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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:26 Mi 03.01.2007 | | Autor: | Denny22 |
| Aufgabe | Sei $H$ ein Hilbertraum und [mm] $\left(x_n\right)_{n\in\IN}\subset [/mm] H$ ein Orthogonalsystem in $H$. Zeige:
[mm] $\sum_{k=1}^{\infty}{x_k}$ [/mm] konvergent in $H$ [mm] $\Longleftrightarrow$ $\sum_{k=1}^{\infty}{\Vert{x_k}\Vert^2}$ [/mm] ist konvergent
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Hallo an alle,
Wäre nett, wenn jemand Denkanstöße für die beiden Richtungen geben könnte.
Danke und Gruß Denny
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Hi denny,
> Sei [mm]H[/mm] ein Hilbertraum und [mm]\left(x_n\right)_{n\in\IN}\subset H[/mm]
> ein Orthogonalsystem in [mm]H[/mm]. Zeige:
>
> [mm]\sum_{k=1}^{\infty}{x_k}[/mm] konvergent in [mm]H[/mm]
> [mm]\Longleftrightarrow[/mm] [mm]\sum_{k=1}^{\infty}{\Vert{x_k}\Vert^2}[/mm]
> ist konvergent
>
> Hallo an alle,
>
> Wäre nett, wenn jemand Denkanstöße für die beiden
> Richtungen geben könnte.
müsste eigentlich so gehen: die reihe links konvergiert in H, ist also eine cauchy-folge (bzw. die partialsummen). schreibe das einfach mal formal hin. nutze die hilbertraum-norm und die orthogonalität der [mm] $x_k$ [/mm] aus. fertig.
das geht denke ich in beide richtungen.
gruß
matthias
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> Danke und Gruß Denny
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:46 Do 04.01.2007 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
ich danke für die Antwort. Ich habe es hinbekommen. Ich habe es über das Cauchysche Konvergenzkriterium gemacht.
Danke nochmals und Gruß
Denny
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