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| Aufgabe | Man untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz unter Verwendung geeigneter Vergleichsreihen
a) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{3}{2k(k+5)}
[/mm]
b) [mm] \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{k+\wurzel{k}}{k^2 - k} [/mm] |
Muss ich diese Aufgaben mit den Majoranten bzw Minorantenkriterium lösen ?? ... Falls ja, verstehe ich dabei nicht wie ich auf die zugehörigen Vergleichsreihen komme.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:21 So 27.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Man untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz unter
> Verwendung geeigneter Vergleichsreihen
>
> a) [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{3}{2k(k+5)}[/mm]
>
> b) [mm]\summe_{k=2}^{\infty} \bruch{k+\wurzel{k}}{k^2 - k}[/mm]
>
> Muss ich diese Aufgaben mit den Majoranten bzw
> Minorantenkriterium lösen ?? ...
> Falls ja, verstehe ich
> dabei nicht wie ich auf die zugehörigen Vergleichsreihen
> komme.
Finde a>0 mit [mm] \bruch{3}{2k(k+5)}\le \bruch{a}{k^2} [/mm] für alle k
Finde b>0 mit [mm] \bruch{k+\wurzel{k}}{k^2 - k} \ge \bruch{b}{k}
[/mm]
FRED
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Tur mir leid wenn ich mich etwas blöd anstelle, aber ich hab immernoch keine ahnung was ich machen muss. Wie komme ich denn auf a ? Ich hätte jetzt für beide Aufgaben das Majorantenkriterium genommen, da unten ja jeweils [mm] k^2 [/mm] steht.
Ginge nicht [mm] 3\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{2k(k+5)} \le \bruch{1}{2k^2} [/mm] und weil das ja stimmt konvergiert die Reihe ?
Kommt mir aber falsch vor ;)
Und bei der zweiten bin ich total überfordert ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:06 So 27.04.2014 | | Autor: | abakus |
> Tur mir leid wenn ich mich etwas blöd anstelle, aber ich
> hab immernoch keine ahnung was ich machen muss. Wie komme
> ich denn auf a ? Ich hätte jetzt für beide Aufgaben das
> Majorantenkriterium genommen, da unten ja jeweils [mm]k^2[/mm]
> steht.
> Ginge nicht [mm]3\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{2k(k+5)} \le \bruch{1}{2k^2}[/mm]
> und weil das ja stimmt konvergiert die Reihe ?
> Kommt mir aber falsch vor ;)
Du hast auf der rechten Seite den Faktor 3 vergessen, ansonsten ist deine Überlegung richtig.
> Und bei der zweiten bin ich total überfordert ...
Die sieht divergent aus. Jetzt brauchen wir eine divergente Minorante.
Wie macht man einen Bruch kleiner?
a) Zähler verkleinern
b) Nenner vergrößern
c) beides
Den Nenner kannst du vergrößern, indem du "-k" weglässt.
Den Zähler kannst du verkleinern, indem du "[mm]+\sqrt{k}[/mm]" weglässt.
Gruß Abakus
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Vielen Dank für die schnelle Antwort :D
Ich habe dann also bei a) [mm] 3\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{2k^2 + 5} \le 3\bruch{1}{2k^2} [/mm] = [mm] \bruch{3}{2}\bruch{1}{k^2} [/mm] und deshalb konvergiert die Reihe ?
Und bei b) [mm] \summe_{k=2}^{\infty}\bruch{k+\wurzel{k}}{k^2 -k} [/mm] > [mm] \bruch{k}{k^2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{k} [/mm] .... Aber woher weis ich das ich diese Reihe auf Divergenz überprüfen muss ? Wenn ich jetzt Zahlen einsetze geht das Ergebnis immer weiter gegen 0 und ich dachte das sei ein zeichen für Konvergenz ...
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Hallo,
> Vielen Dank für die schnelle Antwort :D
> Ich habe dann also bei a) [mm]3\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{2k^2 + 5} \le 3\bruch{1}{2k^2}[/mm]
> = [mm]\bruch{3}{2}\bruch{1}{k^2}[/mm] und deshalb konvergiert die
> Reihe ?
bis auf die Tatsache, dass du entweder überall das Summenzeichen vorausstellen muss oder nirgends ist es richtig in dem Sinn, dass du eine konvergente Majorante gefunden hast.
>
> Und bei b) [mm]\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{k+\wurzel{k}}{k^2 -k}[/mm]
> > [mm]\bruch{k}{k^2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{k}[/mm] .... Aber woher weis ich das
> ich diese Reihe auf Divergenz überprüfen muss ? Wenn ich
> jetzt Zahlen einsetze geht das Ergebnis immer weiter gegen
> 0 und ich dachte das sei ein zeichen für Konvergenz ...
