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Forum "Folgen und Reihen" - Konvergent Cauchyprodukt
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Konvergent Cauchyprodukt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:12 Di 26.11.2013
Autor: RunOrVeith

Aufgabe
Seien 2 Reihen gegeben: \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n/(\wurzel{(n+1)})^3 =:a_n \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n/(\wurzel{(n+1)}) =: b_n
Zeigen sie, dass das Cauchyprodukt konvergiert, aber nicht absolut konvergiert.

Hey,


Mein Ansatz:
Damit das Cauchyprodukt konvergiert, muss eine der Reihen abs. konvergieren und die andere konvergieren.
Ich kann natürlich auf [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] das Leibnitzkriterium anwenden, damit bekomme ich die Konvergenz von beiden.
Ich kann aber auch auf beide das Quotientenkriterium anwenden, dann sind jedoch beide abs. Konvergent und das Cauchyprodukt müsste es auch sein:

|a_(_n_+_1_)|/|a_n| = (\wurzel{(n+1))}^3/(\wurzel{(n+2))}^3 < 1 ,
also konv. [mm] a_n [/mm] absolut.

|b_(_n_+_1_)|/|b_n| = (\wurzel{(n+1)})/(\wurzel{(n+2)}) < 1 ,
also konv. [mm] b_n [/mm] absolut.

Wo ist hier der Fehler?
Ich hab auch das Cauchyprodukt einmal gebildet, aber daraus werde ich auch nicht richtig schlau:

\summe_{k=0}^{n} (-1)^k/(\wurzel{(k+1)}) * (-1)^{(n-k)}/(\wurzel{(n-k+1)})^3 = \summe_{k=0}^{n} (-1)^n * 1/(\wurzel{(n-k+1)})^3 * \wurzel{(k+1)}

Kann ich da irgendwas drauf anwenden?

Vielen Dank!
        
Bezug
Konvergent Cauchyprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:20 Di 26.11.2013
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Mein Ansatz:
>  Damit das Cauchyprodukt konvergiert, muss eine der Reihen abs. konvergieren und die andere konvergieren.

Gute Idee.

>  Ich kann natürlich auf [mm]a_n[/mm] und [mm]b_n[/mm] das Leibnitzkriterium anwenden, damit bekomme ich die Konvergenz von beiden.

[ok]

>  Ich kann aber auch auf beide das Quotientenkriterium anwenden, dann sind jedoch beide abs. Konvergent und das Cauchyprodukt müsste es auch sein:

Dann hast du etwas falsch gemacht.


> |a_(_n_+_1_)|/|a_n| = (\wurzel{(n+1))}^3/(\wurzel{(n+2))}^3 < 1 ,
>  
> also konv. [mm]a_n[/mm] absolut.
>  
> |b_(_n_+_1_)|/|b_n| = (\wurzel{(n+1)})/(\wurzel{(n+2)}) < 1 ,
>  
> also konv. [mm]b_n[/mm] absolut.

Nein!
Wie lautet das Quotientenkriterium genau? Schlag das mal noch einmal nach.

Wird dir allerdings in beiden Fällen leider keine Aussage liefern, aber gut, wenn wir das hier nochmal besprechen.

Tipp: Was weißt du über [mm] $\summe_{n=1}^\infty\bruch{1}{n^\alpha}$? [/mm]

Gruß,
Gono.
Bezug
                
Bezug
Konvergent Cauchyprodukt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:22 Di 26.11.2013
Autor: RunOrVeith

Ich bin ein Trottel. Doppelbrüche sollte man halt irgendwann mal können. Danke ;)
Bezug
                        
Bezug
Konvergent Cauchyprodukt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:30 Di 26.11.2013
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ich bin ein Trottel.

Das möchte ich nicht beurteilen.

> Doppelbrüche sollte man halt irgendwann mal können.

Ja, aber das war nicht dein Fehler, sondern deine Schlussfolgerung!

> Danke ;)

Nicht dafür, sondern eher dafür, dass ich dich trotz Mitteilung darauf hinweise, dass du deinen Fehler noch nicht erkannt hast.

Gruß,
Gono.

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