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| Aufgabe | Es sei N eine (große) natürliche Zahl. Betrachtet wird die Folge: [mm] b_{n}=\wurzel(n+\wurzel{n}) [/mm] - [mm] \wurzel{n}
[/mm]
b) Zeigen Sie, dass [mm] b_{n}, n\ge1 [/mm] monoton steigend gegen
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] konvergiert. - |
Hallo,
beschäftige mich scon wirklich ewig mit dieser Aufgabe:
Ich hab versucht zu zeigen, dass [mm] b_{n+1} [/mm] - [mm] b_{n} \ge [/mm] 0 ist, dann hab ich versucht zu zeigen, dass der Quotient der beiden grösser 1 sein muss.
Aber in der Umsetzumg komme ich einfach nicht auf ein brauchbares Ergebnis.
Ähnlich geht es mir dann beim limes der Folge oder kann ich die Konvergenz auch ohne limes zeigen?
Bitte um Hilfe -> mein Kopf raucht schon gewaltig!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:05 Fr 17.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo vera
Wenn du [mm] b_n=\wurzel{n}*\left(\wurzel{1+\bruch{1}{\wurzel{n}}}-1\right)
[/mm]
schreibst, und dann den Quotiten bildest kriegst du leicht das monotone Wachstum, und mit [mm] \wurzel{1+\bruch{1}{\wurzel{n}}}<1+\bruch{1}{2*\wurzel{n}} [/mm] auch die Beschränktheit durch 1/2 und die Konvergenz.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:18 Fr 17.11.2006 | | Autor: | verachris3 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Leduart,
schon einmal eine herzlichen Dank für die Mühen. Leider fällt es mir schwer deinen Tipp zu interpretieren weil deine Info nicht in Formeln gekommen ist sondern in der Form:
(\wurzel{1+\bruch{1}{\wurzel{n}<1+\br usw...
Wäre super wenn du das nochmal nachbessern könntest!
Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:38 Fr 17.11.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo,
ich habe das editiert und hoffe es stimmt so 
Liebe Grüße
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:47 Fr 17.11.2006 | | Autor: | verachris3 |
Ganz Herzlichen Dank!!
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hallo, hab zufällig die gleiche aufgabe zu lösen.hab aber immernoch nicht verstanden was uns die umformung im zusammenhang mit der monotonie bringt!
wär nettwenn das jemand nochmal erläutert! danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 Fr 17.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
In der Form nimmst du den Quotienten von [mm] a_{n+1}/a_n [/mm] und schätzest ihn ab, d.h. du zeigst dass er >1 ist.
Gruss leduart
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Hallo,
ich habe jetzt wieder Zeit gehabt mich mit der Aufgabe zu beschäftigen:
Mein Problem ist immer noch die Durchführung der Abschätzung.
Wenn ich versuche zu zeigen, dass der Quotient grösser 1 ist (oder alternativ die Differenz grösser null) habe ich versucht die Ugleichung legalerweise auf einer Seite zu vergrössern oder zu verkleinern. Das Problem ist aber das die Differenz der beiden Folgenglieder so klein ist, dass dann die Ungleichung nicht mehr stimmt.
Quadrieren der Ungleichung verschlimmert diesen Effekt nur noch weiter.
Deswegen bin ich mittlerweile ziemlich ratlos was man da noch versuchen kann!
Vielen Dank für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:09 Sa 18.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo vera
Quotient [mm] a_{n+1}/a_n [/mm] bilden. die ausgeklammerten Faktoren stehen lassen. 1/(n+1)<1/n damit den Nenner verkleinern, Bruch vergrößern! Dann kürzen und n+1>n benutzen.
(natürlich gelten die wurzeln aus den Ungl. auch!)
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:22 Sa 18.11.2006 | | Autor: | verachris3 |
Wenn ich im Nenner [mm] \bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm] auf [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}} [/mm] setze vergrößere ich doch den Ausdruck insgesamt, oder? Wegen dem größer gleich ist das aber nicht erlaubt.
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Wenn ich im Nenner $ [mm] \bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm] $ auf $ [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}} [/mm] $ setze vergrößere ich doch den Ausdruck insgesamt, oder? Wegen dem größer gleich ist das aber nicht erlaubt.
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Hallo,
ich habe jetzt wieder Zeit gehabt mich mit der Aufgabe zu beschäftigen:
Mein Problem ist immer noch die Durchführung der Abschätzung.
Wenn ich versuche zu zeigen, dass der Quotient grösser 1 ist (oder alternativ die Differenz grösser null) habe ich versucht die Ugleichung legalerweise auf einer Seite zu vergrössern oder zu verkleinern. Das Problem ist aber das die Differenz der beiden Folgenglieder so klein ist, dass dann die Ungleichung nicht mehr stimmt.
Quadrieren der Ungleichung verschlimmert diesen Effekt nur noch weiter.
Deswegen bin ich mittlerweile ziemlich ratlos was man da noch versuchen kann!
Vielen Dank für eure Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Mo 20.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:32 Sa 18.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Tut mir leid, ich hatte nen Dreher in meiner Abschätzung, mein Hinweis war falsch. Ich denk nochmal nach.
Gruss leduart
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