Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:26 Fr 01.12.2006 | | Autor: | Pacapear |
Guten morgen zusammen!
Ich muss zu diesem Bruch hier den Limes bestimmen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2^{2n+1}}{(n+1)*z}
[/mm]
Ich nehme mal an, das z aus den reellen Zahlen ist, auf unserem Aufgabeblatt steht da nix zu.
Ich hab leider keine idee, wie ich diese Aufgabe angehen könnte. Wäre sehr dankbar für einen Tipp.
LG, Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:57 Fr 01.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Nadine!
Wenn $z_$ also unabhängig ist von $n_$ kannst Du schreiben:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2^{2n+1}}{(n+1)*z} \ = \ \bruch{1}{z}*\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2^{2n+1}}{n+1}[/mm]
Und für den Bruch kannst Du  |de l'Hospital anwenden.
Oder ist das eine Teilaufgabe aus einer Reihenaufgabe? Dann würde ich hier eher mit dem Wurzel- oder Quotientenkriterium vorgehen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:27 Sa 02.12.2006 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Loddar.
Vielen vielen Dank für die schnelle Antwort.
Ja, der Bruch ist quasi eine Teilaufgabe aus einer Reihenaufgabe.
Die Aufgabe lautet wie folgt:
> Man bestimme die Konvergenzradien folgender Potenzreihe: [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{n!}{2^{n^2}}*z^n
[/mm]
Ich habe die Reihe zunächst einmal aufgeschrieben:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{n!}{2^{n^2}}*z^n [/mm] = [mm] \bruch{0!}{2^0}*z^0+\bruch{1!}{2^1}*z^1+\ldots+\underbrace{\bruch{n!}{2^{n^2}}*z^n}_{=a_n}+\underbrace{\bruch{(n+1)!}{2^{(n+1)^2}}*z^{n+1}}_{=a_{n+1}}+\ldots
[/mm]
So, die Formel für den Konvergenzradius ist ja: [mm] r=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{a_{n+1}}|
[/mm]
Nun hab ich einfach [mm] a_n [/mm] und [mm] a_{n+1} [/mm] eingesetzt und umgeformt:
[mm] r=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{a_{n+1}}|
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{\bruch{n!}{2^{n^2}}*z^n}{\bruch{(n+1)!}{2^{(n+1)^2}}*z^{n+1}}|
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{\bruch{n!*z^n}{2^{n^2}}}{\bruch{(n+1)!*z^{n+1}}{2^{(n+1)^2}}}|
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{n!*z^n*2^{(n+1}^2}{2^{n^2}*(n+1)!*z^{n+1}}|
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{n!*z^n*2^{(n+1}^2}{2^{n^2}*n!*(n+1)*z^{n+1}}|
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{z^n*2^{(n+1}^2}{2^{n^2}*(n+1)*z^{n+1}}|
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{z^n*2^{(n+1)^2}}{2^{n^2}*(n+1)*z^n*z}|
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{2^{(n+1)^2}}{2^{n^2}*(n+1)*z}|
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{2^{n^2}*2^{2n}*2}{2^{n^2}*(n+1)*z}|
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{2^{2n}*2}{(n+1)*z}|
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{2^{2n+1}}{(n+1)*z}|
[/mm]
Hmm, hier würd ich nun aber nicht mehr das Quotientenkriterium anwenden, das nehm ich doch nur, um zu prüfen, ob eine Reihe konvergent ist. Das ist doch hier aber garnicht der Fall, oder? Dann vielleicht doch l'Hopital?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:11 Sa 02.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Nadine!
Zum einen musst du weder beim Quotientenkriterium noch bei der Ermittlung des Konvergenzradius' die Variable [mm] $z^n$ [/mm] der Potenzreihe berücksichtigen, sondern lediglich die Koeffizientenfolge [mm] $a_n$ [/mm] bei [mm] $\summe_{n=1}^{\infty}a_n*z^n$ [/mm] .
Damit verbleibt für den Konvergenzradius am Ende der Zusammenfassungen:
$R \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2^{2n+1}}{n+1} [/mm] \ = \ [mm] 2*\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{4^n}{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \infty$
[/mm]
Dass dieser Grenzwert ins Unendliche wächst, kannst Du nun entweder zeigen, dass dieser Ausdruck über alle Grenzen wächst.
Oder aber wir oben bereits angedeutet mittels de l'Hospital ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 So 03.12.2006 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Loddar.
Warum kann ich denn das [mm] z^n [/mm] einfach ignorieren? Es steht doch auch in der Summe und ist vom Index n abhängig?
Zum Bruch:
Ich hab nun mal versucht, den Limes über l'Hôpital zu bestimmen (im Moment ist das z noch drin):
[mm] r=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{2^{2n+1}}{(n+1)*z}|
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{2^{2n}*2}{(n+1)*z}|
[/mm]
[mm] =\bruch{2}{z}*\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{2^{2n}}{n+1}|
[/mm]
[mm] =\bruch{2}{z}*\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{4^n}{n+1}|
[/mm]
Für [mm] n\to\infty [/mm] geht ja nun [mm] 2^{2n} [/mm] gegen Unendlich und auch n+1. Also kann ich ja nun den l'Hôpital anwenden:
[mm] =\bruch{2}{z}*\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{4^n}{n}|
[/mm]
Wieder gehen Zähler und Nenner für [mm] n\to\infty [/mm] nach Unendlich, also nochmal l'Hôpital:
[mm] =\bruch{2}{z}*\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{4^n}{1}|
[/mm]
[mm] =\bruch{2}{z}*\limes_{n\rightarrow\infty}|4^n|
[/mm]
[mm] =\bruch{2}{z}*\infty
[/mm]
[mm] =\infty
[/mm]
Ist das die Lösung, und der Konvergenzradius ist Unendlich?
Ach ja, noch eine Frage: Ab wo kann ich denn dann das z ignorieren und mit welcher Begründung, und ab wann kann ich die Betragsstriche eigentlich weglassen?
LG, Nadine
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Potenzreihen![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Hier hast Du in Zähler und Nenner aber nicht korrekt abgeleitet:
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Yo!
