,9 - 0,56
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> 1,1 - 0,49
> 1,2 - 0,49
> 1,3 - 0,49
> 1,4 - 0,49
> 1,5 - 0,49
> 1,6 - 0,49
> 1,7 - 0,50
> 1,8 - 0,50
> 1,9 - 0,50
> 2 - 0,50
> ___
> 2,1 - 0,52
> 2,2 - 0,55
> 2,3 - 0,57
> 2,4 - 0,60
> 2,5 - 0,62
> 2,6 - 0,65
> 2,7 - 0,67
> 2,8 - 0,70
> 2,9 - 0,72
> 3 - 0,75
>
>
>
>
> x=3
>
>
> 0 - 0,00
> 0,1 - 0,00
> 0,2 - 0,00
> 0,3 - 0,00
> 0,4 - 0,00
> 0,5 - -0,02
> 0,6 - -0,09
> 0,7 - -1,56
> 0,8 - 0,49
> 0,9 - 0,36
> 1 - 0,33
> 1,1 - 0,33
> 1,2 - 0,33
> 1,3 - 0,33
> 1,4 - 0,33
> 1,5 - 0,33
> 1,6 - 0,33
> 1,7 - 0,33
> 1,8 - 0,33
> 1,9 - 0,33
> 2 - 0,33
> 2,1 - 0,33
> 2,2 - 0,33
> 2,3 - 0,33
> 2,4 - 0,33
> 2,5 - 0,33
> 2,6 - 0,33
> 2,7 - 0,33
> 2,8 - 0,33
> 2,9 - 0,33
> 3 - 0,33
> ___
> 3,1 - 0,34
> 3,2 - 0,36
> 3,3 - 0,37
> 3,4 - 0,38
>
>
>
>
>
>
> So, das ist das, was ich vor mir habe. Ich erkläre dir
> auch gerne was ich alles daraus erkennen kann:
>
>
> Also fangen wir bei den Zahlen x=2,3 an
>
> Hier ist nichts besonderes, ich sehe eine allgemeine
> Tendenz bis zu x=2,3 des Wertes gegen [mm]\bruch{1}{x},[/mm] alles
> über dem x divergiert.
>
>
> x= 1
> Hier relativ interessant zu sehen ist, dass jediglich n=1
> gegen [mm]\bruch{1}{x}[/mm] konvergiert, die Folge unter n=1
> konvergiert nicht - die Folge oberhalb sowieso nicht.
>
> x=0,5
> Das selbe haben wir hier, absolutes Chaos, hier kann ich
> nicht einmal für n=0,5 das erhoffte 1/0,5=2 erkennen
>
> x=0
> Nun für alle Zahlen oberhalb der 0 konvergiert das ganze
> gegen 0, außer für n=1, da ist es undefiniert
>
>
> Sollte ich hier noch etwas sehen?
>
> lg
> Zuggel
>
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:17 Mo 25.10.2010 | | Autor: | Zuggel |
Hallo Angela
> > x=0
> > 0 - 0
> > 1 - ?
> > 1,1 - 0
> > 1,2 - 0
> > 1,3 - 0
> > 1,4 - 0
> > 1,5 - 0
> > 1,6 - 0
> > 1,7 - 0
> > 1,8 - 0
> > 1,9 - 0
> > 2 - 0
>
Ich schreibe hier etwas Gedächtnis-Protokoll auf, vielleicht siehst du ja an was es bei mir scheitert:
1. Gedanke
Hier bringst du mich ins Grübeln, denn eigentlich betrachte ich ja für alle x >0 folgende Funktion mit Bereich
[mm] \bruch{n^4\cdot{}x^3}{x+n^3\cdot{}x^5-1} x\in (n,+\infty) [/mm]
also ergibt sich hier für x=0 immer:
[mm] \bruch{n^4\cdot{}0}{0+n^3\cdot{}0-1}
[/mm]
Und 0 gebrochen durch irgendwas habe ich jetzt ohne großes denken immer auf = 0 gesetzt
2.Gedanke
Eigentlich bin ich ja hier im Bereich der 1. Funktion welche von 0 weg startet, x=0 trifft vollkommen den ersten Bereich, somit sollte ich auch für alle x=0 und n \ in [mm] \IN [/mm] (danke nochmal, ich wusste nicht, dass nur normale Zahlen verwendet werden) mit dieser Funktion bewertet werden:
[mm] \bruch{n^7}{n+n^7\cdot{}x-1}
[/mm]
somit ergibt sich folgendes:
0 - 0,00
1 - ?
2 - 128,00
3 - 1093,50
4 - 5461,33
5 - 19531,25
6 - 55987,20
7 - 137257,17
8 - 299593,14
9 - 597871,13
10 - 1111111,11
Ich tendiere hier zu meinem 2. Gedanken, da dieser logischer erscheint
So dann einmal etwas weiter auseinander liegende Werte, x=5, x=100 und x=10.000
x=5
1 - 0,20
2 - 0,20
3 - 0,20
4 - 0,20
5 - 0,20
6 - 0,24
7 - 0,28
8 - 0,32
9 - 0,36
10 - 0,40
100 - 4,00
500 - 20,00
1000 - 40,00
10000 - 400,00
1000000 - 40000,00
1336000 - 53440,00
1835500 - 73420,00
2335000 - 93400,00
2834500 - 113380,00
3334000 - 133360,00
3833500 - 153340,00
4333000 - 173320,00
4832500 - 193300,00
5332000 - 213280,00
5831500 - 233260,00
6331000 - 253240,00
6830500 - 273220,00
7330000 - 293200,00
7829500 - 313180,00
8329000 - 333160,00
8828500 - 353140,00
9328000 - 373120,00
9827500 - 393100,00
10327000 - 413080,00
10826500 - 433060,00
11326000 - 453040,00
11825500 - 473020,00
x=100
1 - 0,01
2 - 0,01
3 - 0,01
4 - 0,01
5 - 0,01
6 - 0,01
7 - 0,01
8 - 0,01
9 - 0,01
10 - 0,01
100 - 0,01
500 - 0,05
1000 - 0,10
10000 - 1,00
1000000 - 100,00
1336000 - 133,60
1835500 - 183,55
2335000 - 233,50
2834500 - 283,45
3334000 - 333,40
3833500 - 383,35
4333000 - 433,30
4832500 - 483,25
5332000 - 533,20
5831500 - 583,15
6331000 - 633,10
6830500 - 683,05
7330000 - 733,00
7829500 - 782,95
8329000 - 832,90
8828500 - 882,85
9328000 - 932,80
9827500 - 982,75
10327000 - 1032,70
10826500 - 1082,65
11326000 - 1132,60
11825500 - 1182,55
x=10.000
1 - 0,00
2 - 0,00
3 - 0,00
4 - 0,00
5 - 0,00
6 - 0,00
7 - 0,00
8 - 0,00
9 - 0,00
10 - 0,00
100 - 0,00
500 - 0,00
1000 - 0,00
10000 - 0,00
1000000 - 0,01
1336000 - 0,01
1835500 - 0,02
2335000 - 0,02
2834500 - 0,03
3334000 - 0,03
3833500 - 0,04
4333000 - 0,04
4832500 - 0,05
5332000 - 0,05
5831500 - 0,06
6331000 - 0,06
6830500 - 0,07
7330000 - 0,07
7829500 - 0,08
8329000 - 0,08
8828500 - 0,09
9328000 - 0,09
9827500 - 0,10
10327000 - 0,10
10826500 - 0,11
11326000 - 0,11
11825500 - 0,12
Was mir so auffällt ist, dass: Desto größer ich mein x wähle, desto kleiner werden die Zahlen am Ende meines untersuchten bereiches, oder besser gesagt, desto größer mein "x" gesto länger dauert es, bis meine Funktionsfolge gegen [mm] \infty [/mm] geht.
Im Bereich von n zwischen (0,x] habe ich wie immer meine Werte [mm] \bruch{1}{x} [/mm] wobei bei letzterer Folge Excel gerundet hat, das sollte natürlich 1/10.000 sein und nicht 0,00.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:07 Mo 25.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
mir war es zu mühsam, den ganzen thread durchzulesen
Was mir auffiel, du siehst dir immer relativ kleine n an. Bei Konvergenz kommt es aber auf die ersten par [mm] 10^{77} [/mm] n nicht an, sondern nur auf n gegen [mm] \infty.
[/mm]
du musst doch für punktweise konvergenz in [mm] x_1 [/mm] nur ein [mm] n_0(\epsilon) [/mm] angeben, so dass für alle [mm] n>n_0 [/mm] gilt [mm] |fn(x1)-1/x1|<\epsilon [/mm]
das knnst du doch nun für alle [mm] x_1
du kannst auch [mm] n=n_0+k [/mm] schreiben und k gegen [mm] \infty [/mm] laufen lassen statt n
dann kannst du danch um mehr x zu erfassen [mm] n_0 [/mm] vergrößern.
danach solltest du die glm. konv. im intervall (0,a) zeigen a [mm] beliebig,a<\infty
[/mm]
gruss leduart
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> 2.Gedanke
>
> Eigentlich bin ich ja hier im Bereich der 1. Funktion
> welche von 0 weg startet,x=0 trifft vollkommen den ersten
> Bereich,
Hallo,
ja, so ist es
> somit sollte ich auch für alle x=0 und n \ in [mm]\IN[/mm]
> (danke nochmal, ich wusste nicht, dass nur normale Zahlen
> verwendet werden) mit dieser Funktion bewertet werden:
>
> [mm]\bruch{n^7}{n+n^7\cdot{}x-1}[/mm]
>
> somit ergibt sich folgendes:
>
> 0 - 0,00
> 1 - ?
> 2 - 128,00
> 3 - 1093,50
> 4 - 5461,33
> 5 - 19531,25
> 6 - 55987,20
> 7 - 137257,17
> 8 - 299593,14
> 9 - 597871,13
> 10 - 1111111,11
Das entspricht ja auch dem, was Du zuvor berechnet hattest:
[mm] g_n(0)\to \infty.
[/mm]
>
> So dann einmal etwas weiter auseinander liegende Werte,
> x=5, x=100 und x=10.000
und x=1 und Werte zwischen 0 und 1 wären auch noch schön.
