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Hab folgendes Problem:
[mm] (a_{n}), n\in\IN [/mm] eine Folge nichtnegativer Zahlen mit konvergenter Reihe [mm] \summe_{n=0}^{ \infty} a_{n}, [/mm] muss zeigen, dass auch die Reihe
[mm] \summe_{n=0}^{ \infty} \wurzel{a_{n}* a_{n+1}, } [/mm] konvergiert
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Hallo!
Übrigens, eigene Ideen sind erwünscht  !
Also, wenn ich hier nichts übersehe, ist das nicht schwer.
Die Reihe über die [mm] a_n [/mm] ist konvergent.
Also ist die Reihe über [mm] a_{n+1} [/mm] auch konvergent.
Damit auch das Produkt.
Da alle Folgeglieder nicht-negativ sind, kann auch die Wurzel gezogen werden, was an der Konvergenz nichts ändert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:43 Do 20.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Wurzelpi,
> Da alle Folgeglieder nicht-negativ sind, kann auch die
> Wurzel gezogen werden, was an der Konvergenz nichts
> ändert.
Das stimmt i.A. nicht. Denn z.B.:
[mm] $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ [/mm] konvergiert, jedoch divergiert [mm]\sum_{n=1}^{\infty}\wurzel{\frac{1}{n^2}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}[/mm] bestimmt gegen [mm] $\infty$.
[/mm]
Oder meinst du das anders?
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:19 Fr 21.01.2005 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo Marcel!
Da hast Du natürlich Recht!
Aber die harmonische Reihe ist ja nicht konvergent, d.h. somit wäre die Reihe über die [mm] a_n [/mm] nicht konvergent, was ein Widerspruch zur Voraussetzung wäre.
Was ich ja brauche, ist eine konvergente Reihe über die [mm] a_n, [/mm] damit ist auch die Reige über die [mm] a_{n+1} [/mm] konvergent und somit auch das Produkt.
Daher glaube ich, dass Dein Gegenbeispiel meine These nicht widerlegt, sondern noch eher unterstützt.
Aber ich lasse mich gerne eiens besseren belehren!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:56 Fr 21.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hi Marcel,
> Hallo Marcel!
>
> Da hast Du natürlich Recht!
> Aber die harmonische Reihe ist ja nicht konvergent, d.h.
> somit wäre die Reihe über die [mm]a_n[/mm] nicht konvergent, was ein
> Widerspruch zur Voraussetzung wäre.
> Was ich ja brauche, ist eine konvergente Reihe über die
> [mm]a_n,[/mm] damit ist auch die Reige über die [mm]a_{n+1}[/mm] konvergent
> und somit auch das Produkt.
Hm, bisher verstehe ich das so:
Du sagst (alle [mm] $a_n \ge [/mm] 0$ nach Voraussetzung):
Wegen [mm]\sum_{n=0}^\infty a_n[/mm] kgt. [mm]\Rightarrow[/mm]
[mm]\sum_{n=0}^\infty\left\{a_n*a_{n+1}\right\}[/mm] konvergent. Das sehe ich auch schnell mit dem Majorantenkriterium ein, weil ja wegen [mm]\sum_{n=0}^\infty a_n[/mm] kgt. folgt, dass [mm] $(a_n)_{n \in \IN_\,0}$ [/mm] eine Nullfolge ist und daher ein [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] so existiert, dass [mm] $a_n \le [/mm] 1$ für alle $n [mm] \ge n_0$. [/mm] Okay.
Dass nun in diesem Fall auch:
[mm]\sum_{n=0}^\infty\left\{\wurzel{a_n*a_{n+1}}\right\}[/mm]
konvergiert, finde ich nicht so klar. Ein Gegenbeispiel läßt sich natürlich nicht finden, da ich ja einen Beweis für die Konvergenz der letzten Reihe (also [mm]\sum_{n=0}^\infty\left\{\wurzel{a_n*a_{n+1}}\right\}[/mm]) geliefert habe.
