Konvergent / Divergent < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Welche der foglenden Reihen sind konvergent / divergent:
1. [mm] f(n)=\begin{cases} & \mbox{} \bruch{-1}{2k} k \mbox{ , gerade} \\ & \mbox{für } \bruch{1}{2^k} k \mbox{ , ungerade} \end{cases}
[/mm]
2. [mm] a_{k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{k} [/mm] - [mm] \bruch{i}{k+1}
[/mm]
3: [mm] a_{k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{k^2 ln(k)}
[/mm]
4. [mm] a_{k} [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^k}{ln(k)}
[/mm]
5. [mm] a_{k} [/mm] = [mm] 1-2^{-k} [/mm] |
Guten Abend,
ich fang dann mal an :)
a: konvergent , ich weiß, [mm] \bruch{1}{2^k} [/mm] ist konvergent. (geometrische reihe?), ebenfalls ist [mm] \bruch{-1}{2k} [/mm] konvergent
b: [mm] \bruch{1}{k} [/mm] ist divergent.... Was mit dem i ist weiß ich nicht :(
c: kann ich hier abschätzen ? [mm] \bruch{1}{k^2*ln(k)} \le \bruch{1}{k^2}. \bruch{1}{k^2} [/mm] ist konvergent
d: Alternierend und eine monoton fallende nullfolge. (Leibnitz) . Daher konvergent
e: rein gefühlsmäßig divergent ;)
Lg
steffi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:58 Mo 04.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Steffi
> Welche der foglenden Reihen sind konvergent / divergent:
>
> 1. [mm]f(n)=\begin{cases} & \mbox{} \bruch{-1}{2k} k \mbox{ , gerade} \\ & \mbox{für } \bruch{1}{2^k} k \mbox{ , ungerade} \end{cases}[/mm]
>
> 2. [mm]a_{k}[/mm] = [mm]\bruch{1}{k}[/mm] - [mm]\bruch{i}{k+1}[/mm]
>
> 3: [mm]a_{k}[/mm] = [mm]\bruch{1}{k^2 ln(k)}[/mm]
>
> 4. [mm]a_{k}[/mm] = [mm]\bruch{(-1)^k}{ln(k)}[/mm]
>
> 5. [mm]a_{k}[/mm] = [mm]1-2^{-k}[/mm]
> Guten Abend,
>
> ich fang dann mal an :)
>
> a: konvergent , ich weiß, [mm]\bruch{1}{2^k}[/mm] ist konvergent.
> (geometrische reihe?), ebenfalls ist [mm]\bruch{-1}{2k}[/mm]
> konvergent
Wenn da im Nenner 2k und nicht [mm] 2^k [/mm] steht, wieso ist die Summe dann konvergent?
> b: [mm]\bruch{1}{k}[/mm] ist divergent.... Was mit dem i ist weiß
> ich nicht :(
Bei ner Differenz darfst du nicht einfach die einzelnen ansehen, selbst wenn sie einzeln divergent sind, kann die Differenz konv. sein:
[mm] a_n=1-1 b_n=1 [/mm] divergiert, [mm] c_n [/mm] =-1 divergiert an=bn+cn konvergiert
Du sollst wahrscheinlich Fallunterscheidungen für i machen, d.h. für welche i konv. das.
Dazu auf einen Nenner bringen und dann untersuchen.
> c: kann ich hier abschätzen ? [mm]\bruch{1}{k^2*ln(k)} \le \bruch{1}{k^2}. \bruch{1}{k^2}[/mm]
richtig, aber erst ab k=...
> ist konvergent
>
> d: Alternierend und eine monoton fallende nullfolge.
> (Leibnitz) . Daher konvergent
richtig
> e: rein gefühlsmäßig divergent ;)
sieh nach, ob die Summanden allein ne Nullfolge bilden! das ist immer das erste was man nachprüft, weils ne notwendige Bed. ist.
Gruss leduart
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zu b: Ich glaub ich kann ja den Bruch mit i abschätzen . . .
[mm] \bruch{i}{k+1} \le \bruch{1}{k+1}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{k+1} [/mm] ist divergent..
Somit ist auch das ganze divergent....
zu e: 1 - [mm] 2^{-k} \gdw [/mm] 1 - [mm] \bruch{1}{2^k} \gdw \bruch{2^k-1}{2^k} \le \bruch{2^k}{2^k} [/mm] = 1
[mm] \Rightarrow [/mm] divergent.
Kann ich das so machen?
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:38 Di 05.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Steffi
> zu b: Ich glaub ich kann ja den Bruch mit i abschätzen . .
> .
>
> [mm]\bruch{i}{k+1} \le \bruch{1}{k+1}[/mm]
wie kommst du da rauf? etwa wenn i=3 ist
>
> [mm]\bruch{1}{k+1}[/mm] ist divergent..
>
> Somit ist auch das ganze divergent....
Ich hatte doch geschrieben, dass man das bei Differenzen so nicht machen darf.
es gibt i für die das konv. ist
Warum gehst du auf so was nicht ein! Das ist für den, der dir was schreibt frustig!
>
> zu e: 1 - [mm]2^{-k} \gdw[/mm] 1 - [mm]\bruch{1}{2^k} \gdw \bruch{2^k-1}{2^k} \le \bruch{2^k}{2^k}[/mm]
> = 1
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] divergent.
>
> Kann ich das so machen?
Nein, du hast ja nur geschrieben dass es kleiner 1 ist.
du musst zeigen, dass es keine Nullfolge ist, also ab irgendnem n größer als irgend ne feste Zahl ist!
Gruss leduart
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Entschudige... Ich war gestern schon so durcheinander :(
zu der Aufgabe...
Wenn ich Dich richtig verstanden habe, fassse ich die beiden Brüche zusammen:
[mm] \bruch{1}{k}-\bruch{i}{k+1} [/mm] = [mm] \bruch{1+k-i*k}{k^2+1}.
[/mm]
Nun kann ich ja k ausklammern:
[mm] \bruch{k(1+\bruch{1}{k}-i)}{k(k+1)}
[/mm]
Das k kann ich krüzen und ich erhalte dann:
[mm] \bruch{1+\bruch{1}{k}-i}{k+1)}
[/mm]
Zu der Fallunterscheidung.
Das i schwankt ja zwichen i, -i und -1.
Gruß und sorrry nochmal...
Lg
steffi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:05 Di 05.02.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
du fasst das i also als imaginäre Einheit auf?
Wenn ja, dann würde ich die Reihe in Imaginärteil und Realteil zerlegen und sagen, dass der Realteil divergiert. Damit gibt es keinen Grenzwert.
LG
Kroni
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:21 Di 05.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Steffi
Meine Antwort war falsch, wenn i keine natürliche Zahl, sondern [mm] i=\wurzel{-1}
[/mm]
Aber dann ist deine Aussage, ass es "schwankt" falsch. i hat wie jede komplexe Zahl nur genau einen Wert. Und dann hast du mit deiner Beh. dass die Reihe divergiert, weil der reelle Teil divergiert natürlich recht.
Gruss leduart
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Hallo Steffi!
Schreibe es wie folgt auf:
[mm] $$\limes_{k\rightarrow\infty}a_k [/mm] \ = \ [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\left(1-2^k \ \right) [/mm] \ = \ ... \ = \ 1 \ [mm] \not= [/mm] \ 0 \ \ \ \ \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ \ \ \ \ [mm] \summe a_k [/mm] \ [mm] \text{ist divergent}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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