>
>
>
> x=5
>
> 1 - 0,20
> 2 - 0,20
> 3 - 0,20
> 4 - 0,20
> 5 - 0,20
> 6 - 0,24
> 7 - 0,28
> 8 - 0,32
> 9 - 0,36
> 10 - 0,40
> 100 - 4,00
> 500 - 20,00
> 1000 - 40,00
> 10000 - 400,00
> 1000000 - 40000,00
> 1336000 - 53440,00
> 1835500 - 73420,00
> 2335000 - 93400,00
> 2834500 - 113380,00
> 3334000 - 133360,00
> 3833500 - 153340,00
> 4333000 - 173320,00
> 4832500 - 193300,00
> 5332000 - 213280,00
> 5831500 - 233260,00
> 6331000 - 253240,00
> 6830500 - 273220,00
> 7330000 - 293200,00
> 7829500 - 313180,00
> 8329000 - 333160,00
> 8828500 - 353140,00
> 9328000 - 373120,00
> 9827500 - 393100,00
> 10327000 - 413080,00
> 10826500 - 433060,00
> 11326000 - 453040,00
> 11825500 - 473020,00
>
>
>
> x=100
> 1 - 0,01
> 2 - 0,01
> 3 - 0,01
> 4 - 0,01
> 5 - 0,01
> 6 - 0,01
> 7 - 0,01
> 8 - 0,01
> 9 - 0,01
> 10 - 0,01
> 100 - 0,01
> 500 - 0,05
> 1000 - 0,10
> 10000 - 1,00
> 1000000 - 100,00
> 1336000 - 133,60
> 1835500 - 183,55
> 2335000 - 233,50
> 2834500 - 283,45
> 3334000 - 333,40
> 3833500 - 383,35
> 4333000 - 433,30
> 4832500 - 483,25
> 5332000 - 533,20
> 5831500 - 583,15
> 6331000 - 633,10
> 6830500 - 683,05
> 7330000 - 733,00
> 7829500 - 782,95
> 8329000 - 832,90
> 8828500 - 882,85
> 9328000 - 932,80
> 9827500 - 982,75
> 10327000 - 1032,70
> 10826500 - 1082,65
> 11326000 - 1132,60
> 11825500 - 1182,55
Die Werte werden immer größer, man schöpft den Verdacht, daß [mm] f_n(x)\to \infty.
[/mm]
Das ist doch auch kein Wunder: die ersten Werte spielen für die Frage nach der Konvergenz überhaupt keine Rolle, und Du hattest zuvor ja schonmal ausgerechnet, daß [mm] h_n(x)\to \infty [/mm] für alle [mm] x\in (1,\infty)
[/mm]
EDIT: Das Dumme: es geht genau andersherum, es wird zuerst die Vorschrift [mm] h_n [/mm] verwendet und dann [mm] g_n. [/mm] Siehe meine Antwort mit dem Betreff "OH".
>
>
>
> x=10.000
> 1 - 0,00
> 2 - 0,00
> 3 - 0,00
> 4 - 0,00
> 5 - 0,00
> 6 - 0,00
> 7 - 0,00
> 8 - 0,00
> 9 - 0,00
> 10 - 0,00
> 100 - 0,00
> 500 - 0,00
> 1000 - 0,00
> 10000 - 0,00
> 1000000 - 0,01
> 1336000 - 0,01
> 1835500 - 0,02
> 2335000 - 0,02
> 2834500 - 0,03
> 3334000 - 0,03
> 3833500 - 0,04
> 4333000 - 0,04
> 4832500 - 0,05
> 5332000 - 0,05
> 5831500 - 0,06
> 6331000 - 0,06
> 6830500 - 0,07
> 7330000 - 0,07
> 7829500 - 0,08
> 8329000 - 0,08
> 8828500 - 0,09
> 9328000 - 0,09
> 9827500 - 0,10
> 10327000 - 0,10
> 10826500 - 0,11
> 11326000 - 0,11
> 11825500 - 0,12
>
Auch hier sieht es sehr nach monotonem Wachstum aus.
Da Du in früheren Posts ausgerechnet hattest, daß [mm] h_n(x)\to \infty [/mm] für alle [mm] x\in (1,\infty), [/mm] sollte man auch hier Konvergenz gegen [mm] \infty [/mm] erwarten.
Ich würde mal für n was richtig Großes einsetzen zur Probe.
EDIT: s. o.
>
>
> Was mir so auffällt ist, dass: Desto größer ich mein x
> wähle, desto kleiner werden die Zahlen am Ende meines
> untersuchten bereiches, oder besser gesagt, desto größer
> mein "x" gesto länger dauert es, bis meine Funktionsfolge
> gegen [mm]\infty[/mm] geht.
Dies interessiert aber bei der Untersuchung der punktweisen Konvergenz nicht.
Für pw Konvergenz schauen wir die "Kolonnen" einzeln an, ohne sie untereinander zu vergleichen.
> Im Bereich von n zwischen (0,x]
??? Eher für [mm] x\in(0,n], [/mm] oder?
> habe ich wie immer meine
> Werte [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
Aber nicht genau!
Wenn wir mit dieser Vorschrift weiterarbeiten würden, also [mm] \lim_{n\to \infty}g_n(x) [/mm] berechnen, dann bekommen wir als Grenzwert 1/x. Das hattest Du ja auch schonmal ausgerechnet.
So, jetzt fassen wir endlich mal ein bißchen was zusammen:
für x=0 bestätigt sich, daß die Folge [mm] f_n(0) [/mm] nicht konvergiert.
Wir haben also keine Konvergenz.
Auch für x=5, 10, 100 konvergiert [mm] f_n(x) [/mm] nicht.
Das liegt daran, daß nur endlich viele Glieder nach der ersten Vorschrift berechnet werden, und alle folgenden dann nach der zweiten, welche gegen [mm] \infty [/mm] strebt.
EDIT: Das ist falsch. Es ist genau andersherum, siehe meine Antwort mit dem Betreff "OH".
Jetzt überlege mal, für welche x es zutrifft, daß die Folgenglieder [mm] f_n(x) [/mm] irgendwann nach der zweiten Vorschrift berechnet werden.
EDIT: Dieser Vorschlag ist sinnlos..
Danach mach noch das Experiment mit x=1 und Werten zwischen 0 und 1.
Ich hoffe, daß Du die pw Konvergenz dann durchschaust.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 Di 26.10.2010 | | Autor: | Zuggel |
> Hallo
> mir war es zu mühsam, den ganzen thread durchzulesen
> Was mir auffiel, du siehst dir immer relativ kleine n an.
> Bei Konvergenz kommt es aber auf die ersten par [mm]10^{77}[/mm] n
> nicht an, sondern nur auf n gegen [mm]\infty.[/mm]
> du musst doch für punktweise konvergenz in [mm]x_1[/mm] nur ein
> [mm]n_0(\epsilon)[/mm] angeben, so dass für alle [mm]n>n_0[/mm] gilt
> [mm]|fn(x1)-1/x1|<\epsilon[/mm]
> das knnst du doch nun für alle [mm]x_1
> gilt nur die erste fkt.
> du kannst auch [mm]n=n_0+k[/mm] schreiben und k gegen [mm]\infty[/mm]
> laufen lassen statt n
> dann kannst du danch um mehr x zu erfassen [mm]n_0[/mm]
> vergrößern.
> danach solltest du die glm. konv. im intervall (0,a)
> zeigen a [mm]beliebig,a<\infty[/mm]
> gruss leduart
>
Also angeschaut habe ich mir das ganze zuerst natürlich für n -> [mm] \infty, [/mm] die Ergebnisse sind unten auch kurz aufgelistet von Angela, somit kannst du dir einen Überblick verschaffen wo wir gerade sind. Mein Problem ligt in de effektiven Eingrenzung des Raumes, wo ich pw. Konvergenz hatte.
Ich habe behauptet es sei der Raum für x [mm] \in [/mm] (0,n], was sich als falsch erwießen hat, da x nicht variabel sein kann bzw. x für pw. konvergenz fixiert wird.
>
> > 2.Gedanke
> >
> > Eigentlich bin ich ja hier im Bereich der 1. Funktion
> > welche von 0 weg startet,x=0 trifft vollkommen den ersten
> > Bereich,
>
> Hallo,
>
> ja, so ist es
>
> > somit sollte ich auch für alle x=0 und n \ in [mm]\IN[/mm]
> > (danke nochmal, ich wusste nicht, dass nur normale Zahlen
> > verwendet werden) mit dieser Funktion bewertet werden:
> >
> > [mm]\bruch{n^7}{n+n^7\cdot{}x-1}[/mm]
> >
> > somit ergibt sich folgendes:
> >
> > 0 - 0,00
> > 1 - ?
> > 2 - 128,00
> > 3 - 1093,50
> > 4 - 5461,33
> > 5 - 19531,25
> > 6 - 55987,20
> > 7 - 137257,17
> > 8 - 299593,14
> > 9 - 597871,13
> > 10 - 1111111,11
>
> Das entspricht ja auch dem, was Du zuvor berechnet
> hattest:
> [mm]g_n(0)\to \infty.[/mm]
Genau
>
>
> >
> Dies interessiert aber bei der Untersuchung der punktweisen
> Konvergenz nicht.
> Für pw Konvergenz schauen wir die "Kolonnen" einzeln an,
> ohne sie untereinander zu vergleichen.
>
> > Im Bereich von n zwischen (0,x]
>
> ??? Eher für [mm]x\in(0,n],[/mm] oder?
>
>
Ja, Entschuldige bitte, falsch herum geschrieben!
> > habe ich wie immer meine
> > Werte [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
>
> Aber nicht genau!
> Wenn wir mit dieser Vorschrift weiterarbeiten würden,
> also [mm]\lim_{n\to \infty}g_n(x)[/mm] berechnen, dann bekommen wir
> als Grenzwert 1/x. Das hattest Du ja auch schonmal
> ausgerechnet.
>
>
Wie meinst du nicht genau? Dass der Zahlenwert nicht genau gleich ist? Ja, das habe ich ausgerechnet, aber [mm] g_n [/mm] wird ja dann durch [mm] h_n [/mm] ersetzt ab einem gewissen Punkt.
> So, jetzt fassen wir endlich mal ein bißchen was
> zusammen:
>
> für x=0 bestätigt sich, daß die Folge [mm]f_n(0)[/mm] nicht
> konvergiert.
> Wir haben also keine Konvergenz.
Exakt
>
> Auch für x=5, 10, 100 konvergiert [mm]f_n(x)[/mm] nicht.
> Das liegt daran, daß nur endlich viele Glieder nach der
> ersten Vorschrift berechnet werden, und alle folgenden dann
> nach der zweiten, welche gegen [mm]\infty[/mm] strebt.
Ja
>
> Jetzt überlege mal, für welche x es zutrifft, daß die
> Folgenglieder [mm]f_n(x)[/mm] irgendwann nach der zweiten Vorschrift
> berechnet werden.
Nun, ausgenommen x=0, werden für alle x irgendwann einmal die Folgenflieder nach Vorschrift [mm] h_n [/mm] berechnet. Was ich nicht weiß, ist was passiert wenn [mm] x=\infty [/mm] verwendet wird. Ich schätze einmal, dass [mm] \infty [/mm] hier sowieso immer außen vorgelassen wird, oder?
>
> Danach mach noch das Experiment mit x=1 und Werten zwischen
> 0 und 1.
Nur kurz, x \ in [mm] \IR [/mm] und n immer nur [mm] \in \IN [/mm] wählen?
> Ich hoffe, daß Du die pw Konvergenz dann durchschaust.
>
Mache ich, editiere dann das Ergebnis und gebe die Frage inzwischen frei!
Edit:
Ich habe nun [mm] g_n [/mm] betrachtet für x zwischen 0 und 1. Dabei ist mir aufgefallen, dass [mm] g_n [/mm] für Werte welche sich x=0 nähern immer höhere Funktionswerte kriegt, was ja nichts neues ist, da wir ja gesagt haben, dass [mm] g_n(0) [/mm] nicht konvergiert.
Ansonsten fäkkt es mir ehrlich gesagt schwer irgend etwas zu erkennen, [mm] f_n [/mm] konvergiert wie üblich nicht für alle n > 1, [mm] g_n [/mm] konvergiert nicht für x=0, im Raum zwischen 0 < x < 1 aber konvergiert [mm] g_n [/mm] zu 1/x.
