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Konvergenz: Reihe mit Logarithmus
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:03 So 20.07.2008
Autor: Bersling

Aufgabe
Untersuche, für welche a, b [mm] \in \IR [/mm] folgende Reihe konvergiert:

[mm] \summe_{i=0}^{\infty} log(\bruch{n^2+an+1}{n^2+bn+2}) [/mm]

Meine Umformung reicht bis

[mm]log(1+\bruch{a}{n}+\bruch{1}{n^2})-log(1+\bruch{b}{n}+\bruch{2}{n^2})[/mm]

Dann sollte das aber gleich

[mm]\bruch{a}{n}-\bruch{b}{n}+o(\bruch{1}{n})[/mm]

sein. Ich verstehe nicht ganz, wie ich diese Aussage treffen kann, da ich keine Gesetzte kenne für log(a+b).

Wie kommt diese Umformung also zustande?

Danke und Grüsse,
Daniel

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:53 So 20.07.2008
Autor: Merle23

Du sollst untersuchen wann diese Reihe konvergiert. Also wende doch einfach mal z.B. das Qutientenkriterium an.

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Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:15 So 20.07.2008
Autor: Bersling

Das Quotientenkriterium gibt mir hier ja 1 zurück, unabhängig von a und b solange a und b Konstanten sind, also bringt mir das nichts. Ich habe ja die Musterlösung, nur verstehe ich sie am Punkt nicht, den ich oben erwähnt habe.

Liebe Grüsse,
Daniel

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Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:26 So 20.07.2008
Autor: Somebody


> Das Quotientenkriterium gibt mir hier ja 1 zurück,
> unabhängig von a und b solange a und b Konstanten sind,
> also bringt mir das nichts. Ich habe ja die Musterlösung,
> nur verstehe ich sie am Punkt nicht, den ich oben erwähnt
> habe.

Es ist [mm] $\ln(1+x)=x+o(x)$, [/mm] für [mm] $x\rightarrow [/mm] 0$ (Anfangsstück der Reihenentwicklung von [mm] $\ln(1+x)$ [/mm] für [mm] $x\in\;]-1;+1]$). [/mm] (Man könnte diese Approximation auch nur mit dem Satz von Taylor begründen.)

Bezug
                                
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Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:53 So 20.07.2008
Autor: Bersling

Achso, danke für die Antwort! Da bin ich irgendwie nicht drauf gekommen, dass dies eine Reihenentwicklung sein könnte :-)

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