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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass wenn [mm] \summe_{i=1}^{n}u_{n} [/mm] eine konvergente Reihe mit nicht-negativen Termen ist, dann ist auch [mm] \summe_{i=1}^{n}u_{n}^2 [/mm] eine konvergente Reihe. Geben Sie ein Beispiel, das zeigt, dass das Gegenteil nicht wahr ist. |
Hi,
also mein Ansatz war der folgende:
Ich benutze das Quotientenkriterium, das für eine konvergente Reihe besagt, dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{u_{n+1}}{u_n}\right|<1 [/mm] . Betrachtet man nun [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{u_{n+1}^2}{u_{n}^2}\right| [/mm] so ist auch dies nach einem der Grenzwertsätze <1, denn es gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}*b_{n}=A*B [/mm] mit [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] konvergent (mit Grenzwerten A und B.
Als Gegenbeispiel fiele mit spontan [mm] u_{n}=\bruch{1}{n} [/mm] ein.
Kann man das so zeigen ?
Lg
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Hallo!
> Zeigen Sie, dass wenn [mm]\summe_{i=1}^{n}u_{n}[/mm] eine
> konvergente Reihe mit nicht-negativen Termen ist, dann ist
> auch [mm]\summe_{i=1}^{n}u_{n}^2[/mm] eine konvergente Reihe. Geben
> Sie ein Beispiel, das zeigt, dass das Gegenteil nicht wahr
> ist.
> Hi,
>
> also mein Ansatz war der folgende:
>
> Ich benutze das Quotientenkriterium, das für eine
> konvergente Reihe besagt, dass
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{u_{n+1}}{u_n}\right|<1[/mm]
> . Betrachtet man nun
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{u_{n+1}^2}{u_{n}^2}\right|[/mm]
> so ist auch dies nach einem der Grenzwertsätze <1, denn es
> gilt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}*b_{n}=A*B[/mm] mit [mm]a_n[/mm] und
> [mm]b_n[/mm] konvergent (mit Grenzwerten A und B.
Das kannst du so leider nicht machen.
Das Gegenbeispiel für deinen Beweis lieferst du fast schon mit: [mm] \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} [/mm] entspricht den Bedingungen der Aufgabenstellung, aber Das Quotientenkriterium liefert den Limes 1.
Du kannst weder Wurzel - noch Quotientenkriterium nehmen! Dieser liefern nämlich nur eine Implikation:
Quotientenkriterium / Wurzelkriterium erfüllt [mm] \Rightarrow [/mm] Konvergenz der Reihe,
aber die Rückrichtung, die du in deinem Beweis benutzt, muss nicht richtig sein.
Verwende das Majorantenkriterium!
Da [mm] u_{n} [/mm] eine Nullfolge ist, gibt es [mm] N\in\IN [/mm] sodass [mm] $\forall [/mm] n> N$: [mm] u_{n} [/mm] < 1.
Ab diesem [mm] N\in\IN [/mm] gilt insbesondere [mm] $\forall [/mm] n> N$: [mm] u_{n}^{2} [/mm] < [mm] u_{n}.
[/mm]
> Als Gegenbeispiel fiele mit spontan [mm]u_{n}=\bruch{1}{n}[/mm]
> ein.
Ich weiß ehrlich gesagt überhaupt nicht, welches "Gegenteil" gemeint ist.
Die Negation der gesamten Aussage? Das wäre irgendwie sinnlos, da kannst du ja einfach
[mm] u_{n} [/mm] = [mm] \frac{1}{n^2}
[/mm]
nehmen. [mm] (u_{n} [/mm] = [mm] \frac{1}{n} [/mm] geht nicht, weil dann [mm] \sum_{n=1}^{\infty}u_{n} [/mm] nicht konvergent wäre!).
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Falls nur der Teil mit "nicht-negativen Termen" gemeint ist, kannst du [mm] \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}*\frac{1}{\sqrt{n}} [/mm] nehmen. Die konvergiert nach Leibniz, aber die Quadrate bilden dann die harmonische Reihe.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:42 So 07.03.2010 | | Autor: | MontBlanc |
Hi,
danke für deine antwort. :)
mit dem Gegenteil war gemeint, dass wenn [mm] u_n [/mm] divergent ist, soll auch [mm] u_n^2 [/mm] divergent sein . das gegenbeispiel ist da 1/n weil 1/n divergent ist aber [mm] 1/n^2 [/mm] konvergiert.
lg
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