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> > > 2.Gedanke
[mm] (f_n(0))
[/mm]
> > > [mm]\bruch{n^7}{n+n^7\cdot{}x-1}[/mm]
> > >
> > > somit ergibt sich folgendes:
> > >
> > > 0 - 0,00
> > > 1 - ?
> > > 2 - 128,00
> > > 3 - 1093,50
> > > 4 - 5461,33
> > > 5 - 19531,25
> > > 6 - 55987,20
> > > 7 - 137257,17
> > > 8 - 299593,14
> > > 9 - 597871,13
> > > 10 - 1111111,11
> >
> > Das entspricht ja auch dem, was Du zuvor berechnet
> > hattest:
> > [mm]g_n(0)\to \infty.[/mm]
>
> Genau
>
>
> >
> >
> > >
> > > Im Bereich von x zwischen (0,n]
> > > habe ich wie immer meine
> > > Werte [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
> >
> > Aber nicht genau!
> > Wenn wir mit dieser Vorschrift weiterarbeiten würden,
> > also [mm]\lim_{n\to \infty}g_n(x)[/mm] berechnen, dann bekommen wir
> > als Grenzwert 1/x. Das hattest Du ja auch schonmal
> > ausgerechnet.
> >
> >
>
> Wie meinst du nicht genau? Dass der Zahlenwert nicht genau
> gleich ist?
Ich meine, daß sich für [mm] a\not=0 [/mm] die Folge [mm] g_1(a), g_2(a), g_3(a),...
[/mm]
dem Wert 1/a nähert.
Die Gleichheit [mm] g_1(a)=1/a, g_2(a)=1/a, g_3(a)=1/a,... [/mm] wirst Du nicht haben.
>
> > So, jetzt fassen wir endlich mal ein bißchen was
> > zusammen:
> >
> > für x=0 bestätigt sich, daß die Folge [mm]f_n(0)[/mm] nicht
> > konvergiert.
> > Wir haben also keine Konvergenz.
>
> Exakt
>
> >
> > Auch für x=5, 10, 100 konvergiert [mm]f_n(x)[/mm] nicht.
> > Das liegt daran, daß nur endlich viele Glieder nach
> der
> > ersten Vorschrift berechnet werden, und alle folgenden dann
> > nach der zweiten, welche gegen [mm]\infty[/mm] strebt.
>
>
> Ja
>
> >
> > Jetzt überlege mal, für welche x es zutrifft, daß die
> > Folgenglieder [mm]f_n(x)[/mm] irgendwann nach der zweiten Vorschrift
> > berechnet werden.
>
> Nun, ausgenommen x=0, werden für alle x irgendwann einmal
> die Folgenflieder nach Vorschrift [mm]h_n[/mm] berechnet.
Nein. Es sind außer x=0 noch allerlei x, bei denen nicht "umgeschaltet" wird auf die zweite Vorschrift.
> Was ich
> nicht weiß, ist was passiert wenn [mm]x=\infty[/mm] verwendet wird.
Das wird nicht verwendet. [mm] \infty [/mm] istkeine reelle zahl.
> > Danach mach noch das Experiment mit x=1 und Werten zwischen
> > 0 und 1.
Extrem gute Idee.
>
> Nur kurz, x \ in [mm]\IR[/mm] und n immer nur [mm]\in \IN[/mm] wählen?
Ja.
(Bist Du Dir eigentlich sicher, daß Du verstanden hast, was eine Funktionenfolge ist? Was punktweise Konvergenz ist?)
> Edit:
> Ich habe nun [mm]g_n[/mm] betrachtet für x zwischen 0 und 1. Dabei
> ist mir aufgefallen, dass [mm]g_n[/mm] für Werte welche sich x=0
> nähern immer höhere Funktionswerte kriegt,
Das interessiert für die punktweise Konvergenz, welche wir gerade behandeln, nicht.
Du mußt die Kolonnen für sich genommen angucken, also z.B. [mm] f_1(0.5), f_2(0.5), f_3(0,5),...
[/mm]
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:16 Mi 27.10.2010 | | Autor: | Zuggel |
>
> > > > 2.Gedanke
>
> [mm](f_n(0))[/mm]
>
> > > > [mm]\bruch{n^7}{n+n^7\cdot{}x-1}[/mm]
> > > >
> > > > somit ergibt sich folgendes:
> > > >
> > > > 0 - 0,00
> > > > 1 - ?
> > > > 2 - 128,00
> > > > 3 - 1093,50
> > > > 4 - 5461,33
> > > > 5 - 19531,25
> > > > 6 - 55987,20
> > > > 7 - 137257,17
> > > > 8 - 299593,14
> > > > 9 - 597871,13
> > > > 10 - 1111111,11
> > >
> > > Das entspricht ja auch dem, was Du zuvor berechnet
> > > hattest:
> > > [mm]g_n(0)\to \infty.[/mm]
> >
> > Genau
> >
> >
> > >
> > >
> > > >
>
> > > > Im Bereich von x zwischen (0,n]
>
> > > > habe ich wie immer meine
> > > > Werte [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
> > >
> > > Aber nicht genau!
> > > Wenn wir mit dieser Vorschrift weiterarbeiten
> würden,
> > > also [mm]\lim_{n\to \infty}g_n(x)[/mm] berechnen, dann bekommen wir
> > > als Grenzwert 1/x. Das hattest Du ja auch schonmal
> > > ausgerechnet.
> > >
> > >
> >
> > Wie meinst du nicht genau? Dass der Zahlenwert nicht genau
> > gleich ist?
>
> Ich meine, daß sich für [mm]a\not=0[/mm] die Folge [mm]g_1(a), g_2(a), g_3(a),...[/mm]
>
> dem Wert 1/a nähert.
> Die Gleichheit [mm]g_1(a)=1/a, g_2(a)=1/a, g_3(a)=1/a,...[/mm]
> wirst Du nicht haben.
>
Achso, ich dachte diese Ungenauigkeit beim Ergebnis kommt vom Taschenrechner.
> >
> > > So, jetzt fassen wir endlich mal ein bißchen was
> > > zusammen:
> > >
> > > für x=0 bestätigt sich, daß die Folge [mm]f_n(0)[/mm] nicht
> > > konvergiert.
> > > Wir haben also keine Konvergenz.
> >
> > Exakt
> >
> > >
> > > Auch für x=5, 10, 100 konvergiert [mm]f_n(x)[/mm] nicht.
> > > Das liegt daran, daß nur endlich viele Glieder nach
> > der
> > > ersten Vorschrift berechnet werden, und alle folgenden dann
> > > nach der zweiten, welche gegen [mm]\infty[/mm] strebt.
> >
> >
> > Ja
>
> >
> > >
> > > Jetzt überlege mal, für welche x es zutrifft, daß die
> > > Folgenglieder [mm]f_n(x)[/mm] irgendwann nach der zweiten Vorschrift
> > > berechnet werden.
> >
> > Nun, ausgenommen x=0, werden für alle x irgendwann einmal
> > die Folgenflieder nach Vorschrift [mm]h_n[/mm] berechnet.
>
> Nein. Es sind außer x=0 noch allerlei x, bei denen nicht
> "umgeschaltet" wird auf die zweite Vorschrift.
>
Irgendwas sagt mir, dass der Bereich 0-1 etwas mit der Sache zu tun hat, aber in diesem Bereich habe ich ja bereits meine Untersuchung gemacht, oberhalb von n=1 wird auf Funktion [mm] h_n [/mm] umgeschaltet
> > Was ich
> > nicht weiß, ist was passiert wenn [mm]x=\infty[/mm] verwendet wird.
>
> Das wird nicht verwendet. [mm]\infty[/mm] istkeine reelle zahl.
>
>
> > > Danach mach noch das Experiment mit x=1 und Werten zwischen
> > > 0 und 1.
>
> Extrem gute Idee.
>
> >
> > Nur kurz, x \ in [mm]\IR[/mm] und n immer nur [mm]\in \IN[/mm] wählen?
>
> Ja.
>
> (Bist Du Dir eigentlich sicher, daß Du verstanden hast,
> was eine Funktionenfolge ist? Was punktweise Konvergenz
> ist?)
>
Nun, das hoffe ich doch.
Also in meinem Kopf schwebt mir die von mir erstellte Erklärung vor: pw Konv. habe ich dann, wenn das Ergebnis einer Folge bzw Funktionsfolge für einen Bereich den ich bestimmen muss, gegen "f(x)" geht wobei ich dieses f(x) definiere als [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_n(x)
[/mm]
stimmt das so nicht?
>
> > Edit:
> > Ich habe nun [mm]g_n[/mm] betrachtet für x zwischen 0 und 1.
> Dabei
> > ist mir aufgefallen, dass [mm]g_n[/mm] für Werte welche sich x=0
> > nähern immer höhere Funktionswerte kriegt,
>
> Das interessiert für die punktweise Konvergenz, welche wir
> gerade behandeln, nicht.
>
> Du mußt die Kolonnen für sich genommen angucken, also
> z.B. [mm]f_1(0.5), f_2(0.5), f_3(0,5),...[/mm]
>
Mach ich jetzt!
> Gruß v. Angela
>
>
>
>
>
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> > > Nun, ausgenommen x=0, werden für alle x irgendwann einmal
> > > die Folgenflieder nach Vorschrift [mm]h_n[/mm] berechnet.
> >
> > Nein. Es sind außer x=0 noch allerlei x, bei denen nicht
> > "umgeschaltet" wird auf die zweite Vorschrift.
> >
>
>
> Irgendwas sagt mir, dass der Bereich 0-1 etwas mit der
> Sache zu tun hat,
Hallo,
das "irgendwas" bin u.a. ich, die Dich seit gefühlten zehntausend Posts versucht, darauf zu stoßen.
> aber in diesem Bereich habe ich ja
> bereits meine Untersuchung gemacht, oberhalb von n=1 wird
> auf Funktion [mm]h_n[/mm] umgeschaltet
Hä?
Ich erinnere mich auch nicht an eine gescheite Untersuchung des Bereiches.
Irgendwann hattest Du mal mit n=1.1, 1.2 usw. o.ä. gearbeitet, was der vollkommene Kokolores ist.
> >
> > > > Danach mach noch das Experiment mit x=1 und Werten zwischen
> > > > 0 und 1.
> >
> > Extrem gute Idee.
> >
> > >
> > > Nur kurz, x \ in [mm]\IR[/mm] und n immer nur [mm]\in \IN[/mm] wählen?
> >
> > Ja.
> >
> > (Bist Du Dir eigentlich sicher, daß Du verstanden hast,
> > was eine Funktionenfolge ist? Was punktweise Konvergenz
> > ist?)
> >
Die Definitionen schlage in der Literatur nach.
Ich mache jetzt nochmal ein Beispiel:
wir betrachten die Funktionenfolge [mm] k_n: (0,\infty)\to \IR [/mm] mit
[mm] k_n(x):= x^{-2n}.
[/mm]
Die Funktionenfolge ist eine Folge von Funktionen, welche alle aus dem Intervall [mm] (0,\infty) [/mm] in die reellen Zahlen abbilden.
Aufzählend können wir schreiben: [mm] k_1, k_2, k_3, k_4, k_5...
[/mm]
Zur Anschauung kann man sich mal diese Funktionen in ein gemeinsames Koordinatensystem plotten.
