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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:58 Mi 15.11.2006 | | Autor: | DominikW |
| Aufgabe | | Von der Folge [mm] {(x_{n})}_{n\in\IN} [/mm] ist bekannt, dass die Teilfolgen [mm] {(x_{2n})}_{n\in\IN}, {(x_{2n+1})}_{n\in\IN} [/mm] und [mm] {(x_{3n})}_{n\in\IN} [/mm] konvergieren. Konvergiert dann auch [mm] {(x_{n})}_{n\in\IN} [/mm] selbst? (Beweis oder Gegenbeispiel) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Habe mir das Beispiel durchdacht und bin zu keinem wirklichen Ergebnis gekommen, denn die Teilfolge [mm] x_{3n} [/mm] ist sowohl in [mm] x_{2n} [/mm] als auch in [mm] x_{2n+1} [/mm] enthalten. Dadurch müsste die Gesamtfolge auch konvergent sein. Meine Frage wäre jetzt, wie ich den Beweis formell zeigen kann.
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> Von der Folge [mm]{(x_{n})}_{n\in\IN}[/mm] ist bekannt, dass die
> Teilfolgen [mm]{(x_{2n})}_{n\in\IN}, {(x_{2n+1})}_{n\in\IN}[/mm] und
> [mm]{(x_{3n})}_{n\in\IN}[/mm] konvergieren. Konvergiert dann auch
> [mm]{(x_{n})}_{n\in\IN}[/mm] selbst? (Beweis oder Gegenbeispiel)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Habe mir das Beispiel durchdacht und bin zu keinem
> wirklichen Ergebnis gekommen,
Hallo,
ich finde schon, daß Du zu einem wirklichen Ergebnis gekommen bist!
denn die Teilfolge [mm]x_{3n}[/mm] ist
> sowohl in [mm]x_{2n}[/mm] als auch in [mm]x_{2n+1}[/mm] enthalten.
Ja. Und weil das so ist, kannst Du mithilfe der entsprechenden Teilfolgen der Teilfolgen zeigen, daß die obigen drei Teilfolgen gegen denselben Wert konvergieren.
Betrachte hierfür z.B. [mm] (x_{6n})
[/mm]
und [mm] (x_{3(2n+1)}).
[/mm]
Der Grenzwert sei G.
Du kannst zeigen, daß es für [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein N gibt, so daß
[mm] |x_{2n}-G|< \varepsilon [/mm] und [mm] |x_{2n+1}-G|< \varepsilon [/mm] und [mm] |x_{3n}-G|< \varepsilon [/mm] für alle n>N.
Als nächstes guckst Du [mm] |x_{n}-G| [/mm] an, und überlegst Dir, ab welchem Folgenglied es spätestens im [mm] \varepsilon-Bereich [/mm] liegt.
Gruß v. Angela
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