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Kontrolle: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:34 Mi 01.04.2009
Autor: learningboy

Hallo,

Eine Funktion hat folgende Eigenschaften:

f'(x) = f(x) * ((1/(x+1)-1)

f(0) = 1

Bestimme eine Funktionsgleichung von f.

Meine Lösung:

f(x) = e^(ln(x+1)-x)

Müsste doch stimmen, danke!

        
Bezug
Kontrolle: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:44 Mi 01.04.2009
Autor: Tyskie84

Hallo,

> Hallo,
>  
> Eine Funktion hat folgende Eigenschaften:
>  
> f'(x) = f(x) * ((1/(x+1)-1)
>  
> f(0) = 1
>  
> Bestimme eine Funktionsgleichung von f.
>  
> Meine Lösung:
>  
> f(x) = e^(ln(x+1)-x)
>  
> Müsste doch stimmen, danke!

Ja das sehe ich auch so!

[hut] Gruß


Bezug
                
Bezug
Kontrolle: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:46 Mi 01.04.2009
Autor: learningboy

sowas löst man doch am besten durch "hinschauen" und nachdenken, oder wie hättet ihr es gemacht?

Dankeschön =)

Bezug
                        
Bezug
Kontrolle: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:59 Mi 01.04.2009
Autor: fred97


> sowas löst man doch am besten durch "hinschauen" und
> nachdenken,

das ist lobenswert !

Betrachte mal die folgende "homogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung":

   (*)   $y' = a(x)y $,

wobei a eine auf einem Intervall I stetige Funktion ist. Dann hat a auf I eine Stammfunktion , nennen wir sie A.

Setze (mit eine bel. Konstanten c) :

[mm] $y_c(x) [/mm] = [mm] ce^{A(x)}$ [/mm]

Dann rechnest Du sofort nach, dass [mm] y_c [/mm] eine Lösung von (*) auf I ist.



Sei umgekehrt $y$ eine Lösung von (*) auf I und setze

     $g(x) = [mm] \bruch{y(x)}{e^{A(x)}}$ [/mm]

Rechne nach , dass $g' = 0$ ist. Also ist $g$ konstant und und damit gibt es ein c mit: $y(x) = [mm] ce^{A(x)}$ [/mm]




Fazit:

$y$ ist eine Lösung von (*) auf I [mm] \gdw [/mm] es ex. c mit $y(x) = [mm] ce^{A(x)}$ [/mm]



FRED

> oder wie hättet ihr es gemacht?
>  
> Dankeschön =)


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