Konv. Folge und GW ges. III < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:05 Sa 16.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{2\cdot 5^{n} + n^{2}\cdot 2^{n}+1}{8^{n}+n^{3}+2} [/mm] |
Hallo,
ich soll Konvergenzverhalten und ggf. Grenzwert bestimmen, bei Brüchen gehe ich ja so vor, dass ich n mit dem höchsten gemeinsamen Exponenten ausklammer und dadruch einen bestimmten Fall erzeuge, nun steht aber n selbst im Exponenten, wie gehe ich denn bei sowas vor?
Greetz
Ganzir
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:07 So 17.05.2009 | | Autor: | Denny22 |
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\bruch{2\cdot 5^{n} + n^{2}\cdot 2^{n}+1}{8^{n}+n^{3}+2}[/mm]
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> Hallo,
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> ich soll Konvergenzverhalten und ggf. Grenzwert bestimmen,
> bei Brüchen gehe ich ja so vor, dass ich n mit dem höchsten
> gemeinsamen Exponenten ausklammer und dadruch einen
> bestimmten Fall erzeuge, nun steht aber n selbst im
> Exponenten, wie gehe ich denn bei sowas vor?
Tja, eigentlich genauso. Nur klammerst Du hier [mm] $8^n$ [/mm] aus.
[mm] $a_n=\frac{2\cdot 5^n + n^2\cdot 2^n+1}{8^n+n^3+2}=\underbrace{\frac{8^n}{8^n}}_{=1}\cdot\frac{2\cdot\left(\frac{5}{8}\right)^n+n^2\cdot\left(\frac{2}{8}\right)^n+\left(\frac{1}{8}\right)^n}{1+n^3\cdot\left(\frac{1}{8}\right)^n+2\cdot\left(\frac{1}{8}\right)^n}=\frac{2\cdot\left(\frac{5}{8}\right)^n+n^2\cdot\left(\frac{2}{8}\right)^n+\left(\frac{1}{8}\right)^n}{1+n^3\cdot\left(\frac{1}{8}\right)^n+2\cdot\left(\frac{1}{8}\right)^n}$
[/mm]
Nun gilt für [mm] $k\in\IR$ [/mm] mit $k<1$:
[mm] $\lim_{n\to\infty}k^n=0$
[/mm]
Damit weißt Du schon einmal:
[mm] $\lim_{n\to\infty}\left(\frac{5}{8}\right)^{n}=0$
[/mm]
[mm] $\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{8}\right)^{n}=0$
[/mm]
[mm] $\lim_{n\to\infty}2\cdot\left(\frac{5}{8}\right)^{n}=0$
[/mm]
Es bleiben die Terme [mm] $n^2\cdot\left(\frac{2}{8}\right)^{n}$ [/mm] und [mm] $n^3\cdot\left(\frac{1}{8}\right)^{n}$ [/mm] zu überprüfen. Nun überlege Dir, dass zum einen
[mm] $\lim_{n\to\infty}n^2\cdot\left(\frac{2}{8}\right)^{n}=0$
[/mm]
und zum anderen
[mm] $\lim_{n\to\infty}n^3\cdot\left(\frac{1}{8}\right)^{n}=0$
[/mm]
gilt. Daraus erhälst Du dann
[mm] $\lim_{n\to\infty}a_n=0$
[/mm]
Gruß Denny
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