Dass man hier Divergenz vermutet (eigentlich weiß man es schon, aber hier soll es gezeigt werden), liegt an der Tatsache, dass k im Zähler maximal linear und im Nenner maximal quadratisch vorkommt.
Dass das Reihenglied gegen Null konvergiert, ist nur eine notwendige Bedingung für die Konvergenz der Reihe, keinesfalls jedoch hinreichend. Insofern ist deine Vermutung falsch!
Suche also nach einer divergenten Minorante. Wenn du noch das 3. Binom im Nenner entdeckst, wird das hier eine ziemlich leichte Übung. 
Gruß, Diophant
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Ich glaube ich habe verstanden warum die reihe divergent sein muss, aber was ist an meinem beweis denn falsch ?? ... denn 1/k steht doch für divergenz ...
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Hallo,
> Ich glaube ich habe verstanden warum die reihe divergent
> sein muss, aber was ist an meinem beweis denn falsch ?? ...
An welchem Beweis denn? Falls du deine obige 'Rechnung' meinest, die ist nicht nachvollziehber.
> denn 1/k steht doch für divergenz ...
Das ist auch nicht der Teil, der falsch ist sondern die abenteuerliche Art und Weise, wie du zu dieser Minorante kommst hat mit Mathematik nix zu tun.
Ich verstehe eines nicht: ich habe dir oben einen Tipp gegeben, wie man sehr leicht und korrekt auf diese Minorante kommt. Weshalb hast du den nicht ausprobiert?
Ich formuliere es nochmal konkreter: faktorisiere den Nenner per dritter binomischer Formel und schau mal, was dann so passiert...
Gruß, Diophant
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AAAh ok, ich glaub ich habs kapiert ...
Das wäre dann [mm] \bruch{1}{k-\wurzel{k}} [/mm] > [mm] \bruch{1}{k}
[/mm]
Das stimmt so oder?
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Hallo,
> AAAh ok, ich glaub ich habs kapiert ...
> Das wäre dann [mm]\bruch{1}{k-\wurzel{k}}[/mm] > [mm]\bruch{1}{k}[/mm]
> Das stimmt so oder?
Perfekt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß, Diophant
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.....
> Aber woher weis ich das
> ich diese Reihe auf Divergenz überprüfen muss ?
Sind die Folgeglieder darstellbar durch Summen von x-Potenzen im Zähler und Nenner, so gilt folgende Regel:
Betrachte im Zähler und Nenner nur die jeweils höchste Potenz in x.
Kürze mit der x-Potenz im Zähler.
Ist nun die Potenz im Nenner kleiner oder gleich 1, so divergiert der Ausdruck. Hierfür findest du dann leicht eine Minorante.
Ist die Potenz im Nenner größer als 1, so konvergiert der Ausdruck. Hierfür findest du leicht eine Majorante.
In deinem Fall: [mm] \bruch{3}{2k(k+5)}: [/mm] Potenz im Nenner 0, im Zähler 2, also [mm] 1/x^2 [/mm] konvergent.
Majorante: [mm] \bruch{3}{2k(k+5)}=\bruch{3}{2k^2+10k}<\bruch{irgendwas mit}{k^2}, [/mm] also [mm] \bruch{3}{2k^2}.
[/mm]
[mm] \bruch{k+\wurzel{k}}{k^2 - k}: [/mm] kürze [mm] \bruch{k}{k^2}=1/k, [/mm] also divergent.
[mm] Minorante:\bruch{k+\wurzel{k}}{k^2}=\bruch{1}{k} [/mm]
Verzwickter: [mm] \bruch{k^{6,8}+9*k^{6,7}}{k^{7,9} - k{7,8}}.
[/mm]
Kürzen bringt [mm] \bruch{k^{6,8}}{k^{7,9}}=\bruch{1}{k^{1,1}}, [/mm] also Konvergenz.
Majorante: irgendwas mit [mm] k^{1,1} [/mm] im Nenner.
[mm] \bruch{k^{6,8}+9*k^{6,7}}{k^{7,9} - k^{7,8}}<\bruch{k^{6,8}+9*k^{6,8}}{k^{7,9} - k^{7,8}}<\bruch{10k^{6,8}}{k^{7,9} - 0,01 k^{7,9}} [/mm] (ab da, wo [mm] k^{7,8}<0,01k^{7,9} [/mm] wird)= [mm] \bruch{10k^{6,8}}{0,99 k^{7,9}} =\bruch{10}{0,99 k^{1,1}}
[/mm]
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