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| Aufgabe | welche der nachfolgenden reihen sind konvergent, welche divergent. begründen sie ihre antwort!
[mm] 1/(\wurzel{n^3+n} [/mm] + [mm] \wurzel{n+1})
[/mm]
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ich habe es mit dem quotientenkriterium versucht:
[mm] ((\wurzel{n^3+n} [/mm] + [mm] \wurzel{n+1}))/(\wurzel{(n+1)^3+(n+1)} [/mm] + [mm] \wurzel{(n+1)+1})
[/mm]
aber ab hier komme ich nciht mehr weiter leider!
ich hoffe ir kann noch jmd weiterhelfen !
Liebe Grüße!!!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:44 Mo 01.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> welche der nachfolgenden reihen sind konvergent, welche
> divergent. begründen sie ihre antwort!
>
> [mm]1/(\wurzel{n^3+n}[/mm] + [mm]\wurzel{n+1})[/mm]
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> ich habe es mit dem quotientenkriterium versucht:
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> [mm]((\wurzel{n^3+n}[/mm] + [mm]\wurzel{n+1}))/(\wurzel{(n+1)^3+(n+1)}[/mm] +
> [mm]\wurzel{(n+1)+1})[/mm]
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> aber ab hier komme ich nciht mehr weiter leider!
>
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> ich hoffe ir kann noch jmd weiterhelfen !
Ich habe, ehrlich gesagt, keine Lust, da "rumzurechnen". Daher
Alternativen [mm] ($\sum:=\sum_{n=0}^\infty$):
[/mm]
1. (etwas umständlicher) Weg (Tipp: 3. bin. Formel):
[mm] $$\sum \frac{1}{\sqrt{n^3+n}+\sqrt{n+1}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}+\sum\limits_{\substack{n=0\\n \not=1}}^{\infty} \frac{\sqrt{n^3+n}-\sqrt{n+1}}{n^3+n-(n+1)}=\frac{1}{2\sqrt{2}}+\sum\limits_{\substack{n=0\\n \not=1}}^{\infty} \frac{\sqrt{n^3+n}-\sqrt{n+1}}{n^3-1}$$
[/mm]
Überlege Dir, warum [mm] $\sum\limits_{\substack{n=0\\n \not=1}}^{\infty} \frac{\sqrt{n^3+n}}{n^3-1} [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] und [mm] $\sum\limits_{\substack{n=0\\n \not=1}}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1}}{n^3-1} [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] und warum das die Konvergenz der Ausgangsreihe zeigt.
2. Weg:
[mm] $$\sum \frac{1}{\sqrt{n^3+n}+\sqrt{n+1}} \le \sum \frac{1}{\sqrt{n^3+n}} \le \sum \frac{1}{\sqrt{n^3}} [/mm] = [mm] \sum \frac{1}{n^{3/2}}$$
[/mm]
Die letzte Reihe ist (bekanntlich?) konvergent. (Falls Dir das nicht bekannt sein sollte: Es folgt z.B. aus dem Cauchyschen Verdichtungssatz.) Also haben wir eine konvergente Majorante.
Gruß,
Marcel
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