Für die Frage nach der punktweisen Konvergenz schaut man "vertikal":
man sucht sich eine feste Stelle a und schaut nacheinander die Funktionswerte [mm] k_1(a), k_2(a), k_3(a), k_4(a) [/mm] ... an dieser Stelle an. (Das ist eine Deiner Zahlenkolonnen.) Man guckt nun, ob sie einem (Grenz)Wert entgegenstreben oder nicht. Tun sie dies, ist die Funktion bei a pw konvergent.
Das tut man für jede Stelle, und am Ende kennt man all diejenigen Stellen, für die die Funktionenfolge punktweise konvergiert.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:12 Mi 27.10.2010 | | Autor: | Zuggel |
>
> > > > Nun, ausgenommen x=0, werden für alle x irgendwann einmal
> > > > die Folgenflieder nach Vorschrift [mm]h_n[/mm] berechnet.
> > >
> > > Nein. Es sind außer x=0 noch allerlei x, bei denen nicht
> > > "umgeschaltet" wird auf die zweite Vorschrift.
> > >
> >
> >
> > Irgendwas sagt mir, dass der Bereich 0-1 etwas mit der
> > Sache zu tun hat,
>
> Hallo,
>
> das "irgendwas" bin u.a. ich, die Dich seit gefühlten
> zehntausend Posts versucht, darauf zu stoßen.
>
Ja ich glaube bei Folgen & Reihen habe ich wohl einen mathematischen Tiefpunkt in meinem Kopf, keine Ahnung wieso. Das ging schon in der Schulkarriere so und auf der UNI gleich weiter...
>
> > aber in diesem Bereich habe ich ja
> > bereits meine Untersuchung gemacht, oberhalb von n=1 wird
> > auf Funktion [mm]h_n[/mm] umgeschaltet
>
> Hä?
> Ich erinnere mich auch nicht an eine gescheite
> Untersuchung des Bereiches.
> Irgendwann hattest Du mal mit n=1.1, 1.2 usw. o.ä.
> gearbeitet, was der vollkommene Kokolores ist.
Also jetzt einmal nur Kopf ohne Excel, x=3
Für x=3 werden die ersten 4 Glieder von [mm] f_n [/mm] nach der Vorschrift [mm] g_n [/mm] berechnet, mit / ab n=4 verwende ich [mm] h_n
[/mm]
3 ist im Bereich [0,n] bzw [0,1,2,3] zu finden
Für x=2 werden die ersten 3 Glieder nach [mm] g_n [/mm] berechnet [mm] (g_0, g_1,g_2,g_3), [/mm] mit / ab n=3 verwende ich [mm] h_n
[/mm]
2 ist im Bereich [0,n] bzw [0,1,2] zu finden
Für x=1 werden die ersten 2 Glieder nach [mm] g_n [/mm] berechnet [mm] g_0,g_1, [/mm] mit n=2 verwende ich [mm] h_n
[/mm]
1 ist im BEreich [0,n] bzw [0,1] zu finden
Für x=0,25 / 0,5 habe ich mir jetzt ewig den Kopf zerbrochen weil mir ein nicht ganz klarer Gedanke in den Kopf geschossen ist den ich hier einmal erklären möchte, also schauen wir einmal
x=0,25
n=0
[mm] g_n [/mm] besagt mir, dass es verwendet wird für alle x [mm] \in [/mm] [0,n], aber für n=0 ist x=0,25 nicht im Bereich enthalten. Für n=1 ist 0,25 im Bereich [0,1] enthalten. Weiter für alle anderen Zahlen die kommen.
Da wir in x=0, also für n=0 keine pw. konvergenz haben (gilt auch für oben) lassen wir den Bereich einmal außen vor. Mit x=0,25 bzw alle x zwischen 0 und 1 kommt bei mir immer das Selbe heraus. Ich kombiniere das mit einem vorherigen Post - ein Vorschriftenwechsel findet als für alle x statt welche nicht im Bereich zwischen [0,1] liegen.
V2: Ich habe das jetzt einmal für x=1,2 probiert - dort habe ich einen Vorschriftenwechsel, denn
x=1,2 ist entahlten im Bereich [0,1], somit berechne ich [mm] g_1, [/mm] mit / ab n=2 wechsle ich auf [mm] h_n
[/mm]
> Die Definitionen schlage in der Literatur nach.
>
> Ich mache jetzt nochmal ein Beispiel:
>
> wir betrachten die Funktionenfolge [mm]k_n: (0,\infty)\to \IR[/mm]
> mit
> [mm]k_n(x):= x^{-2n}.[/mm]
>
> Die Funktionenfolge ist eine Folge von Funktionen, welche
> alle aus dem Intervall [mm](0,\infty)[/mm] in die reellen Zahlen
> abbilden.
> Aufzählend können wir schreiben: [mm]k_1, k_2, k_3, k_4, k_5...[/mm]
>
> Zur Anschauung kann man sich mal diese Funktionen in ein
> gemeinsames Koordinatensystem plotten.
>
> Für die Frage nach der punktweisen Konvergenz schaut man
> "vertikal":
> man sucht sich eine feste Stelle a und schaut nacheinander
> die Funktionswerte [mm]k_1(a), k_2(a), k_3(a), k_4(a)[/mm] ... an
> dieser Stelle an. (Das ist eine Deiner Zahlenkolonnen.) Man
> guckt nun, ob sie einem (Grenz)Wert entgegenstreben oder
> nicht. Tun sie dies, ist die Funktion bei a pw konvergent.
> Das tut man für jede Stelle, und am Ende kennt man all
> diejenigen Stellen, für die die Funktionenfolge punktweise
> konvergiert.
>
> Gruß v. Angela
>
Vielen Dank für die ausführliche Erklärung! Ich hoffe du hast jetzt den Denkanstoß in Richtung Ziel gesetzt (siehe oben)
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OH MEIN GOTT!
ICH WERD' WAHNSINNIG!
ICH PROPAGIERE HIER SEIT TAGEN SCHWACHSINN, FÜRCHTE ICH...
Es ist doch alles ganz genau andersrum, als wir es die ganze Zeit tun und wozu ich einen gehörigen Teil beigetragen habe:
[mm] g_n [/mm] sei die obere Vorschrift, [mm] h_n [/mm] die untere.
Wenn ich jetzt [mm] f_n(5) [/mm] berechne,
dann geht doch
[mm] f_1(5) [/mm] nach der zweiten Vorschrift, also [mm] h_1(5), [/mm] denn [mm] 5\in (1,\infty)
[/mm]
[mm] f_2(5) [/mm] nach der zweiten Vorschrift, also [mm] h_2(5), [/mm] denn [mm] 5\in (2,\infty)
[/mm]
[mm] f_3(5) [/mm] nach der zweiten Vorschrift, also [mm] h_3(5), [/mm] denn [mm] 5\in (3,\infty)
[/mm]
[mm] f_4(5) [/mm] nach der zweiten Vorschrift, also [mm] h_4(5), [/mm] denn [mm] 5\in (4,\infty)
[/mm]
[mm] f_5(5) [/mm] nach der ersten Vorschrift, also [mm] g_5(5), [/mm] denn [mm] 5\in [/mm] [0,5]
[mm] f_6(5) [/mm] nach der ersten Vorschrift, also [mm] g_6(5), [/mm] denn [mm] 5\in [/mm] [0,6]
[mm] \vdots.
[/mm]
Damit konvergiert [mm] f_n [/mm] an der Stelle x=5 sehr jawohl, und zwar gegen 1/5.
Alle anderen x, die groß genug sind, ebenfalls!
Da wird doch umgeschaltet von [mm] h_n [/mm] auf [mm] g_n.
[/mm]
Ich Volltrottel!
Hattest Du's mal richtig? Und ich hab' 'nen blöden Kommentar abgelassen?
Wenn ja: Asche auf mein Haupt!
Und alle [mm] x\ge [/mm] 1 gehen ebenso.
An den Stellen konvergiert es punktweise!
Jetzt maldurchatmen und x=0.5 angucken.
Es geht
[mm] f_1(0.5) [/mm] nach der ersten Vorschrift, also [mm] g_1(0.5), [/mm] denn [mm] 0.5\in [/mm] [0,1]
[mm] f_2(0.5) [/mm] nach der ersten Vorschrift, also [mm] g_2(0.5), [/mm] denn [mm] 0.5\in [/mm] [0,2]
usw.
Für alle [mm] x\in [/mm] (0,1) ebenso.
x=0 hatten wir richtig.
Versuch ein Fazit zur punktweisen Konvergenz. Ich bin entkräftet jetzt...
Gruß v. Angela
P.S.: Kommst Du aus Südtirol?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Mi 27.10.2010 | | Autor: | Zuggel |
> OH MEIN GOTT!
> ICH WERD' WAHNSINNIG!
>
> ICH PROPAGIERE HIER SEIT TAGEN SCHWACHSINN, FÜRCHTE
> ICH...
>
> Es ist doch alles ganz genau andersrum, als wir es die
> ganze Zeit tun und wozu ich einen gehörigen Teil
> beigetragen habe:
>
> [mm]g_n[/mm] sei die obere Vorschrift, [mm]h_n[/mm] die untere.
>
> Wenn ich jetzt [mm]f_n(5)[/mm] berechne,
>
> dann geht doch
>
> [mm]f_1(5)[/mm] nach der zweiten Vorschrift, also [mm]h_1(5),[/mm] denn [mm]5\in (1,\infty)[/mm]
>
> [mm]f_2(5)[/mm] nach der zweiten Vorschrift, also [mm]h_2(5),[/mm] denn [mm]5\in (2,\infty)[/mm]
>
> [mm]f_3(5)[/mm] nach der zweiten Vorschrift, also [mm]h_3(5),[/mm] denn [mm]5\in (3,\infty)[/mm]
>
> [mm]f_4(5)[/mm] nach der zweiten Vorschrift, also [mm]h_4(5),[/mm] denn [mm]5\in (4,\infty)[/mm]
>
> [mm]f_5(5)[/mm] nach der ersten Vorschrift, also [mm]g_5(5),[/mm] denn [mm]5\in[/mm]
> [0,5]
> [mm]f_6(5)[/mm] nach der ersten Vorschrift, also [mm]g_6(5),[/mm] denn [mm]5\in[/mm]
> [0,6]
> [mm]\vdots.[/mm]
Also ich musste gerade so grinsen als ich das gesehen habe. Denn mir ist das Prinzip auf das du hinaus wolltest nicht in die Birne gegangen, ich habe einfach nicht verstanden auf was du hinauswolltest 
Jedenfalls, nach augearbeiteter Unsicherheit verzeihst du mir hoffentlich wenn ich mich jetzt spontan nichtmehr auskenne. Aber jetzt versuchen wir es nochmal....
>
> Damit konvergiert [mm]f_n[/mm] an der Stelle x=5 sehr jawohl, und
> zwar gegen 1/5.
>
> Alle anderen x, die groß genug sind, ebenfalls!
> Da wird doch umgeschaltet von [mm]h_n[/mm] auf [mm]g_n.[/mm]
> Ich Volltrottel!
> Hattest Du's mal richtig? Und ich hab' 'nen blöden
> Kommentar abgelassen?
> Wenn ja: Asche auf mein Haupt!
>
> Und alle [mm]x\ge[/mm] 1 gehen ebenso.
> An den Stellen konvergiert es punktweise!
