Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:57 Mi 30.07.2014 | | Autor: | julsch |
Hallo zusammen,
ich muss die Konvergenz einer Reihe für T [mm] \to \infty [/mm] zeigen. Meine Reihe besteht auch Kovarianzen [mm] Cov(x,y)=\gamma_{j} \in [/mm] [-1;1]:
[mm] \summe_{j=1}^{T-1} \bruch{j}{T} \gamma_{j}
[/mm]
Ich habe mir mal überlegt, wie die Reihe aussieht, wenn man die einzelnen Summanden aufschreibt:
[mm] \summe_{j=1}^{T-1} \bruch{j}{T} \gamma_{j}= \bruch{1}{T} \gamma_{1}+\bruch{2}{T} \gamma_{2}+ \ldots [/mm] + [mm] \bruch{T-2}{T} \gamma_{T-2} [/mm] + [mm] \bruch{T-1}{T} \gamma_{T-1}
[/mm]
Die ersten Summanden würden gegen 0 konvergieren, jedoch konvergieren die hinteren Summanden gegen die Kovarianzen. Diese liegen jedoch -1 und 1. Kann ich so irgendwie schlussfolgern, dass die Reihe gegen 0 konvergiert?
Liebe Grüße,
julsch
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Hiho,
ohne weitere Bedingungen wirst du darüber keine Aussage treffen können.
Beispielsweise würde für [mm] $\gamma_j \equiv [/mm] 1$ gelten:
$ [mm] \summe_{j=1}^{T-1} \bruch{j}{T} \gamma_{j} [/mm] = [mm] \bruch{1}{T}\summe_{j=1}^{T-1} [/mm] j = [mm] \bruch{1}{T} \bruch{T(T-1)}{2} [/mm] = [mm] \bruch{T-1}{2} \to \infty$
[/mm]
Für [mm] $\gamma_j \equiv [/mm] 0$ hingegen gilt offensichtlich:
$ [mm] \summe_{j=1}^{T-1} \bruch{j}{T} \gamma_{j} [/mm] = 0 [mm] \to [/mm] 0$
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 Mo 04.08.2014 | | Autor: | julsch |
Hallo Gono,
danke für die Antwort. Ich habe mir nochmal die Bedingungen für [mm] \gamma_j [/mm] angesehen. Ich weiß, dass [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \gamma_i [/mm] existiert, d.h. die Summe ist endlich (oder irre ich?).
Wenn die unendliche Summe endlich ist, muss die Anzahl der Summanden endlich sein, d.h. für ein N [mm] \in \IN [/mm] gilt für i > N [mm] \gamma_i [/mm] =0.
Kann ich nun darauf schließen, da ab einem N [mm] \in \IN [/mm] die Summanden den Wert 0 annehmen, dass die Summe [mm] \summe_{j=1}^{T-1} \bruch{j}{T} \gamma_j [/mm] für T [mm] \to \infty [/mm] gegen 0 konvergiert?
Mir fehlt so die richtige Begründung noch. Es sieht für mich im ersten Moment aber logisch aus.
Grüße,
julsch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:20 Mo 04.08.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Gono,
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> danke für die Antwort. Ich habe mir nochmal die
> Bedingungen für [mm]\gamma_j[/mm] angesehen. Ich weiß, dass
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \gamma_i[/mm] existiert, d.h. die Summe
> ist endlich (oder irre ich?).
Ja, Du irrst.
Obiges bedeutet: die Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \gamma_i [/mm] ist konvergent.
> Wenn die unendliche Summe endlich ist, muss die Anzahl der
> Summanden endlich sein, d.h. für ein N [mm]\in \IN[/mm] gilt für
> i > N [mm]\gamma_i[/mm] =0.
Nein. So ist das nicht gemeint
FRED
> Kann ich nun darauf schließen, da ab einem N [mm]\in \IN[/mm] die
> Summanden den Wert 0 annehmen, dass die Summe
> [mm]\summe_{j=1}^{T-1} \bruch{j}{T} \gamma_j[/mm] für T [mm]\to \infty[/mm]
> gegen 0 konvergiert?
> Mir fehlt so die richtige Begründung noch. Es sieht für
> mich im ersten Moment aber logisch aus.
>
> Grüße,
> julsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Mo 04.08.2014 | | Autor: | julsch |
Okay danke.
Kann ich denn eine Aussage über die Konvergenz der Summe treffen, wenn ich weiß, dass die [mm] \gamma_i \in [/mm] [0,1] sind für alle i und die Summe über diese [mm] \gamma_i [/mm] konvergiert?