Aber war das denn nicht deine Behauptung:
Sind alle [mm] $b_n \ge [/mm] 0$ und konvergiert [mm]\sum_{n=0}^\infty b_n[/mm], so konvergiert auch:
[mm]\sum_{n=0}^\infty\wurzel{b_n}[/mm]?
(Dann wäre aber [mm] $(b_n)_{n \in \IN_{\,0}}$ [/mm] mit [mm] $b_n:=\frac{1}{(n+1)^2}$ [/mm] ein Gegenbeispiel zu der Behauptung.)
(So habe ich deine Begründung:
> Da alle Folgeglieder nicht-negativ sind, kann auch die
> Wurzel gezogen werden, was an der Konvergenz nichts
> ändert.)
interpretiert.
Falls nicht, dann reden wir irgendwie aneinander vorbei; ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") .
Hm, kannst du das, was du meinst, mal etwas formaler fassen? Ich glaube, ich stehe nämlich gerade total auf'm Schlauch. ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
Ansonsten: Auch nicht schlimm. Vielleicht geht mir ja bald ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]") ein Licht auf.
Viele Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:23 Fr 21.01.2005 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo Marcel!
Leider habe ich im Moment wenig Zeit, das formaler aufzuschreiben!
Nächste Woche steht Klausur an!
Aber ich versuche es nochmal, vielleicht habe ich mich zuerst auch unverständlich ausgedrückt.
> Hm, bisher verstehe ich das so:
> Du sagst (alle [mm]a_n \ge 0[/mm] nach Voraussetzung):
> Wegen [mm]\sum_{n=0}^\infty a_n[/mm] kgt. [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]\sum_{n=0}^\infty\left\{a_n*a_{n+1}\right\}[/mm] konvergent.
> Das sehe ich auch schnell mit dem Majorantenkriterium ein,
> weil ja wegen [mm]\sum_{n=0}^\infty a_n[/mm] kgt. folgt, dass
> [mm](a_n)_{n \in \IN_\,0}[/mm] eine Nullfolge ist und daher ein [mm]n_0 \in \IN[/mm]
> so existiert, dass [mm]a_n \le 1[/mm] für alle [mm]n \ge n_0[/mm]. Okay.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Bis hierhin sind wir uns dann einig!
Grundsätzlich kann man natürlich nicht folgern, dass für eine konvergente Reihe über [mm] a_n [/mm] auch die Reihe über die [mm]\wurzel{a_n}[/mm] konvergent ist.
Ein Gegenbeispiel dazu hast Du ja schon gebracht mit [mm] 1/n^2.
[/mm]
> Dass nun in diesem Fall auch:
> [mm]\sum_{n=0}^\infty\left\{\wurzel{a_n*a_{n+1}}\right\}[/mm]
> konvergiert, finde ich nicht so klar. Ein Gegenbeispiel
> läßt sich natürlich nicht finden, da ich ja einen Beweis
> für die Konvergenz der letzten Reihe (also
> [mm]\sum_{n=0}^\infty\left\{\wurzel{a_n*a_{n+1}}\right\}[/mm])
> geliefert habe.
Das liegt ja genau daran, dass sowohl die Reihe über die [mm] a_n [/mm] als auch die Reihe über die [mm] a_{n+1} [/mm] konvergent ist, also auch das Produkt.
Nur dann kann man auch die Wurzel ziehen und die Reihe bleibt konvergent.
Formal hätte ich das genau wie Du gemacht.
Ich hoffe, jetzt ist es klar, was ich gemeint habe!
> Aber war das denn nicht deine Behauptung:
> Sind alle [mm]b_n \ge 0[/mm] und konvergiert [mm]\sum_{n=0}^\infty b_n[/mm],
> so konvergiert auch:
> [mm]\sum_{n=0}^\infty\wurzel{b_n}[/mm]?
> (Dann wäre aber [mm](b_n)_{n \in \IN_{\,0}}[/mm] mit
> [mm]b_n:=\frac{1}{(n+1)^2}[/mm] ein Gegenbeispiel zu der
> Behauptung.)
