Konvergenz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:27 Di 31.05.2005 | | Autor: | Adele |
Hallo!
Ich sitze hier gerade an einer Aufgabe bei der mit Hilfe des Quotienten- , des Wurzel- oder des Vergleichkriteriums auf Konvergenz überprüft werden soll.
Ich favorisiere normalerweise das Quotienten- bzw. das Wurzelkriterium, jedoch komme ich bei der Anwendung nicht weiter. Ich bin mir nicht sicher, wie ich mit Fakultät umgehen muss.
Ich wäre sehr dankbar, wenn mir dabei jemand helfen könnte.
Die Reihen:
1. [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{n!}}
[/mm]
Wenn ich hier bei das Quotientenkriterium anwende, bleibe ich bei
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] |\bruch{\wurzel{n!}}{\wurzel{(n+1)!}}| [/mm] stehen. Würde ich da besser ein anderes Kriterium anwenden? Oder sehe ich einfach nur nicht, wie ich da weiter machen muss?
2. [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{\wurzel{2^{n}}}{n!}
[/mm]
Hier komme ich auch mit dem Quotientenkriterium bei
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] |\bruch{\wurzel{2^{n+1}}*n!}{(n+1)!*\wurzel{2^{n}}}| [/mm]
nicht weiter.
3. [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n!}{n^{n}}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] |\bruch{(n+1)!*n^{n}}{(n+1)^{n+1}*n!}|
[/mm]
Hab ich vielleicht einfach ungünstige Kriterien gewählt? Mich verwirrt die Fakultät ein wenig.
Wäre super, wenn mir jemand weiter helfen könnte und schon mal danke im vorraus.
Liebe Grüße,
Adele
|
|
| |
|
Hallo!
> 1. [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{n!}}[/mm]
>
> Wenn ich hier bei das Quotientenkriterium anwende, bleibe
> ich bei
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] sup
> [mm]|\bruch{\wurzel{n!}}{\wurzel{(n+1)!}}|[/mm] stehen. Würde ich da
> besser ein anderes Kriterium anwenden? Oder sehe ich
> einfach nur nicht, wie ich da weiter machen muss?
Du kannst noch weiter umformen: [mm] $\limsup \bruch{\wurzel{n!}}{\wurzel{(n+1)!}}=\limsup \bruch{1}{\wurzel{(n+1)}}=0$.
[/mm]
> 2. [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{\wurzel{2^{n}}}{n!}[/mm]
>
> Hier komme ich auch mit dem Quotientenkriterium bei
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] sup
> [mm]|\bruch{\wurzel{2^{n+1}}*n!}{(n+1)!*\wurzel{2^{n}}}|[/mm]
> nicht weiter.
Auch hier kannst du weiter umformen:
[mm] $\limsup \bruch{\wurzel{2^{n+1}}*n!}{(n+1)!*\wurzel{2^{n}}}=\limsup \bruch{\sqrt 2}{n+1}=0$.
[/mm]
> 3. [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n!}{n^{n}}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] sup
> [mm]|\bruch{(n+1)!*n^{n}}{(n+1)^{n+1}*n!}|[/mm]
Hier bekommst du Probleme:
[mm] $\limsup \bruch{(n+1)!*n^{n}}{(n+1)^{n+1}*n!}=\limsup \bruch{n^n}{(n+1)^n}$.
[/mm]
Allerdings fällt mir im Moment auch keine schlagkräftige Alternative ein. ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
> Mich verwirrt die Fakultät ein wenig.
Man muss eigentlich nur [mm] $\bruch{(n+1)!}{n!}=\bruch{(n+1)n!}{n!}=n+1$ [/mm] verwenden.
Gruß, banachella
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:08 Di 31.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Adele!
> 3. [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n!}{n^{n}}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] sup
> [mm]|\bruch{(n+1)!*n^{n}}{(n+1)^{n+1}*n!}|[/mm]
>
> Hab ich vielleicht einfach ungünstige Kriterien gewählt?
> Mich verwirrt die Fakultät ein wenig.
Hier bringt das Quotientenkriterium nichts, wie Banachella ja schon gezeigt hat.
Verwende lieber das Majorantenkriterium.
Für $n [mm] \ge [/mm] 5$ gilt:
$n! [mm] \le n^{n-2}$
[/mm]
(könnte man vielleicht per vollständiger Induktion schnell zeigen).
Daraus folgt:
[mm] $\frac{n!}{n^n} \le \frac{1}{n^2}$
[/mm]
für $n [mm] \ge [/mm] 5$,
und die Reige
[mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$
[/mm]
konvergiert ja.
Viele Grüße
Julius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Di 31.05.2005 | | Autor: | Adele |
Danke euch beiden für die schnelle Antwort, werde mich gleich mal daran machen :)
Liebe Grüße,
Adele
|
|
|
|
