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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:26 Mo 29.11.2004 | | Autor: | barunka |
Hallo, kann mir bitte jemand helfen mit folgender Aufgabe?Ich soll die folgende Reihe auf Konvergenz untersuchen: [mm] \summe_{n=0}^{ \infty}\bruch{1+2(-1)^{n}}{2^{n-1}}.
[/mm]
Ich habe versucht es über geometrische Reihe zu lösen,aber ehrlich gesagt verstehe ich diese Sache mit Konvergenz nicht ganz genau.Kann mir vielleich jemand ein gutes Buch empfehlen über die Konvergenz (wo gut erklärt sind z.B. Majoranten Kriterium, Quotientenkriterium, Wurzelkriterium, usw.)
Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:21 Mo 29.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Barunka,
> Hallo, kann mir bitte jemand helfen mit folgender
> Aufgabe?Ich soll die folgende Reihe auf Konvergenz
> untersuchen: [mm]\summe_{n=0}^{ \infty}\bruch{1+2(-1)^{n}}{2^{n-1}}.
[/mm]
>
> Ich habe versucht es über geometrische Reihe zu lösen,aber
> ehrlich gesagt verstehe ich diese Sache mit Konvergenz
> nicht ganz genau.
Naja, setzen wir hier:
[mm]a_v:=\begin{cases} \frac{-1}{2^{v-1}}, & \mbox{für } v \mbox{ ungerade} \\ \frac{3}{2^{v-1}}, & \mbox{für } v \mbox{ gerade} \end{cases}[/mm]
so gilt:
[mm]\summe_{n=0}^{ \infty}\bruch{1+2(-1)^{n}}{2^{n-1}}=\summe_{v=0}^\infty a_v
[/mm]
Weiter gilt:
[mm]|a_v| \le \frac{3}{2^{v-1}}[/mm] [mm] $\forall [/mm] v [mm] \in \IN \cup \{0\}$.
[/mm]
Wenn du nun nachweisen kannst, dass [m]\summe_{v=0}^\infty \frac{3}{2^{v-1}}[/m] konvergiert, so folgt die Behauptung wegen dem Majorantenkriterium (Satz 6.15) und wegen Satz 6.14 in diesem ![[]](/images/popup.gif) Skript.
Viele Grüße,
Marcel
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