Konvergenz < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Untersuchen Sie die Folge [mm] a_n [/mm] auf Konvergenz und bestimmen Sie ggf. den Grenzwert: [mm] a_n=\bruch{n^{2}-2n-1}{1000n-5} [/mm] |
Wunderschönen Guten Tag,
ich habe sonst Division durch n gemacht und konnte somit Nullfolgen aufstellen
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^{2}-2n-1}{1000n-5}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1-\bruch{2}{n}-\bruch{1}{n^{2}}}{\bruch{1000}{n}+\bruch{5}{n^{2}}}
[/mm]
Im Zähler steht die 1 und zwei Nullfolgen, also 1
aber im Nenner stehen ja auch zwei Nullfolgen, somit 0, Division durch Null ist nicht definiert, wie kann ich das Problem lösen, wenn die Exponenten von n verschieden sind?
Ich danke schon jetzt für alle Hinweise Zwinkerlippe
|
|
| |
|
Hallo Zwinkerlippe!
Grundsätzlich kannst du Dir merken, wenn der Zählergrad echt größer ist als der Nennergrad, strebt der Bruch gegen [mm] $\pm\infty$ [/mm] .
Du kannst Dir aber auch merken, dass für den unbestimmten Ausdruck [mm] "$\bruch{a}{0}$" [/mm] (mit $a \ [mm] \not= [/mm] \ 0$) gilt: [mm] $\left|\bruch{a}{0}\right| [/mm] \ = \ [mm] \infty$ [/mm] .
3. Variante: kürze in dem Bruch nur durch $n_$ und ziehe ein $n_$ vor den Bruch:
[mm] $\bruch{n^{2}-2n-1}{1000n-5} [/mm] \ = \ [mm] n*\bruch{n-2-\bruch{1}{n}}{1000n-5} [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] n*\bruch{1-\bruch{2}{n}-\bruch{1}{n^2}}{1000-\bruch{5}{n}}$
[/mm]
Der Bruch strebt nun gegen [mm] $\bruch{1}{1000}$ [/mm] . Durch den Faktor $n_$ geht der Gesamtausdruck aber nun gegen [mm] $+\infty$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
Besten Dank an Roadrunner, Zwinkerlippe
|
|
|
|