>
Gut fassen wir zusammen, punktweise konvergenz habe ich für E [mm] (0,\infty) [/mm] bzw. für alle x>0.
Zusatz: Hätten wir [mm] g_n [/mm] NICHT definiert im Bereich von [0,n] SONDERN im Bereich [mm] [-\infty,n] [/mm] so hätten wir pw konvergenz im Intervall [mm] (-\infty,0) [/mm] und [mm] (0,\infty)
[/mm]
> Jetzt maldurchatmen und x=0.5 angucken.
>
> Es geht
>
> [mm]f_1(0.5)[/mm] nach der ersten Vorschrift, also [mm]g_1(0.5),[/mm] denn
> [mm]0.5\in[/mm] [0,1]
> [mm]f_2(0.5)[/mm] nach der ersten Vorschrift, also [mm]g_2(0.5),[/mm] denn
> [mm]0.5\in[/mm] [0,2]
> usw.
>
> Für alle [mm]x\in[/mm] (0,1) ebenso.
>
> x=0 hatten wir richtig.
>
> Versuch ein Fazit zur punktweisen Konvergenz. Ich bin
> entkräftet jetzt...
Fazit siehe oben!
>
> Gruß v. Angela
>
> P.S.: Kommst Du aus Südtirol?
Wieso weißt du das ? Habe ich mich durch falsch gesetzte Artikel bemerkbar gemacht ?
>
>
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> > [mm]g_n[/mm] sei die obere Vorschrift, [mm]h_n[/mm] die untere.
> >
> > Wenn ich jetzt [mm]f_n(5)[/mm] berechne,
> >
> > dann geht doch
> >
> > [mm]f_1(5)[/mm] nach der zweiten Vorschrift, also [mm]h_1(5),[/mm] denn [mm]5\in (1,\infty)[/mm]
>
> >
> > [mm]f_2(5)[/mm] nach der zweiten Vorschrift, also [mm]h_2(5),[/mm] denn [mm]5\in (2,\infty)[/mm]
>
> >
> > [mm]f_3(5)[/mm] nach der zweiten Vorschrift, also [mm]h_3(5),[/mm] denn [mm]5\in (3,\infty)[/mm]
>
> >
> > [mm]f_4(5)[/mm] nach der zweiten Vorschrift, also [mm]h_4(5),[/mm] denn [mm]5\in (4,\infty)[/mm]
>
> >
> > [mm]f_5(5)[/mm] nach der ersten Vorschrift, also [mm]g_5(5),[/mm] denn [mm]5\in[/mm] [0,5]
> > [mm]f_6(5)[/mm] nach der ersten Vorschrift, also [mm]g_6(5),[/mm] denn [mm]5\in[/mm] [0,6]
> > [mm]\vdots.[/mm]
>
> >
> > Damit konvergiert [mm]f_n[/mm] an der Stelle x=5 sehr jawohl, und
> > zwar gegen 1/5.
> >
> > Alle anderen x, die groß genug sind, ebenfalls!
> > Da wird doch umgeschaltet von [mm]h_n[/mm] auf [mm]g_n.[/mm]
> > Und alle [mm]x\ge[/mm] 1 gehen ebenso.
> > An den Stellen konvergiert es punktweise!
> >
>
> Gut fassen wir zusammen, punktweise konvergenz habe ich
> für E [mm](0,\infty)[/mm] bzw. für alle x>0.
>
> Zusatz: Hätten wir [mm]g_n[/mm] NICHT definiert im Bereich von
> [0,n] SONDERN im Bereich [mm][-\infty,n][/mm] so hätten wir pw
> konvergenz im Intervall [mm](-\infty,0)[/mm] und [mm](0,\infty)[/mm]
Hallo,
ja.
Jetzt halten wir mal fest, was wir getan haben:
nachgewiesen hattest Du, daß
[mm] \lim_{n\to \infty}g_n(0)=\infty
[/mm]
[mm] \lim_{n\to \infty}g_n(x)=1/x [/mm] für [mm] x\in (0,\infty)
[/mm]
[mm] \lim_{n\to \infty}h_n(x)=\infty [/mm] für [mm] x\in (1,\infty).
[/mm]
Jetzt hatten wir (endlich) anhand von Beispielen festgestellt, daß für alle x>0 nach endlich vielen Folgengliedern die Berechnungsvorschrift [mm] g_n [/mm] zum Tragen kommt, welche also ausschließlich für die Konvergenz/Nichtkonvergenz zuständig ist.
Dies müßtest Du nun in aller Allgemeinheit darstellen, also glaubhaft machen, warum für jedes x nach endlich vielen Folgengliedern die Vorschrift [mm] g_n [/mm] angewendet wird.
> > P.S.: Kommst Du aus Südtirol?
>
> Wieso weißt du das ? Habe ich mich durch falsch gesetzte
> Artikel bemerkbar gemacht ?
Nein. Ich hatte Jugenderinnerungen, die sich ganz plötzlich mit meinem messerscharfen Kombinationsvermögen gepaart haben.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Do 28.10.2010 | | Autor: | Zuggel |
> > Gut fassen wir zusammen, punktweise konvergenz habe ich
> > für E [mm](0,\infty)[/mm] bzw. für alle x>0.
> >
> > Zusatz: Hätten wir [mm]g_n[/mm] NICHT definiert im Bereich von
> > [0,n] SONDERN im Bereich [mm][-\infty,n][/mm] so hätten wir pw
> > konvergenz im Intervall [mm](-\infty,0)[/mm] und [mm](0,\infty)[/mm]
>
> Hallo,
>
> ja.
>
> Jetzt halten wir mal fest, was wir getan haben:
>
> nachgewiesen hattest Du, daß
>
> [mm]\lim_{n\to \infty}g_n(0)=\infty[/mm]
> [mm]\lim_{n\to \infty}g_n(x)=1/x[/mm]
> für [mm]x\in (0,\infty)[/mm]
>
> [mm]\lim_{n\to \infty}h_n(x)=\infty[/mm] für [mm]x\in (1,\infty).[/mm]
>
> Jetzt hatten wir (endlich) anhand von Beispielen
> festgestellt, daß für alle x>0 nach endlich vielen
> Folgengliedern die Berechnungsvorschrift [mm]g_n[/mm] zum Tragen
> kommt, welche also ausschließlich für die
> Konvergenz/Nichtkonvergenz zuständig ist.
>
> Dies müßtest Du nun in aller Allgemeinheit darstellen,
> also glaubhaft machen, warum für jedes x nach endlich
> vielen Folgengliedern die Vorschrift [mm]g_n[/mm] angewendet wird.
In aller Allgemeinheit?
nun, ich würde das so ausdrücken
[mm] E=(0,\infty) [/mm] mit [mm] f(x)=\bruch{1}{x} [/mm] ?
Wobei ich noch fragen wollte: Nehmen wir an, ich wähle ein sehr sehr großes x, dann habe ich die längste Weile keine konvergenz, dann irgendwann aber schon. Kann ich also diesen Bereich [mm] (0,\infty) [/mm] so aufschreiben und mich darauf beziehen, dass für pw. konv. die ersten paar (ich zitiere leduart) 10^77 Glieder nichts zur Sache beitragen sondern erst alles im [mm] \infty [/mm] Bereich interessant wird.
Vielleicht eine weitere Idee zur allgemeinen Darstellung, dadurch dass [mm] g_n [/mm] für x [mm] \in [/mm] (0,n] für n -> [mm] \infty [/mm] gegen [mm] \bruch{1}{x} [/mm] konvergiert muss ich dadurch pw. konv. haben.
PS: Was mich sehr dringend interessiert wäre meine Frage von vorher noch, wo ich den Bereich auf [mm] -\infty [/mm] erweitert habe
und
Welche Funktion hattest du jetzt 14 Tage lang im Kopf? Wie sah dort der Definitionsbereich aus und wie hätte man diese lösen können? Das interessiert mich jetzt brennend ;)
>
> > > P.S.: Kommst Du aus Südtirol?
> >
> > Wieso weißt du das ? Habe ich mich durch falsch gesetzte
> > Artikel bemerkbar gemacht ?
>
> Nein. Ich hatte Jugenderinnerungen, die sich ganz
> plötzlich mit meinem messerscharfen Kombinationsvermögen
> gepaart haben.
Jugenderinnerungen? Bist du hier aufgewachsen?
>
> Gruß v. Angela
>
lg
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>
> > > Gut fassen wir zusammen, punktweise konvergenz habe ich
> > > für E [mm](0,\infty)[/mm] bzw. für alle x>0.
> > >
> > > Zusatz: Hätten wir [mm]g_n[/mm] NICHT definiert im Bereich von
> > > [0,n] SONDERN im Bereich [mm][-\infty,n][/mm] so hätten wir pw
> > > konvergenz im Intervall [mm](-\infty,0)[/mm] und [mm](0,\infty)[/mm]
> >
> > Hallo,
> >
> > ja.
> >
> > Jetzt halten wir mal fest, was wir getan haben:
> >
> > nachgewiesen hattest Du, daß
> >
> > [mm]\lim_{n\to \infty}g_n(0)=\infty[/mm]
> > [mm]\lim_{n\to \infty}g_n(x)=1/x[/mm]
> > für [mm]x\in (0,\infty)[/mm]
> >
> > [mm]\lim_{n\to \infty}h_n(x)=\infty[/mm] für [mm]x\in (1,\infty).[/mm]
> >
> > Jetzt hatten wir (endlich) anhand von Beispielen
> > festgestellt, daß für alle x>0 nach endlich vielen
> > Folgengliedern die Berechnungsvorschrift [mm]g_n[/mm] zum Tragen
> > kommt, welche also ausschließlich für die
> > Konvergenz/Nichtkonvergenz zuständig ist.
> >
> > Dies müßtest Du nun in aller Allgemeinheit darstellen,
> > also glaubhaft machen, warum für jedes x nach endlich
> > vielen Folgengliedern die Vorschrift [mm]g_n[/mm] angewendet wird.
>
>
> In aller Allgemeinheit?
> nun, ich würde das so ausdrücken
>
> [mm]E=(0,\infty)[/mm] mit [mm]f(x)=\bruch{1}{x}[/mm] ?
Hallo,
Du möchtest sicher dies sagen:
Für alle [mm] x\in E:=(0,\infty) [/mm] konvergiert die Funktionenfolge [mm] f_n [/mm] punktweise gegen die Grenzfunktion f mit [mm] f(x):=\bruch{1}{x},
[/mm]
oder kurz: [mm] f_n(x)\to f(x)=\bruch{1}{x} [/mm] für [mm] x\in (0,\infty).
[/mm]
Das ist jedoch bisher lediglich eine Behauptung.
Gezeigt hattest Du betreits, daß [mm] \lim_{n\to\infty}g_n(x)=1/x [/mm] für [mm] x\in (0,\infty), [/mm]
aber es steht noch die Betrachtung des "Umschaltvorganges" aus.
Dieser ist ja bisher lediglich experimentell beleuchtet worden, und muß nun abgesichert werden.
Zu zeigen ist hierfür:
Sei [mm] x\in (0,\infty). [/mm]
Dann gibt es ein [mm] N\in \IN [/mm] mit [mm] f_n(x)=g_n(x) [/mm] für alle n>N.
> Wobei ich noch fragen wollte: Nehmen wir an, ich wähle ein
> sehr sehr großes x, dann habe ich die längste Weile keine
> konvergenz, dann irgendwann aber schon.
