Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Vor.: [mm] c_{k} [/mm] beschränkte Folge, [mm] d_{k} [/mm] Folge mit [mm] d_{k} [/mm] >0 für alle k aus [mm] \IN, \summe_{i=0}^{\infty} d_{k} [/mm] kovergent.
Beh: [mm] \summe_{i=0}^{\infty} d_{k}c_{k} [/mm] kovergent |
Beweisidee:
Da [mm] d_{k} [/mm] konvergent gilt: k aus [mm] \IN, k_0 \ge [/mm] k für alle k>K
[mm] \summe_{i=0}^{\infty}d_{k} [/mm] konvergent: Es gibt c aus [mm] \IR [/mm] -> [mm] \summe_{i=0}^{\infty}d_{k}*c [/mm] konvergent -
-> [mm] c*\summe_{i=0}^{\infty}d_{k} [/mm] konvergent
[mm] \summe_{i=0}^{\infty}c_{k} [/mm] ist beschränkt
-> Es gibt k aus [mm] \IN k_0 \ge [/mm] k, [mm] Ic_{k}-c_{k_{0}} [/mm] < Epsilon und [mm] Ik-k_{0}I [/mm] < Delta. Mit Epsilon-Delta-Krit. und Cauchy Konvergenz folgt: -> [mm] c*\summe_{i=0}^{\infty}d_{k} [/mm] konvergent
[mm] ->\summe_{i=0}^{\infty} d_{k}c_{k} [/mm] kovergent
-> [mm] \summe_{i=0}^{\infty}c_{k} [/mm] konvergent
Kann mir jemand sagen, ob das passt?
DANKE.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:16 Do 29.04.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo pippilangstrumpf!
Nee, das passt m.E. nicht. Am Ende behauptest Du etwas, was gar nicht gefragt ist bzw. gar nicht gezeigt werden soll.
Aus " [mm] $c_k$ [/mm] ist beschränkt" (die Folge [mm] $c_k$ [/mm] , nicht als Reihe!) folgt:
[mm] $$\left|c_k|\le C$$
Und das dann mal einsetzen.
Gruß
Loddar
[/mm]
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[mm] Ic_{k}I
Zu zeigen: Die Folge der Partialsummen [mm] s_{k}:= Ic_{k}d_{k}I [/mm] ist beschränkt.
[mm] \summe_{k=o}^{n} d_{k} [/mm] konvergent -> [mm] D_{k}:= \summe_{k=0}^{n} Id_{k}I [/mm] konvergent
[mm] D_{k} [/mm] <D:
[mm] s_{k}:= \summe_{k=o}^{n} Ic_{k}d_{k}I \ge [/mm] C [mm] \summe_{k=o}^{n} d_{k} \ge [/mm] C*D ist beschränkt.
Danke für Hinweise!
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Hiho,
zum einen, benutz doch einfach bitte normale Betragsstriche.... die hast du auch auf deiner Tastatur => $|x|$
Dann:
> [mm]Ic_{k}I
> Zu zeigen: Die Folge der Partialsummen [mm]s_{k}:= Ic_{k}d_{k}I[/mm]
> ist beschränkt.
Ja, auch wenn du das nicht brauchst, aber so gehts auch.
> [mm]\summe_{k=o}^{n} d_{k}[/mm] konvergent -> [mm]D_{k}:= \summe_{k=0}^{n} Id_{k}I[/mm]
> konvergent
Warum ist die Folge von Beträgen konvergent? Das stimmt hier zwar, aber warum? Da fehlt eine Begründung.
> [mm]D_{k}[/mm] <D:
> [mm]s_{k}:= \summe_{k=o}^{n} Ic_{k}d_{k}I \ge[/mm] C
> [mm]\summe_{k=o}^{n} d_{k} \ge[/mm] C*D ist beschränkt.
Hier sind die Ungleichungen falsch, es muss [mm] \le [/mm] heissen, nicht [mm] \ge.
[/mm]
MFG,
Gono.
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