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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:06 Di 27.10.2009 | | Autor: | hienli |
Hallo zusammen,
Gegen was konvergiert [mm] \summe_{n\ge1}\bruch{1}{n\wurzel{n}} [/mm] ???
Gruss,
Domi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:15 Di 27.10.2009 | | Autor: | hienli |
Hallo!
Ich brauche den Grenzwert nicht zwingend.
Es reicht zu zeigen, dass die Reihe konvergiert.
Wie mache ich das?!
Gruss,
Domi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:17 Di 27.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Domi,
> Ich brauche den Grenzwert nicht zwingend.
gut, das erleichtert die Sache ungemein :)
> Es reicht zu zeigen, dass die Reihe konvergiert.
> Wie mache ich das?!
Kennst du das ![[]](/images/popup.gif) Integralkriterium fuer Reihen?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:25 Di 27.10.2009 | | Autor: | hienli |
Hallo Felix,
Ja, das kenne ich, aber weiss nicht genau wie anwenden. Ich bin so weit gekommen:
Für [mm] k\ge2 [/mm] schätze ich ab:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{k-1}}-\bruch{1}{\wurzel{k}}= [/mm] ... [mm] >\bruch{1}{2k\wurzel{k}} [/mm] und dann habe ich als Majorante eine Teleskopreihe:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k\wurzel{k}}<1+2*\summe_{k=2}^{\infty}(\bruch{1}{\wurzel{k-1}}-\bruch{1}{\wurzel{k}})=3
[/mm]
Ist mein Vorgehen so richtig?! Falls ja, wie weiter..??
Ich habe ja noch gar kein Integral...
Gruss,
Domi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 Di 27.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Domi!
> Ja, das kenne ich, aber weiss nicht genau wie anwenden. Ich
> bin so weit gekommen:
>
> Für [mm]k\ge2[/mm] schätze ich ab:
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{k-1}}-\bruch{1}{\wurzel{k}}=[/mm] ...
> [mm]>\bruch{1}{2k\wurzel{k}}[/mm] und dann habe ich als Majorante
> eine Teleskopreihe:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k\wurzel{k}}<1+2*\summe_{k=2}^{\infty}(\bruch{1}{\wurzel{k-1}}-\bruch{1}{\wurzel{k}})=3[/mm]
>
> Ist mein Vorgehen so richtig?! Falls ja, wie weiter..??
Wenn die Abschaetzung stimmt, bist du mit dem Majorantenkriterium fertig.
> Ich habe ja noch gar kein Integral...
Ist $f(x) = [mm] x^{-3/2}$, [/mm] so hast du die Reihe [mm] $\sum_{n=1}^\infty [/mm] f(n)$. Weiterhin ist $f : [1, [mm] \infty) \to \IR_{\ge 0}$ [/mm] monoton fallend. Damit konvergiert die Reihe nach dem Integralkriterium genau dann, wenn [mm] $\int_1^\infty [/mm] f(x) dx$ existiert. Das Integral kannst du allerdings explizit ausrechnen.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:46 Di 27.10.2009 | | Autor: | hienli |
Hallo Felix,
Dieses Integral existiert, somit ist die Aufgabe bewiesen.
Ich danke dir herzlich für deine Inputs!!
Gruss,
Domi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:01 Di 27.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
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> Ich brauche den Grenzwert nicht zwingend.
> Es reicht zu zeigen, dass die Reihe konvergiert.
> Wie mache ich das?!
Darauf hat Dir pelzig schon gestern eine Antwort gegeben:
https://matheraum.de/read?t=604589
FRED
>
> Gruss,
> Domi
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