Eigentlich müsste die Summe [mm] \summe_{i=1}^{T-1} \bruch{i}{T} \gamma_i [/mm] ja ebenfalls konvergieren, da die [mm] \gamma_i [/mm] lediglich mit einem Faktor kleiner 1 multipliziert werden. Oder Irre ich wieder? Vermutlich kann ich dann aber keinen konkreten Grenzwert angeben, sondern einfach die unendliche Summe nehmen oder?
Gruß,
julsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 Mo 04.08.2014 | | Autor: | hippias |
> Okay danke.
> Kann ich denn eine Aussage über die Konvergenz der Summe
> treffen, wenn ich weiß, dass die [mm]\gamma_i \in[/mm] [0,1] sind
> für alle i und die Summe über diese [mm]\gamma_i[/mm]
> konvergiert?
>
> Eigentlich müsste die Summe [mm]\summe_{i=1}^{T-1} \bruch{i}{T} \gamma_i[/mm]
> ja ebenfalls konvergieren, da die [mm]\gamma_i[/mm] lediglich mit
> einem Faktor kleiner 1 multipliziert werden. Oder Irre ich
> wieder?
Nein. Das nennt man das Majorantenkriterium.
> Vermutlich kann ich dann aber keinen konkreten
> Grenzwert angeben,
Jedenfalls nicht ohne naehere Angaben zu den [mm] $\gamma_{i}$.
[/mm]
> sondern einfach die unendliche Summe
> nehmen oder?
Verstehe ich nicht.
>
> Gruß,
> julsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:07 Mo 04.08.2014 | | Autor: | hippias |
Das Argument mit der Majorante ist falsch: Natuerlich gilt die Abschaetzung [mm] $\sum_{j=1}^{T-1} \frac{j}{T}\gamma_{j}\leq \sum_{j=0}^{T-1} \gamma_{j}$, [/mm] wobei die rechte Seite nach Voraussetzung konvergiert. Aber die Summanden haengen von $2$ statt einem Laufindex ab; genauer sei [mm] $\delta_{j,n}:= \frac{j}{n}\gamma_{j}$. [/mm] Dann ist die Folge der Partialsummen [mm] $\delta_{n}:= \sum_{j=1}^{n-1} \delta_{j,n}$ [/mm] und hier nuetzt das Argument nichts bzw. die Folge [mm] \delta_{n}$ [/mm] muesste wachsend sein, was ich aber nicht sehe. Zur Verdeutlichung: Man konnte etwa [mm] $\gamma_{j}$ [/mm] mit [mm] $(\sin(n))^{2}$ [/mm] multiplizieren. Dies waere zwar auch nur eine Zahl zwischen $0$ und $1$, aber die Folge [mm] $\sum_{j=1}^{n-1}(\sin(n))^{2}\gamma_{j}$ [/mm] konvergiert nicht.
Ob trotzdem Konvergenz vorliegt weiss ich leider nicht, aber vielleicht jemand anderes. Das Problem kommt mir aber bekannt vor.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:27 Di 05.08.2014 | | Autor: | hippias |
Vielleicht ist es zu kompliziert, aber so konnte ich die Konvergenz nachweisen.
1. Sei [mm] $\sum_{k=1}^{\infty} \gamma_{k}= \alpha$ [/mm] eine konvergente Reihe. Sei [mm] $b_{m}:= \sum_{k=1}^{m}\gamma_{k}$ [/mm] die Folge der Partialsummen und setze [mm] $c_{n}:= \frac{1}{n} \sum_{m=1}^{n}b_{m}$. [/mm] Dann ist auch [mm] $\lim_{n\To \infty} c_{n}= \alpha$.
[/mm]
Anschaulich ist dies klar: [mm] $b_{n}$ [/mm] naehert sich [mm] $\alpha$ [/mm] an, sodass im Durchschnitt [mm] $\alpha$ [/mm] herauskommt. Das ist, glaube ich, ein recht bekanntes Lemma, aber auch nicht schwierig selbst zu beweisen.
2. Nach Definition ist [mm] $c_{n}=\frac{1}{n} \sum_{m=1}^{n} \sum_{k=1}^{m}\gamma_{k}$. [/mm] Dies laesst sich leicht zusammenfassen zu [mm] $c_{n}=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} (n+1-k)\gamma_{k}= \sum_{k=1}^{n} \frac{n+1-k}{n}\gamma_{k}$. [/mm]
Dies sieht schon fast so wie Deine Reihe aus.
