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| Aufgabe | Es seinen [mm] (a_{n}) [/mm] , [mm] (b_{n}) [/mm] , [mm] (c_{n}) [/mm] reelle Zahlenfolgen mit den folgenden Eigenschaften:
(a) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} =\limes_{n\rightarrow\infty} b_{n} [/mm] = x
(b) [mm] a_{n} \le c_{n} \le b_{n} [/mm] für alle natürlichen n
Zeigen Sie, dass auch [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} c_{n} [/mm] = x gilt |
Hallo zusammen, weiß leider nach stunden rumüberlegen überhaupt nicht, wie ich das zeigen soll. dass es gilt, ist ja eigentlich offensichtlich, aber das mathematisch beweisen?!?!
ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
danke schonmal im voraus.
gruß michael
ich habe diese frage in keinem anderen forum gestellt
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Hallo Michael,
bei dieser Aufgabe kannst du wunderbar die [mm] $\varepsilon$-Definition [/mm] des GW einer Folge benutzen:
Mit [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=x$ [/mm] gibt's zu beliebigem [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein [mm] $N_1\in\IN$, [/mm] so dass für alle [mm] $n>N_1$ [/mm] gilt: [mm] $|a_n-x|<\varepsilon$ [/mm]
Mit [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}b_n=x$ [/mm] gibt's analog zu beliebigem [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein [mm] $N_2\in\IN$, [/mm] so dass für alle [mm] $n>N_1$ [/mm] gilt: [mm] $|a_n-x|<\varepsilon$
[/mm]
Also ist für alle [mm] $n>\max\{N_1,N_2\}$ [/mm] .....
Löse mal die Beträge auf.
Was bedeutet [mm] $|a_n-x|<\varepsilon$ [/mm] ?
Doch [mm] $a_n$ [/mm] liegt näher an $x$ als [mm] $\varepsilon$, [/mm] dh. also [mm] $x-\varepsilon [/mm] \ < \ [mm] a_n [/mm] \ < \ [mm] x-\varepsilon$
[/mm]
Nun quetsche mal den Rest dazwischen und bastel es zuende 
LG
schachuzipus
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