Konv. einer Potenzreihe < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe hier eine Potenzreihe, die mir Schwierigkeiten bereitet:
[mm]\sum_{n=1}^{\infty} {1 \br n} ({2x+1 \br 2x-1})^n , x \in \IR\ ohne\ { 1 \br 2}[/mm]
Erst mal zum Konvergenzradius der Reihe:
[mm]R = \limes_{n \to \infty} { a_n+1 \br a_n} = {n+1 \br n} = 1[/mm]
Laut Satz ist jetzt:
[mm]|{ 2x+1 \br 2x-1}| < 1: Konvergent[/mm]
[mm]|{ 2x+1 \br 2x-1}| > 1: Divergent[/mm]
Normalerweise (wenn [mm] (x-0)^n [/mm] stehen würde), würde ich jetzt die Stellen:
x+R und x-R auf Konvergenz untersuchen und dann mein Fazit ziehen.
Allerdings sieht mein "[mm](x - x_0)^n[/mm]" ganz offensichtlich ein bißchen anders aus.
Da mein [mm] a_n = { 1 \br n}[/mm] ist, daß [mm]|{ 2x+1 \br 2x-1}| = 1[/mm] sein muss (da man dann die harmonische Reihe und Divergenz hätte) und einmal [mm]|{ 2x+1 \br 2x-1}| = -1[/mm], da man dann mit dem Leibnitzkriterium Konvergenz nachweisen könnte.
Hat jemand eine Idee?
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Hallo TheBigTicket,
Du betrachtest richtigerweise zunächst
[mm]\sum_{n=1}^{\infty} {1 \br n} {y}^n[/mm]
und stellst ja auch wenn ich richtig gelesen habe fest das die für [mm]-1\le y< 1[/mm] konvergiert. Was ist y in deiner Ursprungsreihe?
gruß
mathemaduenn
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Wenn also:
[mm] -1 \le {2x+1 \br 2x-1} < 1 [/mm],
dann konvergiert die Reihe.
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