Nein, zumindest habe ich es so nicht gemeint. Falls es aber so klang, SORRY!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:53 Fr 21.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Marcel,
> Hallo Marcel!
>
> Leider habe ich im Moment wenig Zeit, das formaler
> aufzuschreiben!
> Nächste Woche steht Klausur an!
Das ist natürlich das wichtigste. Kein Problem! 
> Aber ich versuche es nochmal, vielleicht habe ich mich
> zuerst auch unverständlich ausgedrückt.
>
>
> > Hm, bisher verstehe ich das so:
> > Du sagst (alle [mm]a_n \ge 0[/mm] nach Voraussetzung):
> > Wegen [mm]\sum_{n=0}^\infty a_n[/mm] kgt. [mm]\Rightarrow[/mm]
> > [mm]\sum_{n=0}^\infty\left\{a_n*a_{n+1}\right\}[/mm] konvergent.
>
> > Das sehe ich auch schnell mit dem Majorantenkriterium
> ein,
> > weil ja wegen [mm]\sum_{n=0}^\infty a_n[/mm] kgt. folgt, dass
> > [mm](a_n)_{n \in \IN_\,0}[/mm] eine Nullfolge ist und daher ein
> [mm]n_0 \in \IN[/mm]
> > so existiert, dass [mm]a_n \le 1[/mm] für alle [mm]n \ge n_0[/mm].
Okay.
>
>
>
> Bis hierhin sind wir uns dann einig!
> Grundsätzlich kann man natürlich nicht folgern, dass für
> eine konvergente Reihe über [mm]a_n[/mm] auch die Reihe über die
> [mm][mm]\wurzel{a_n}[/mm][/mm] konvergent ist.
> Ein Gegenbeispiel dazu hast Du ja schon gebracht mit [mm]1/n^2.
[/mm]
Ja, genau.
> > Dass nun in diesem Fall auch:
> > [mm]\sum_{n=0}^\infty\left\{\wurzel{a_n*a_{n+1}}\right\}[/mm]
> > konvergiert, finde ich nicht so klar. Ein Gegenbeispiel
> > läßt sich natürlich nicht finden, da ich ja einen Beweis
> > für die Konvergenz der letzten Reihe (also
> > [mm]\sum_{n=0}^\infty\left\{\wurzel{a_n*a_{n+1}}\right\}[/mm])
> > geliefert habe.
> Das liegt ja genau daran, dass sowohl die Reihe über die [mm]a_n[/mm] als
> auch die Reihe über die [mm]a_{n+1}[/mm] konvergent ist, also auch das
> Produkt.
> Nur dann kann man auch die Wurzel ziehen und die Reihe bleibt konvergent.
> Formal hätte ich das genau wie Du gemacht.
> Ich hoffe, jetzt ist es klar, was ich gemeint habe!
Ah, okay. Dann ist dein Beweis (in Worten) im Prinzip der gleiche wie meiner, nur, dass du das geometrische Mittel nicht mehr explizit erwähnt hast, sondern es für klar hieltest, dass du darauf hinaus willst .
> > Aber war das denn nicht deine Behauptung:
> > Sind alle [mm]b_n \ge 0[/mm] und konvergiert [mm]\sum_{n=0}^\infty b_n[/mm],
> > so konvergiert auch:
> >[mm]\sum_{n=0}^\infty\wurzel{b_n}[/mm]?
> > (Dann wäre aber [mm](b_n)_{n \in \IN_{\,0}}[/mm] mit
> > [mm]b_n:=\frac{1}{(n+1)^2}[/mm] ein Gegenbeispiel zu der
> > Behauptung.)
> Nein, zumindest habe ich es so nicht gemeint. Falls es aber so klang, SORRY!
Okay. Dann habe ich das nur falsch verstanden. Mir ist es jetzt jedenfalls klar, wie du das gemeint hast. Danke!
Viele Grüße,
Marcel
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![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]"){kind=small}
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