Wie lange es dauert, bis sich die Konvergenz bemerkbar macht, spielt überhaupt keine Rolle.
Schau Dir dazu die Definition für Konvergenz von Folgen an, wenn sie Dir nicht ganz gegenwärtig ist.
> Kann ich also
> diesen Bereich [mm](0,\infty)[/mm] so aufschreiben und mich darauf
> beziehen, dass für pw. konv. die ersten paar (ich zitiere
> leduart) 10^77 Glieder nichts zur Sache beitragen sondern
> erst alles im [mm]\infty[/mm] Bereich interessant wird.
S.o.: für diese Aufgabe ist plausibel zu machen, daß die Folgenglieder ab irgendeinem Schwellen wert N alle nach der ersten Vorschrift berechnet werden.
Daß [mm] g_n(x) [/mm] konvergiert, hast Du schon gezeigt, es kommt nun darauf an, daß diese Vorschrift für alle Folgenglieder die entscheidende ist.
> PS: Was mich sehr dringend interessiert wäre meine Frage
> von vorher noch, wo ich den Bereich auf [mm]-\infty[/mm] erweitert
> habe
Lies oben in diesem Post das, was ich in der Antwort zuvor schrieb...
>
> und
>
> Welche Funktion hattest du jetzt 14 Tage lang im Kopf?
Wenn ich das mal so genau wüßte...
Am ehesten so:
$ [mm] f_n(x)=\begin{cases} \bruch{n^7}{n+n^7\cdot{}x-1} \qquad x=0\\\bruch{n^7}{n+n^7\cdot{}x-1} \qquad x>n
\bruch{n^4\cdot{}x^3}{x+n^3\cdot{}x^5-1} \qquad x\le n\end{cases} [/mm] $,
aber eigentlich war's mehr ein Fall von "Sie haben Augen, doch sie sehen nicht."
Bei der Funktion oben funktioniert die Umschaltung eben genau andersrum.
> Jugenderinnerungen? Bist du hier aufgewachsen?
Oh nein, ich stamme aus Norddeutschland.
Aber wir waren früher öfter zu Ostern in Südtirol , im Etschtal und am Kalterer See. Ich mag diese Brotfladen mit Kümmel so sehr!
Und in Meran habe ich die erste Pizza meines Lebens gegessen - so Anfang der 70er-Jahre.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 Fr 29.10.2010 | | Autor: | Zuggel |
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> >
> > > > Gut fassen wir zusammen, punktweise konvergenz habe ich
> > > > für E [mm](0,\infty)[/mm] bzw. für alle x>0.
> > > >
> > > > Zusatz: Hätten wir [mm]g_n[/mm] NICHT definiert im Bereich von
> > > > [0,n] SONDERN im Bereich [mm][-\infty,n][/mm] so hätten wir pw
> > > > konvergenz im Intervall [mm](-\infty,0)[/mm] und [mm](0,\infty)[/mm]
> > >
> > > Hallo,
> > >
> > > ja.
> > >
> > > Jetzt halten wir mal fest, was wir getan haben:
> > >
> > > nachgewiesen hattest Du, daß
> > >
> > > [mm]\lim_{n\to \infty}g_n(0)=\infty[/mm]
> > > [mm]\lim_{n\to \infty}g_n(x)=1/x[/mm]
> > > für [mm]x\in (0,\infty)[/mm]
> > >
> > > [mm]\lim_{n\to \infty}h_n(x)=\infty[/mm] für [mm]x\in (1,\infty).[/mm]
>
> > >
> > > Jetzt hatten wir (endlich) anhand von Beispielen
> > > festgestellt, daß für alle x>0 nach endlich vielen
> > > Folgengliedern die Berechnungsvorschrift [mm]g_n[/mm] zum Tragen
> > > kommt, welche also ausschließlich für die
> > > Konvergenz/Nichtkonvergenz zuständig ist.
> > >
> > > Dies müßtest Du nun in aller Allgemeinheit darstellen,
> > > also glaubhaft machen, warum für jedes x nach endlich
> > > vielen Folgengliedern die Vorschrift [mm]g_n[/mm] angewendet wird.
> >
> >
> > In aller Allgemeinheit?
> > nun, ich würde das so ausdrücken
> >
> > [mm]E=(0,\infty)[/mm] mit [mm]f(x)=\bruch{1}{x}[/mm] ?
>
> Hallo,
>
> Du möchtest sicher dies sagen:
>
> Für alle [mm]x\in E:=(0,\infty)[/mm] konvergiert die
> Funktionenfolge [mm]f_n[/mm] punktweise gegen die Grenzfunktion f
> mit [mm]f(x):=\bruch{1}{x},[/mm]
> oder kurz: [mm]f_n(x)\to f(x)=\bruch{1}{x}[/mm] für [mm]x\in (0,\infty).[/mm]
>
> Das ist jedoch bisher lediglich eine Behauptung.
> Gezeigt hattest Du betreits, daß
> [mm]\lim_{n\to\infty}g_n(x)=1/x[/mm] für [mm]x\in (0,\infty),[/mm]
> aber es steht noch die Betrachtung des "Umschaltvorganges"
> aus.
> Dieser ist ja bisher lediglich experimentell beleuchtet
> worden, und muß nun abgesichert werden.
>
> Zu zeigen ist hierfür:
> Sei [mm]x\in (0,\infty).[/mm]
> Dann gibt es ein [mm]N\in \IN[/mm] mit [mm]f_n(x)=g_n(x)[/mm] für alle n>N.
>
Hm hier stellst du mich vor ein Rätsel, das einzige was mir jetzt einfallen würde ist folgendes:
Verzeih mir, wenn ich das nicht so mathematisch toll ausdrücken kann wie du, aber diese Zeichen schmeisen mich oft aus der Bahn, ich versuchs mit Buchstaben:
* Ich fixiere eine x beliebe Zahl, genannt [mm] \overline{n}
[/mm]
[mm] \overline{n} [/mm] ist entahlten in meiner "Bahn" der Zahlen n [mm] \in \IN [/mm] und ich schaue mir dann an, was für dieses x= [mm] \overline{n} [/mm] passiert mit dem limes von [mm] g_n [/mm] und [mm] h_n.
[/mm]
* Anders könnte ich mir sowas vorstellen, ich fixiere ein [mm] \overline{n} [/mm] < n und sage dass für [mm] \overline{n} [/mm] + k mit k [mm] \in \IN [/mm] irgendwann der Fall kommt dass [mm] \overline{n} [/mm] + k > n ist?!
* Oder ich könnte es so sagen: [mm]\exists \overline{n}: \forall n > \overline{n} \limes_{n\rightarrow\infty} f_n -> \bruch{1}{x} [/mm]?
>
>
> > Wobei ich noch fragen wollte: Nehmen wir an, ich wähle ein
> > sehr sehr großes x, dann habe ich die längste Weile keine
> > konvergenz, dann irgendwann aber schon.
>
> Wie lange es dauert, bis sich die Konvergenz bemerkbar
> macht, spielt überhaupt keine Rolle.
> Schau Dir dazu die Definition für Konvergenz von Folgen
> an, wenn sie Dir nicht ganz gegenwärtig ist.
>
>
>
> > Kann ich also
> > diesen Bereich [mm](0,\infty)[/mm] so aufschreiben und mich darauf
> > beziehen, dass für pw. konv. die ersten paar (ich zitiere
> > leduart) 10^77 Glieder nichts zur Sache beitragen sondern
> > erst alles im [mm]\infty[/mm] Bereich interessant wird.
>
> S.o.: für diese Aufgabe ist plausibel zu machen, daß die
> Folgenglieder ab irgendeinem Schwellen wert N alle nach der
> ersten Vorschrift berechnet werden.
> Daß [mm]g_n(x)[/mm] konvergiert, hast Du schon gezeigt, es kommt
> nun darauf an, daß diese Vorschrift für alle
> Folgenglieder die entscheidende ist.
>
>
> > PS: Was mich sehr dringend interessiert wäre meine Frage
> > von vorher noch, wo ich den Bereich auf [mm]-\infty[/mm] erweitert
> > habe
>
> Lies oben in diesem Post das, was ich in der Antwort zuvor
> schrieb...
>
Öm, welchen Absatz meinst du jetzt?
> >
> > und
> >
> > Welche Funktion hattest du jetzt 14 Tage lang im Kopf?
>
> Wenn ich das mal so genau wüßte...
>
> Am ehesten so:
>
> $ [mm]f_n(x)=\begin{cases} \bruch{n^7}{n+n^7\cdot{}x-1} \qquad x=0 \\ \bruch{n^7}{n+n^7\cdot{}x-1} \qquad x>n
\\ \bruch{n^4\cdot{}x^3}{x+n^3\cdot{}x^5-1} \qquad x\le n\end{cases}[/mm]
> $,
.
Wenn es dir nichts ausmacht würde ich gern diese Funktion auch besprechen
Du sagst es wird hier ander herum umgeschaltet. Also für den Bereich zwischen x [mm] \in [/mm] [0,n] (ich weiß immer noch nicht wie ich hier den Raum einscränken könnte) habe ich keine Konvergenz und für alle x>n habe ich pw konv?
>
> > Jugenderinnerungen? Bist du hier aufgewachsen?
>
> Oh nein, ich stamme aus Norddeutschland.
> Aber wir waren früher öfter zu Ostern in Südtirol , im
> Etschtal und am Kalterer See. Ich mag diese Brotfladen mit
> Kümmel so sehr!
> Und in Meran habe ich die erste Pizza meines Lebens
> gegessen - so Anfang der 70er-Jahre.
>
>
Du meinst wohl das Osterbrot das es hier zu Ostern gibt? Nun wenn du am Kalterer See warst, warst du nicht unweit von mir entfernt
lg
Zuggel
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> > > > > Gut fassen wir zusammen, punktweise konvergenz habe ich
> > > > > für E [mm](0,\infty)[/mm] bzw. für alle x>0.
> > > > >
> > > > > Zusatz: Hätten wir [mm]g_n[/mm] NICHT definiert im Bereich von
> > > > > [0,n] SONDERN im Bereich [mm][-\infty,n][/mm] so hätten wir pw
> > > > > konvergenz im Intervall [mm](-\infty,0)[/mm] und [mm](0,\infty)[/mm]
> > > >
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > ja.
> > > >
> > > > Jetzt halten wir mal fest, was wir getan haben:
> > > >
> > > > nachgewiesen hattest Du, daß
> > > >
> > > > [mm]\lim_{n\to \infty}g_n(0)=\infty[/mm]
> > > > [mm]\lim_{n\to \infty}g_n(x)=1/x[/mm]
> > > > für [mm]x\in (0,\infty)[/mm]
> > > >
> > > > [mm]\lim_{n\to \infty}h_n(x)=\infty[/mm] für [mm]x\in (1,\infty).[/mm]
>
> >
> > Hallo,
> >
> > Du möchtest sicher dies sagen:
> >
> > Für alle [mm]x\in E:=(0,\infty)[/mm] konvergiert die
> > Funktionenfolge [mm]f_n[/mm] punktweise gegen die Grenzfunktion f
> > mit [mm]f(x):=\bruch{1}{x},[/mm]
> > oder kurz: [mm]f_n(x)\to f(x)=\bruch{1}{x}[/mm] für [mm]x\in (0,\infty).[/mm]
>
> >
> > Das ist jedoch bisher lediglich eine Behauptung.
