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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:27 Do 16.11.2006 | | Autor: | Docy |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgende Folge auf Konvergenz und berechnen Sie gegebenfalls den Grenzwert.
k [mm] \ge [/mm] 2, a > 0, [mm] a_0 [/mm] > 0 und [mm] a_{n+1}=\bruch{1}{k}((k-1)a_{n} [/mm] + [mm] \bruch{a}{a_{n}^{k-1}}) [/mm] |
Hallo,
kann mir hier jemand weiterhelfen, ich komme da nicht weiter.
Und zwar hab ich gesagt, wenn [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] = x und daraus folgt, [mm] x=\bruch{1}{k}((k-1)x [/mm] + [mm] \bruch{a}{x^{k-1}}). [/mm] Daraus ergibt sich dann x= [mm] \wurzel[k]{3}. [/mm] Damit ist der Grenzwert [mm] \wurzel[k]{3} [/mm] falls er existiert.
Bleibt zu zeigen, dass die Folge konvergent ist.
Eine Folge ist aber nur dann konvergent, wenn sie nach oben beschränkt und monoton steigend bzw. nach unten beschränkt und monoton fallend ist. Ich habe mir gedacht, dass [mm] a_n>a_{n+1} [/mm] genau dann wenn gilt:
[mm] \bruch{1}{k}((k-1)a_{n} [/mm] + [mm] \bruch{a}{a_{n}^{k-1}})
[mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \le a_n^k.
[/mm]
So jetzt muss ich noch zeigen, dass a [mm] \ge a_n^k [/mm] ist, das heisst, dass [mm] a_n^k [/mm] - a [mm] \ge [/mm] 0 ist.
Dann gilt:
[mm] \bruch{1}{k^k}((k-1)a_{n-1} [/mm] + [mm] \bruch{a}{a_{n-1}^{k-1}})^2 [/mm] - a [mm] \ge [/mm] 0.
Aber irgendwie kann ich das nicht zeigen :-(
Kann mir an dieser Stelle jemand weiterhelfen?
Jemand hat noch gemeint, dass man hier mit der Ungleichung:
[mm] \bruch{x_1+x_2+....+x_n}{n} \ge \wurzel[n]{x_1*x_2*....*x_n}
[/mm]
weiterkommt, weil man dadurch beweisen kann, dass [mm] a_{n+1}^k \ge [/mm] a ist. Aber wir haben diese Ungleichung in der Vorlesung noch nicht benutzt, deshalb muss ich sie erst beweisen, aber auch hier komme ich nicht weiter.
Kann mir da jemand helfen?
Wäre echt super dankbar für jegliche Hilfe
Gruß
Docy
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 18:51 Do 16.11.2006 | | Autor: | Salvathras |
Uni Kaiserslautern , GdM I , stimmts ?
Nun, ich hab das wie folgt bewiesen:
Ich habe gezeigt dass es drei Fälle gibt:
1. a(0) = k-te Wurzel aus a ; hierfür gilt a(n) = a(n+1) usw. und leicht zu zeigen dass a(n) konvergiert;
2. a(0) < k-te Wurzel aus a; hierfür wird die Folge mon. wachsend und beschränkt.
3. a(0)> k-te Wurzel aus a; hierfür wird die Folge mon. fallend
Das Problem dass ich habe, ist dann nachzuweisen, dass 2. und 3. ebenfalls konvergent ist . Weiß nicht ob das stimmt, aber wäre nett wenn jemand helfen könnte (habs gleiche Problem).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 Do 16.11.2006 | | Autor: | Docy |
moin salvathras,
> Uni Kaiserslautern , GdM I , stimmts ?
richtig! 
Naja, ich hoffe, es gibt da draußen jemanden, der uns helfen kann!
Gruß
Docy
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Also , noch schnell bevor ich zu GdM gehe:
Das ist ganz einfach: Weise einfach nach dass die Folge beschränkt ist (nicht schwer) und dass sie je nach a(0) mon. wachsend/fallend oder konstant ist . Dann kannst Du ja sagen (lim (an) = lim (a(n+1)) und ersetzt a(n+1) durch die Formel . Das kannst Du umformen und erhälst den Grenzwert auch offiziell.
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