3. Nun noch [mm] $\sum_{k=1}^{n}\frac{n+1}{n}\gamma_{k}- \sum_{k=1}^{n} \frac{n+1-k}{n}\gamma_{k}= \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n}\gamma_{k}$ [/mm] Deine Reihe. Wegen [mm] $\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{n+1}{n}\gamma_{k}= \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{n}\sum_{k=1}^{n}\gamma_{k}= \alpha$, [/mm] folgt nun [mm] $\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n}\gamma_{k}=\alpha-\alpha= [/mm] 0$.
Ein ueberraschendes, aber nicht unerklaerliches Ergebnis: Die Glieder von niedrigem Index leisten keinen Beitrag, weil sie durch $n$ geteilt werden; die von hohem Index leisten keinen Beitrag, weil [mm] $\gamma_{k}$ [/mm] eine Nullfolge ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:45 Di 05.08.2014 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
schönes Ding 
Gruß,
Gono.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:48 Do 14.08.2014 | | Autor: | julsch |
Hey,
danke für die ganzen Antworten! Ich habe es jetzt mal auf meinen Fall angewandt und hoffe, dass es so stimmt . Es hat mir auf jeden Fall weiter geholfen.
Meine eigentliche Reihe, für welche ich Konvergenz nachweisen muss, sieht wie folgt aus
[mm] \bruch{2N^2+3N+1}{3N^2} \summe_{j=1}^{N-1} (1-\bruch{j}{N}) \gamma_j.
[/mm]
Diese habe ich umgeformt in
[mm] (\bruch{2}{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{N} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3N^2})(\summe_{j=1}^{N-1} \gamma_j [/mm] - [mm] \summe_{j=1}^{N-1} \bruch{j}{N} \gamma_j).
[/mm]
Meine erste Klammer konvergiert gegen [mm] \bruch{2}{3}. [/mm] Die erste Summe konvergiert nach Voraussetzung gegen [mm] \alpha=\summe_{j=1}^{\infty}\gamma_j.
[/mm]
Die zweite Summe war ja mein Problem. Ich habe mir jetzt auch die Folge der Partialsummen aufgeschrieben und mit dem Cauchyschen Grenzwertsatz konvergiert dann auch der Mittelwert dieser Summe, d.h. [mm] b_m [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{m} \gamma_j [/mm] und [mm] c_n=\bruch{1}{n}\summe_{m=1}^{n}\summe_{j=1}^{m} \gamma_j [/mm] mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} c_n [/mm] = [mm] \alpha.
[/mm]
Durch Induktion lässt sich auch einfach nachweisen, dass [mm] c_n=\bruch{1}{n}\summe_{m=1}^{n}\summe_{j=1}^{m} \gamma_j [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{n} \bruch{n+1-j}{n} \gamma_j.
[/mm]
Ich betrachte nun wieder meine Reihe
[mm] \summe_{j=1}^{N-1}\bruch{j}{N} \gamma_j [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{N} \bruch{j}{N} \gamma_j [/mm] - [mm] \gamma_N [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{N} \bruch{(N+1)-(N+1)+j}{N} \gamma_j [/mm] - [mm] \gamma_N [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{N} \bruch{N+1}{N} \gamma_j [/mm] - [mm] \gamma_N [/mm] - [mm] \summe_{j=1}^{N} \bruch{N+1-j}{N}\gamma_j= \bruch{N+1}{N}\summe_{j=1}^{N} \gamma_j [/mm] - [mm] \gamma_N -c_N
[/mm]
[mm] c_N [/mm] konvergiert gegen [mm] \alpha. [/mm] Kann ich auch sagen, dass [mm] \bruch{N+1}{N}\summe_{j=1}^{N} \gamma_j [/mm] - [mm] \gamma_N [/mm] gegen [mm] \alpha [/mm] konvergiert? Ich subtrahiere ja eigentlich nur ein [mm] \gamma_N, [/mm] welches zwischen -1 und 1 liegt. Kann ich dies vernachlässigen?
ERGÄNZUNG: Hat sich glaub ich erledigt. Ich kann ja schreiben [mm] \bruch{N+1}{N}\summe_{j=1}^{N} \gamma_j [/mm] - [mm] \gamma_N=...=\summe_{j=1}^{N-1} \gamma_j [/mm] + [mm] \bruch{1}{N} \summe_{j=1}^{N} \gamma_j \to \alpha [/mm] + 0 = [mm] \alpha.