> > Gezeigt hattest Du betreits, daß
> > [mm]\lim_{n\to\infty}g_n(x)=1/x[/mm] für [mm]x\in (0,\infty),[/mm]
> > aber es steht noch die Betrachtung des "Umschaltvorganges"
> > aus.
> > Dieser ist ja bisher lediglich experimentell beleuchtet
> > worden, und muß nun abgesichert werden.
> >
> > Zu zeigen ist hierfür:
> > Sei [mm]x\in (0,\infty).[/mm]
> > Dann gibt es ein [mm]N\in \IN[/mm] mit [mm]f_n(x)=g_n(x)[/mm] für alle n>N.
> >
>
>
> Hm hier stellst du mich vor ein Rätsel,
Es geht so:
sei [mm] x\in (0,\infty).
[/mm]
Dann gibt ein ein [mm] N\in \IN [/mm] mit x<n und="" es="" ist="" [mm] x\in="" [0,n].="">\in [/mm] (0,N)
Weiter ist [mm] x\in [/mm] [0,n] für alle [mm] n\ge [/mm] N.
Also ist [mm] f_n(x)=g_n(x) [/mm] für alle [mm] n\ge [/mm] N,
und da [mm] g_n(x) [/mm] wie bereits gezeigt konvergiert, konvergiert auch [mm] f_n(x).
[/mm]
>
> > Lies oben in diesem Post das, was ich in der Antwort zuvor
> > schrieb...
> >
>
> Öm, welchen Absatz meinst du jetzt?
Das, was ich jetzt oben im Post rot markiert habe.
>
> > >
> > > und
> > >
> > > Welche Funktion hattest du jetzt 14 Tage lang im Kopf?
> >
> > Wenn ich das mal so genau wüßte...
> >
> > Am ehesten so:
> >
> > $ [mm]f_n(x)=\begin{cases} \bruch{n^7}{n+n^7\cdot{}x-1} \qquad x=0 \\
\bruch{n^7}{n+n^7\cdot{}x-1} \qquad x>n \\
\bruch{n^4\cdot{}x^3}{x+n^3\cdot{}x^5-1} \qquad x\le n\end{cases}[/mm]
> > $,
> .
>
>
> Wenn es dir nichts ausmacht würde ich gern diese Funktion
> auch besprechen
>
> Du sagst es wird hier ander herum umgeschaltet.
Ja.
Für [mm] x\in [/mm] (0,1) geht die Berechnung von A-Z nach [mm] h_n(x),
[/mm]
für die [mm] x\ge [/mm] 1 zuerst nach [mm] g_n(x), [/mm] dann nach [mm] h_n(x), [/mm] und da wir fstgestellt hatten, daß h(x) auf ganz [mm] (0,\infty) [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] geht, habe wir nirgendwo punktweise Konvergenz.
Der Vorteil: man muß nicht über glm Konvergenz nachdenken.
Das steht bei der eigentlichen Aufgabe nämlich noch aus.
> > Ostern in Südtirol ,
>
> Du meinst wohl das Osterbrot das es hier zu Ostern gibt?
Nein. Ich meine Vintschgauer Fladen, sie sind aus Sauerteig, gewürzt mit Kümmel, (vermutlich auch Fenchel und Anis) und (ich glaube) Bockshornklee.
Ich hab' inzwischen festgestellt, daß ich gar nicht im Etschtal war, sondern im Vintschgau. Aber die Etsch war da auf jeden Fall auch und ein Tal!
> Nun wenn du am Kalterer See warst, warst du nicht unweit
> von mir entfernt
Nicht unweit = weit.
Gruß v. Angela
</n>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Di 02.11.2010 | | Autor: | Zuggel |
> > > Das ist jedoch bisher lediglich eine Behauptung.
> > > Gezeigt hattest Du betreits, daß
> > > [mm]\lim_{n\to\infty}g_n(x)=1/x[/mm] für [mm]x\in (0,\infty),[/mm]
> > > aber es steht noch die Betrachtung des "Umschaltvorganges"
> > > aus.
> > > Dieser ist ja bisher lediglich experimentell beleuchtet
> > > worden, und muß nun abgesichert werden.
> > >
> > > Zu zeigen ist hierfür:
> > > Sei [mm]x\in (0,\infty).[/mm]
> > > Dann gibt es ein [mm]N\in \IN[/mm] mit [mm]f_n(x)=g_n(x)[/mm] für alle n>N.
> > >
> >
> >
> > Hm hier stellst du mich vor ein Rätsel,
>
> Es geht so:
>
> sei [mm]x\in (0,\infty).[/mm]
> Dann gibt ein ein [mm]N\in \IN[/mm] mit x<n
> und="" es="" ist="" [mm]x\in="" [0,n].="">\in[/mm] (0,N)
> Weiter ist [mm]x\in[/mm] [0,n] für alle [mm]n\ge[/mm] N.
>
> Also ist [mm]f_n(x)=g_n(x)[/mm] für alle [mm]n\ge[/mm] N,
> und da [mm]g_n(x)[/mm] wie bereits gezeigt konvergiert, konvergiert
> auch [mm]f_n(x).[/mm]
>
Hm auf diese Schreibweise wäre ich nicht gekommen. Wieso diei "" nach "und", "es" "ist" ? Schreibfehler?
> >
>
>
> > > Lies oben in diesem Post das, was ich in der Antwort zuvor
> > > schrieb...
> > >
> >
> > Öm, welchen Absatz meinst du jetzt?
>
> Das, was ich jetzt oben im Post rot markiert habe.
>
> >
> > > >
> > > > und
> > > >
> > > > Welche Funktion hattest du jetzt 14 Tage lang im Kopf?
> > >
> > > Wenn ich das mal so genau wüßte...
> > >
> > > Am ehesten so:
> > >
> > > $ [mm]f_n(x)=\begin{cases} \bruch{n^7}{n+n^7\cdot{}x-1} \qquad x=0 \\
\bruch{n^7}{n+n^7\cdot{}x-1} \qquad x>n \\
\bruch{n^4\cdot{}x^3}{x+n^3\cdot{}x^5-1} \qquad x\le n\end{cases}[/mm]
> > > $,
> > .
> >
> >
> > Wenn es dir nichts ausmacht würde ich gern diese Funktion
> > auch besprechen
> >
> > Du sagst es wird hier ander herum umgeschaltet.
>
> Ja.
> Für [mm]x\in[/mm] (0,1) geht die Berechnung von A-Z nach [mm]h_n(x),[/mm]
> für die [mm]x\ge[/mm] 1 zuerst nach [mm]g_n(x),[/mm] dann nach [mm]h_n(x),[/mm] und
> da wir fstgestellt hatten, daß h(x) auf ganz [mm](0,\infty)[/mm]
> gegen [mm]\infty[/mm] geht, habe wir nirgendwo punktweise
> Konvergenz.
> Der Vorteil: man muß nicht über glm Konvergenz
> nachdenken.
Ok, das kling logisch.
Um jetzt endlich auf unsere gleichmäßge Konvergenz zu kommen, ich untersuche
[mm] sup_{(0,\infty]} |f_n(x)_f(x)| [/mm] = [mm] \bruch{n^7}{n+n^7*x-1}-{1}{x} [/mm] =: [mm] \rho
[/mm]
Ich leite ab [mm] \rho' [/mm] = 0
und bekomme für x= - [mm] \bruch{n-1}{2n^7}
[/mm]
ich setze es ein in mein [mm] \rho
[/mm]
[mm] \rho [/mm] (x= - [mm] \bruch{n-1}{2n^7})= \bruch{4n^7}{n-1}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{4n^7}{n-1} [/mm] -> [mm] \infty
[/mm]
Somit ist in meinem Intervall keine gl. konv
Du hast damals gesagt, ich soll das Intervall nach unten kürzen. Wieso das? Wir haben im Unterricht untersucht, in welche Richtung mein gefundenes x geht, wenn ich n gegen [mm] \infty [/mm] schicke. x -> [mm] \infty [/mm] für [mm] n->\infty [/mm] somit sollte ich das Intervall doch nach oben hin kürzen, oder?
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:29 Di 02.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast doch: in jedem festen Intervall (0,a] a beliebig groß konvergiert die fkt gleichmäßig gegen g(x) damit schreibt mandann das bei unendlich ofene Intervall.
Bei x=0 ist a) g(x) unstetig, bzw nicht definiert, und im Intervall[0,a] konvergiert f:n nicht glm gegen f.
Gruss leduiart
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Hallo,
> Um jetzt endlich auf unsere gleichmäßge Konvergenz zu
> kommen, ich untersuche
> [mm]sup_{(0,\infty]} |f_n(x)_f(x)|[/mm] =
> [mm]\bruch{n^7}{n+n^7*x-1}-{1}{x}[/mm] =: [mm]\rho[/mm]
>
> Ich leite ab [mm]\rho'[/mm] = 0
> und bekomme für x= - [mm]\bruch{n-1}{2n^7}[/mm]
>
> ich setze es ein in mein [mm]\rho[/mm]
>
> [mm]\rho[/mm] (x= - [mm]\bruch{n-1}{2n^7})= \bruch{4n^7}{n-1}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{4n^7}{n-1}[/mm] -> [mm]\infty[/mm]
>
> Somit ist in meinem Intervall keine gl. konv
>
>
> Du hast damals gesagt, ich soll das Intervall nach unten
> kürzen. Wieso das? Wir haben im Unterricht untersucht, in
> welche Richtung mein gefundenes x geht, wenn ich n gegen
> [mm]\infty[/mm] schicke. x -> [mm]\infty[/mm] für [mm]n->\infty[/mm]
Nein, diese Maximalstelle wandert zur 0.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 Mi 03.11.2010 | | Autor: | Zuggel |
Hallo ihr beiden:
LEDUART:
> Hallo
> du hast doch: in jedem festen Intervall (0,a] a beliebig
> groß konvergiert die fkt gleichmäßig gegen g(x) damit
> schreibt mandann das bei unendlich ofene Intervall.
> Bei x=0 ist a) g(x) unstetig, bzw nicht definiert, und im
> Intervall[0,a] konvergiert f:n nicht glm gegen f.
> Gruss leduiart
>
Also um einmal kurz mein Wissen zu festigen (allgemein jetzt):
Habe ich pw. Konvergenz im Intervall [0,a] so habe ich in diesem Intervall sicher auch gl. Konv.? Jedoch nicht sicher, dass ich sie auf dem gesamten Intervall habe, sondern es existiert ein Intervall [b,c] [mm] \in [/mm] [0,a] in welchem ich gl. Konv. habe? Oder ist es komplett umgekehrt?
Also wenn meine Vermutung oben stimmt dann kann ich dir folgen, mit der Aussage, dass ich meinen Bereich auf (0,a] beschränken kann. Nur wieso sage ich eigentlich "a" dazu, a [mm] \in \IR [/mm] wird doch gewählt bis [mm] \infty, [/mm] wieso sage ich nicht gleich [mm] (0,\infty)?
