Konverg. Verteilung/W'keit < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:10 Do 08.01.2015 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | | Geben Sie ein Beispiel für reelle Zufallsvariablen [mm] $X_1, X_2, [/mm] . . .$ an, so dass [mm] $(X_n)_{n∈\in\mathbb{N}}$ [/mm] in Verteilung, aber nicht in Wahrscheinlichkeit, konvergiert. |
Hallo,
ich würde hierfür gerne ein Beispiel angeben.
Dazu habe ich folgendes gefunden:
http://mitschriebwiki.nomeata.de/Stochastik1.pdf.12.pdf
könnte mir jemand vielleicht die Bemerkung 11.2 erklären?
Dort wird ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum [mm] $\Omega=\{\omega_1,\omega_2\}$ [/mm] genommen.
Als Sigma-Algebra nimmt man wie üblich [mm] $\mathcal{A}=\mathcal{P}(\Omega)$. [/mm]
Man weist nun den Ereignissen die Wahrscheinlichkeiten
[mm] $P(\{\omega_1\}=P(\{\omega_2\})=\frac{1}{2}$ [/mm] zu.
Soweit so gut.
Die nächste Zeile ist mir nicht ganz klar. Nun werden den Zufallsvariablen(?) X jeweils die Werte
[mm] $X(\omega_1)=1$ [/mm] und [mm] $X(\omega_2)=-1$ [/mm] zugewiesen.
Dann soll
[mm] $P(X\leq x)=F_{X}(x)=\begin{cases} 0, x<-1\\ \frac12, -1\leq x<1\\ 1, x\geq 1\end{cases}=F_{-X}(x)$
[/mm]
sein.
Könntet ihr nochmal kurz erklären, was man mit [mm] F_{-X} [/mm] meint?
Die "linksseitige" Verteilungsfunktion?
Leider ist mir auch nicht ganz klar was man mit "rechtsstetigkeit" der Verteiltungsfunktion genau meint.
Also ich weiß damit eine Funktion stetig ist muss der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert übereinstimmen, für einen gewissen Punkt [mm] $x_0$.
[/mm]
Muss bei "rechtsstetigkeit" dann also nur ein Wert existieren, den die Funktion annimmt wenn ich mich von "rechts" an ihn annehme. Ganz egal ob die Funktion hier "springt" oder nicht?
Als nächstes wird die Folge der Zufallsvariablen [mm] $(X_n)=(-1)^nX$ [/mm] gewählt.
Wie ist das hier zu verstehen?
Was sagt $(-1)^nX$ aus?
Das mit dieser Wahl nun [mm] $F_{X_n}=F_{X}$ [/mm] gilt, sollte klar sein. Denn es ist ja [mm] $F_X=F_{-X}$ [/mm] und die Folge nimmt ja nur die Werte X und -X an.
Also konvergiert dies in Verteilung.
In Wahrscheinlichkeit konvergiert es nicht, da diese Folge alternierend ist.
Verstehe ich das so richtig?
Über eine Beantwortung meiner Rückfragen würde ich mich sehr freuen.
Vielen Dank.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Sa 10.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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