[/mm]
Dann hätte ich nämlich genau meine Konvergenz, die ich wollte.
Grüße julsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 So 17.08.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:55 Do 14.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Hippias,
> Vielleicht ist es zu kompliziert, aber so konnte ich die
> Konvergenz nachweisen.
> 1. Sei [mm]\sum_{k=1}^{\infty} \gamma_{k}= \alpha[/mm] eine
> konvergente Reihe. Sei [mm]b_{m}:= \sum_{k=1}^{m}\gamma_{k}[/mm] die
> Folge der Partialsummen und setze [mm]c_{n}:= \frac{1}{n} \sum_{m=1}^{n}b_{m}[/mm].
> Dann ist auch [mm]\lim_{n\To \infty} c_{n}= \alpha[/mm].
>
> Anschaulich ist dies klar: [mm]b_{n}[/mm] naehert sich [mm]\alpha[/mm] an,
> sodass im Durchschnitt [mm]\alpha[/mm] herauskommt. Das ist, glaube
> ich, ein recht bekanntes Lemma, aber auch nicht schwierig
> selbst zu beweisen.
ja, Du bildest hier nichts anderes als die
![[]](/images/popup.gif) Cèsaro-Mittel
der Folge [mm] $\sum_{k=1}^{\infty} \gamma_{k}.$ [/mm] (Ja, ich schreibe extra Folge: Ich meine
nämlich die Folge der zugehörigen Partialsummen! [mm] $\sum_{k=1}^\infty \gamma_k$ [/mm] ist nur
eine Notation für Deine Folge [mm] $(b_m)_m\,,$ [/mm] und oben gilt [mm] $b_m \to \alpha$ [/mm] bei $m [mm] \to \infty\,.$) [/mm]
Übrigens ist Deine Sprechweise oben ungünstig:
Wenn Du schreibst:
"Sei [mm] $\sum_{k=1}^{\infty} \gamma_{k}= \alpha$ [/mm] eine konvergente Reihe..."
so suggeriert das, dass Du den Reihenwert als Reihe ansiehst. Denn man
vermutet
[mm] $\alpha=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \gamma_k\,.$
[/mm]
Wenn Du das so schreibst, was man auch tun kann, aber nicht tun sollte,
so bedeutet das aber eigentlich, dass Du mit [mm] $\alpha$ [/mm] die Funktion/Folge
[mm] $\alpha \colon \IN \to \IR$ [/mm] mit [mm] $\alpha(n):=\sum_{k=1}^n \gamma_k$
[/mm]
meinst.
Und wie man später sieht, meinst Du aber gar nicht das zuletzt gesagte,
sondern wirklich den Reihenwert.
Du müßtest also sagen:
"Sei [mm] $\sum_{k=1}^\infty \gamma_k$ [/mm] eine konvergente Reihe (d.h. hier bezeichnet [mm] $\sum_{k=1}^\infty \gamma_k$ [/mm] die Folge
der Partialsummen [mm] $\left(\sum_{k=1}^N \gamma_k\right)_{N=1}^\infty$) [/mm] mit Reihenwert [mm] $\sum_{k=1}^\infty \gamma_k=\alpha$ [/mm] (hier ist [mm] $\sum_{k=1}^\infty \gamma_k=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \gamma_k$)".
[/mm]
Das ist eben genau das Problem bei dem Symbol [mm] $\sum_{k=1}^\infty \gamma_k$: [/mm] Es kann,
falls die Reihe [mm] $\sum_{k=1}^\infty \gamma_k$ [/mm] (also die zugehörige Folge der Partialsummen)
konvergiert, zwei Bedeutungen bekommen, und aus dem Zusammenhang
heraus muss dann klar sein, welche der beiden gemeint ist.
Jetzt kann man sagen: "Naja, man weiß doch, was ich meine..." Dagegen
habe ich auch nichts, weil Du weißt, was Du meinst, und auch jeder andere,
der entsprechend geübt ist und Erfahrung hat. Aber man sollte immer
bedenken, dass es halt auch ungeübte gibt, und man diese gerade dann
verwirrt, wenn sie vorher geglaubt haben, verstanden zu haben, wie denn
sowas richtig benutzt wird. Dann sehen sie, dass jemand "mit Erfahrung"
wieder etwas schreibt, was sie nicht zuordnen können, und schon geht
alles von vorne bei ihnen los, obwohl das unnötig war, denn sie hatten das
schon korrekt verstanden.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:40 Do 14.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Hippias,
> Vielleicht ist es zu kompliziert, aber so konnte ich die
> Konvergenz nachweisen.
ich kann mir nicht vorstellen, dass das Ganze wesentlich einfacher gelöst
werden kann.