[/mm]
ANGELA:
> > [mm]\rho[/mm] (x= - [mm]\bruch{n-1}{2n^7})= \bruch{4n^7}{n-1}[/mm]
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{4n^7}{n-1}[/mm] -> [mm]\infty[/mm]
> >
> > Somit ist in meinem Intervall keine gl. konv
> >
> >
> > Du hast damals gesagt, ich soll das Intervall nach unten
> > kürzen. Wieso das? Wir haben im Unterricht untersucht, in
> > welche Richtung mein gefundenes x geht, wenn ich n gegen
> > [mm]\infty[/mm] schicke. x -> [mm]\infty[/mm] für [mm]n->\infty[/mm]
>
> Nein, diese Maximalstelle wandert zur 0.
Das ist mir jetzt ein Rätsel!!!
Ich nehme den limes von [mm] \bruch{4n^7}{n-1}
[/mm]
gegen [mm] \infty [/mm] bertrachte ich doch nur die höchste Hochzahl im Bruch bzw. im Zähler und Nenner, somit
[mm] \bruch{4n^7}{n} [/mm] = [mm] 4n^6 [/mm] , das ganze gegen [mm] \infty [/mm] geht = [mm] \infty
[/mm]
Mache ich hier eine falsche Überlegung?
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> > > [mm]\rho[/mm] (x= [mm]\bruch{n-1}{2n^7})= \bruch{4n^7}{n-1}[/mm]
> > >
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{4n^7}{n-1}[/mm] -> [mm]\infty[/mm]
> > >
> > > Somit ist in meinem Intervall keine gl. konv
> > >
> > >
> > > Du hast damals gesagt, ich soll das Intervall nach unten
> > > kürzen. Wieso das? Wir haben im Unterricht untersucht, in
> > > welche Richtung mein gefundenes x geht, wenn ich n gegen
> > > [mm]\infty[/mm] schicke. x -> [mm]\infty[/mm] für [mm]n->\infty[/mm]
> >
> > Nein, diese Maximalstelle wandert zur 0.
>
>
> Das ist mir jetzt ein Rätsel!!!
>
> Ich nehme den limes von [mm]\bruch{4n^7}{n-1}[/mm]
> gegen [mm]\infty[/mm] bertrachte ich doch nur die höchste Hochzahl
> im Bruch bzw. im Zähler und Nenner, somit
> [mm]\bruch{4n^7}{n}[/mm] = [mm]4n^6[/mm] , das ganze gegen [mm]\infty[/mm] geht =
> [mm]\infty[/mm]
>
> Mache ich hier eine falsche Überlegung?
t
Hallo,
das Maximum von [mm] f_n [/mm] liegt - richtige Rechnung vorausgesetzt, ich weiß nicht mehr, ob ich alles nachgerechnet hatte - an der Stelle [mm] x_n=$\bruch{n-1}{2n^7} [/mm] $, der zugehörige Funktionswert ist [mm] f_n(x_n)=$\bruch{4n^7}{n-1}$.
[/mm]
Du hattest richtig festgestellt, daß für [mm] n\to \infty [/mm] der Wert des Maximums, [mm] f_n(x_n)=$\bruch{4n^7}{n-1}$, [/mm] immer größer wird und gegen [mm] \infty [/mm] geht, weshalb auf dem Intervall [mm] (0,\infty) [/mm] keine glm Konvergenz stattfindet.
Ich rede über etwas anders als den Funktionswert: die Maximalstelle (oder genauer: die Folge [mm] (x_n) [/mm] der Maximalstellen), also [mm] x_n=$\bruch{n-1}{2n^7} [/mm] $,wandert mit wachsendem n immer weiter zur 0.
Wenn Du dieser Wanderung ein Ende setzt durch linksseitige Beschneiden des Definitionsbereiches, dann hast Du glm Konvergenz.
Sicher wäre es nützlich, wenn Du Dir die Funktionenfolge mal plotten würdest, damit Du siehst, worüber geredet wird.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:29 Fr 05.11.2010 | | Autor: | Zuggel |
> Hallo,
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> das Maximum von [mm]f_n[/mm] liegt - richtige Rechnung
> vorausgesetzt, ich weiß nicht mehr, ob ich alles
> nachgerechnet hatte - an der Stelle [mm]x_n=[/mm] [mm]\bruch{n-1}{2n^7} [/mm],
> der zugehörige Funktionswert ist [mm]f_n(x_n)=[/mm]
> [mm]\bruch{4n^7}{n-1}[/mm].
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> Du hattest richtig festgestellt, daß für [mm]n\to \infty[/mm] der
> Wert des Maximums, [mm]f_n(x_n)=[/mm] [mm]\bruch{4n^7}{n-1}[/mm], immer
> größer wird und gegen [mm]\infty[/mm] geht, weshalb auf dem
> Intervall [mm](0,\infty)[/mm] keine glm Konvergenz stattfindet.
>
> Ich rede über etwas anders als den Funktionswert: die
> Maximalstelle (oder genauer: die Folge [mm](x_n)[/mm] der
> Maximalstellen), also [mm]x_n=[/mm] [mm]\bruch{n-1}{2n^7} [/mm],wandert mit
> wachsendem n immer weiter zur 0.
>
> Wenn Du dieser Wanderung ein Ende setzt durch linksseitige
> Beschneiden des Definitionsbereiches, dann hast Du glm
> Konvergenz.
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> Sicher wäre es nützlich, wenn Du Dir die Funktionenfolge
> mal plotten würdest, damit Du siehst, worüber geredet
> wird.
>
> Gruß v. Angela
>
Oh man, habe ich jetzt wirklich den Funktionswert und nicht das Maximum betrachtet. Schande über mich. Ok also die Maximalstelle wandert gegen 0.
Gut ich sage es existiert ein "b" wobei b > 0 ist und meinen Bereich auf [mm] [b,\infty) [/mm] einschränkt.
Jetzt ein kleiner Zwispalt meinerseits, das supremum im Bereich [mm] (0,\infty) [/mm] bzw. jetzt im Bereich [mm] [b,\infty) [/mm] betrachte ich immer für [mm] g_n [/mm] da ich dort pw. Konvergenz habe, oder ist auch [mm] h_n [/mm] zu berücksichtigen? Denn aus gleichmäßiger konv. folgt punktweise Konv. aber nicht umgekehrt. Heißt also, dass ich ja eigentlich auch [mm] h_n [/mm] einmal anschauen sollte?
Jedenfalls errechnete Nullstelle sollte stimmen, fangen wir mit unserem b an.
Ich denke ich muss jetzt dieses "b" in meine Funktion [mm] f_n [/mm] einsetzen bzw in meine Funktion [mm] g_n [/mm] da ich ja aus dieser meinen Extremwert gewonnen habe, und das ganze mit dem limes untersuchen. Gesagt getan:
[mm] g_n(b) [/mm] = [mm] \bruch{n^7}{n+n^7*b-1}
[/mm]
der limes -> [mm] \infty [/mm] = 1/b
Ok also ist mein Bereich in welchem ich gleichm. Konv. habe nun
[mm] G=[b,\infty)?
[/mm]
Kommen wir zur ursprünglichen Aufgabenstellung:
Finden Sie heraus ob es im Intervall (0,a) $ [mm] \subset [/mm] $ E mit a > 0 gleichmäßige Konvergenz gibt. Wenn nicht untersuchen Sie Unterräume von (0,a)
Dieses [mm] "\subset" [/mm] sagt mir jetzt spontan nichts, aber ich meine mich zu erinnern, dass ich jetzt diesen Bereich verwenden muss welcher in meinem Bereich G vorhanden ist, sozusagen den Bereich den beide gemeinsam haben.
Sollte nun schlussendlich heißen, dass der gesuchte Bereich [b,a) liegt, am I right?
Wegen Plotten: Ich versuche das ganze schon seit wir dabei sind mit Derive 6 hinzukriegen, scheitere jedoch kläglich. Kannst du mir ein Programm empfehlen?!
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Hallo,
ich mag jetzt nicht mehr auf Details eingehen, weil es mir zu mühsam ist, immer wieder zurückzublättern und zu suchen, wo was steht.
Ich hab' das alles nicht so im Kopf.
Festgestellt hatten wir, daß die Folge auf [mm] E:=(0,\infty) [/mm] punktweise gegen f(x):=1/x konvergiert.
Zu klären war lt. Aufgabenstellung die Frage, ob die Funktion auf (0,a) mit a>0 gleichmäßig konvergiert.
Du hattest dazu [mm] \lim_{n\to \infty}\sup{x\in(0,a)}|f_n(x)-f(x)| [/mm] untersucht und festgestellt, daß über diesem Intervall keine glm Konvergnz vorliegt.
> Kommen wir zur ursprünglichen Aufgabenstellung:
>
> Finden Sie heraus ob es im Intervall (0,a) [mm]\subset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
E mit a
> > 0 gleichmäßige Konvergenz gibt. Wenn nicht untersuchen
> Sie Unterräume von (0,a)
>
> Dieses <img class="latex" _cke_realelement="true" alt="$" $="" src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$" \subset=""> sagt mir jetzt spontan nichts,
Da wir auf (0,a) keine glm Konvergenz haben, ist nun gefragt, ob das Intervall so eingeschränkt werden kann, daß man glm Konvergenz hat.
Du hattest schon festgestellt, daß die Einschränkung links vorgenommen werden muß.
> Sollte nun schlussendlich heißen, dass der gesuchte
> Bereich [b,a) liegt, am I right?
Vielleicht sogar ein bißchen größer: (b,a) mit 0<b<a.
>
> Wegen Plotten: Ich versuche das ganze schon seit wir dabei
> sind mit Derive 6 hinzukriegen, scheitere jedoch kläglich.
> Kannst du mir ein Programm empfehlen?!
Für sowas bin ich die völlig falsche Adresse...
Ich nehme einen schnöden online-Funktionsplotter, im Moment fooplot.com , und tippe halt immer in solchen Fällen einen Strauß Funktionen der Folge brav ein.
ich lasse mir dann (beispielsweise) f_3, f_{12},f_{57}, f_{123} anzeigen, da sieht man schon ein bißchen was, die vermutete Grenzfunktion f mitzuzeichnen, ist auch nicht so übel.
Wenn ich mich für die Vertikale, also für die punktweise Konvergenz genauer interessiere, lasse ich mir (beispielsweise) mal f_x(0), f_x(1.23}, f_x(4.9), f_x(12345) anzeigen, zusammen mit dem Funktionswert der vermuteten Grenzfunktion an dieser Stelle.
Alles also nicht sehr komfortabel und mit wenig Automatismus.
Vorteil: ich muß vorher drüber nachdenken, was ich wissen will und entsprechende Maßnahmen einleiten, was dem Verständnis nur förderlich ist.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:14 Mo 08.11.2010 | | Autor: | Zuggel |
> > Sollte nun schlussendlich heißen, dass der gesuchte
> > Bereich [b,a) liegt, am I right?
>
> Vielleicht sogar ein bißchen größer: (b,a) mit 0<b<a.
>
>
Also das musst du mir erklären, denn ich habe so gerechnet:
x=b
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \rho(x=b) [/mm] = [mm] \bruch{n^7}{n+n^7*x-1}-\bruch{1}{x} [/mm] => [mm] \bruch{n^7}{n+n^7*b-1}-\bruch{1}{b} [/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^7}{n+n^7*x-1}-\bruch{1}{x} [/mm] = 0
Somit -> gl. konv. für [b,a)
Oder verstehe ich hier etwas falsch?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Fr 12.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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