> 1. Sei [mm]\sum_{k=1}^{\infty} \gamma_{k}= \alpha[/mm] eine
> konvergente Reihe. Sei [mm]b_{m}:= \sum_{k=1}^{m}\gamma_{k}[/mm] die
> Folge der Partialsummen und setze [mm]c_{n}:= \frac{1}{n} \sum_{m=1}^{n}b_{m}[/mm].
> Dann ist auch [mm]\lim_{n\To \infty} c_{n}= \alpha[/mm].
>
> Anschaulich ist dies klar: [mm]b_{n}[/mm] naehert sich [mm]\alpha[/mm] an,
> sodass im Durchschnitt [mm]\alpha[/mm] herauskommt. Das ist, glaube
> ich, ein recht bekanntes Lemma, aber auch nicht schwierig
> selbst zu beweisen.
>
> 2. Nach Definition ist [mm]c_{n}=\frac{1}{n} \sum_{m=1}^{n} \sum_{k=1}^{m}\gamma_{k}[/mm].
> Dies laesst sich leicht zusammenfassen zu [mm]c_{n}=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} (n+1-k)\gamma_{k}= \sum_{k=1}^{n} \frac{n+1-k}{n}\gamma_{k}[/mm].
>
> Dies sieht schon fast so wie Deine Reihe aus.
Hier könntest Du natürlich auch schon
[mm] $c_n=\sum_{k=1}^{n} \frac{n+1-k}{n}\gamma_{k}=\frac{n+1}{n}\sum_{k=1}^n c_k\;\;-\;\sum_{k=1}^n \frac{k}{n}\gamma_k$
[/mm]
schreiben und dann bei $n [mm] \to \infty$
[/mm]
[mm] $\alpha=\alpha-\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{k}{n}\gamma_k$
[/mm]
folgern. Aber eigentlich ist der wesentliche Schritt der, wo Du schreibst:
"Es läßt sich 'leicht' zusammenfassen: ..."
Sowas nachzurechnen ist nicht schwer. Sowas zu sehen eher Übungssache:
Ähnlich, wie es nicht schwer ist
[mm] $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
[/mm]
von links nach rechts nachzurechnen, aber die Kunst ist es, das von rechts
nach links zu erkennen.
> 3. Nun noch [mm]\sum_{k=1}^{n}\frac{n+1}{n}\gamma_{k}- \sum_{k=1}^{n} \frac{n+1-k}{n}\gamma_{k}= \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n}\gamma_{k}[/mm]
> Deine Reihe. Wegen [mm]\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{n+1}{n}\gamma_{k}= \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{n}\sum_{k=1}^{n}\gamma_{k}= \alpha[/mm],
> folgt nun [mm]\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n}\gamma_{k}=\alpha-\alpha= 0[/mm].
>
> Ein ueberraschendes, aber nicht unerklaerliches Ergebnis:
Deine Rechnung erklärt es halt. 
> Die Glieder von niedrigem Index leisten keinen Beitrag,
> weil sie durch [mm]n[/mm] geteilt werden; die von hohem Index
> leisten keinen Beitrag, weil [mm]\gamma_{k}[/mm] eine Nullfolge ist.
Mit solchen Interpretationen wäre ich vorsichtig, vor allem, was den hohen
Index betrifft. Schließlich wird nicht nur [mm] $\gamma_k$ [/mm] durch [mm] $n\,$ [/mm] geteilt, sondern [mm] $k*\gamma_k\,.$
[/mm]
Für mich bedeutet das, dass [mm] $(k*\gamma_k)$ [/mm] auch *sehr schnell* gegen 0 konvergieren
muss. Aber was das nun wieder genau heißen möge: Das will ich gar nicht
definieren.
Gruß,
Marcel
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Hiho,
deine Argumente stimmen sicher, wenn du absolute Konvergenz der [mm] \gamma_i [/mm] hast. Dann kannst du das Majorantenkriterium benutzen.
Liegt hingegen keine absolute Konvergenz vor, wer sagt dir dann, dass deine "Faktoren kleiner 1" nicht gerade die negativen Summanden verkleinern, so dass die neue Summe divergiert?
Das müsste man noch zeigen.
Gruß,
Gono.
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